高一数学竞赛题

高一数学竞赛 xx+2m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内, 则实数m的取值范围是16. 若关于x的方程4 _______南乐一中高一数学竞赛 (考试时间:120分钟 满分150分) 班级:_________ 姓名:___________ 分数:_________ 一(选择题(每题5分，共50分) 1.设S,{(x，y)|xy,0}，T,{(x，y)|x,0且y,0}，则( ) A、S?T,S B、S?T,T C、S?T,S D、S?T,Φ 2.区间[0，m]在映射f:x,2x，m所得的象集区间为[a，b]，若区间[a，b]的长度比区间[0，m]的长度达5，则m,( ) A、5 B、10 C、2.5 D、1 11223.函数f(x),,9x,6ax，2a,a在区间[,，]上的最大值为,3，则a的值为( ) 33 3A、, B、6，2或,2 C、6，2或2,6 D、2,6或,2 2 4. 在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是( ) yax,yxa,， y y y y O x O x O x O x A、 B、 C、 D、 5(一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是( ) 5Q5Q10Q10QA 、 B、 C、 D、 3399 aaaa31246.集合T={0,1,2,3,4,5,6},，将M中的元素按从小{,1,2,3,4}MaTi,，，，,,i7777 到大的顺序排列，则第2005个数是( ) 55635562A. B. ，，，，，，23423477777777 11041103 C. D. ，，，，，，23423477777777 ax，17.函数上为增函数,则实数a的取值范围是 y,在(,,,2)x,2 1111 A.a,, B. C. D.a,, a,a,2222 1 8.已知函数,则af(x),3ax，1,2a在(,1,1)上存在x,使得f(x),000 11的取值范A. B. ,1,a,a,55 1或 D. C.a,,1a,a,,15 9. 已知如图:长方体ABCD-ABCD 中，交于顶点A的三条棱长别1111 为AD=3，AA=4,AB=5。一天，小强观察到在A处有一只蚂蚁,发现1 顶点C处有食物,于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物,则蚂1 蚁爬行的最短路程是( ) A、 B 、 C、 D、 310744552 210.已知二次函数的值是 f(x),x,x，a(a,0),若f(m),0,则f(m,1) A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a值有关 二、填空题(每题5分，共30分) 11.已知无论k为何实数，直线(2k+1)x-(k-2)y-(k+8),0恒通过一个定点，则这个定点 ; 是 12.Suppose that the graph of quadratic function f(x) passes through the origin，and there holds f(x，2),f(x)，x，2 for all x?R.Then the expression of f(x) is _________. 22222213.计算:1,2，3,4，……，2005,2006,______________. 14.王先生乘坐一辆出租车前往首都国际机场，该车起价10元(3公里以内)，3公里以外每行驶0.6公里增加1元，当王先生到达机场时，计价器显示应付费34元，设王先生乘车路程为s公里，则s的取值范围是______________. 2215..试写出不定方程x,2y,1的两组整数解为______________，______________. 三(解答题 17((本小题满分10分)如图，?OAB是边长为2的正三角形，记?OAB位于直线x,t(t,0)左侧的图形的面积为，，。试求函数，，的解析式，并画出函数的图象. ftfty,f(t) y 【解】: B x O A x=t 18((本小题满分12分)1个科学家与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任意两个科学家之间通信讨论的是同一个问题，证明至少有三个科学家通信时所讨 2 论的是同一个问题 19((本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB是等2边三角形,且侧面PAB?底面ABCD. (?)证明:BC?侧面PAB; (?)证明:侧面PAD?侧面PAB; (?)求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小。 【解】: P A D B 20((本小题满分12分)已知不等式 C ? |x，3|,2|x| x，2 ? ,12x,3x，22 ? 2x，mx,1,0 (1)若同时满足??的x的值也满足不等式?,求实数m的取值范围. (2)若满足不等式?的x的值至少满足??中的一个,求实数m的取值范围. 【解】: 21((本小题满分12分)设函数f(x)的定义域是(0, +?), 且对任意的正实数x, y都有f(xy)=f(x)+f(y) 1恒成立.已知f(2)=1, 且x,1时, f(x),0.(1)求f()的值; (2)判断y=f(x)在(0, +?)上的单调性, 2 2并给出你的证明; (3)解不等式f(x),f(8x,6) ,1. 【解】: 22((本小题满分12分)已知一次函数与二次函数f(x),ax，b 2 a，b，c,0(a,b,c,R).g(x),ax，bx，c满足a,b,c,且 (1)求证:函数的图象有两个不同的交点A,B; y,f(x)与y,g(x) (2)设A,B是A,B两点在x轴上的射影,求线段AB长的取值范围; 1111 (3)求证:当时,恒成立. f(x),g(x)x,,3 【解】: AACCD CDCAA 2xx2111.(2,3) 12. 13. 14.(3，2)(17,12) 16. fx()=+17.418?s[,25]--42417.如图，?OAB是边长为2的正三角形，记?OAB位于直线x,t(t,0)左侧的图形的面 3 积为。试求函数的解析式，并画出函数的图象. ，，，，ftfty,f(t) 【解】: ,32t,0,t,1---------------2分,2, ,32 yfttt,(),3,(,2),1,,2--------4分,2, ,t3,,2--------------------5分y , , 2 图像为: ------------------------------10分 1 t 2 1 3 O 18.个科学家中每个人与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。证明:至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题。 解:不妨设A是某科学家，他与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知，他至少与其中的6位讨论同一问题。设这6位科学家为B，C，D，E，F，G，讨论的是甲问题。 若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立。否则他们6位只讨论乙、丙两问题。这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题，不妨设这三位是C，D，E，且讨论的是乙问题。 若C，D，E中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了。否则，他们间只讨论丙问题，这样结论也成立。 19((本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB2P 是等边三角形,且侧面PAB?底面ABCD. (?)证明:BC?侧面PAB; (?)证明:侧面PAD?侧面PAB; A (?)求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小. 【解】:(?)证:?侧面PAB垂直于底面ABCD, D B 且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB, 在矩形ABCD中,BC?AB,?BC?侧面PAB. -------------3分 C (?)证:在矩形ABCD中,AD?BC,BC?侧面PAB,?AD?侧面PAB. ------5分 又AD在平面PAD上,所以,侧面PAD?侧面PAB-------------------6分 (?)解:在侧面PAB内,过点P做PE?AB.垂足为E,连结EC, ?侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,PE?AB. ?PE?底面ABCD.于是EC为PC在底面ABCD内的射影, -----------8分 ??PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角, ---------------------10分 在?PAB和?BEC中,易求得PE=, 3,EC,30在Rt?PEC中,?PCE=45---------------------------------------12分 【说明】本答案仅供参考，不作唯一，建议按逻辑点给分。 4 20.已知不等式 ? |x，3|,2|x| x，2 ? ,12x,3x，22 ? 2x，mx,1,0 (1)若同时满足??的x的值也满足不等式?,求实数m的取值范围. (2)若满足不等式?的x的值至少满足??中的一个,求实数m的取 值范围. 【解】:?的解集为A={x|,1