抛物线的焦点弦有关性质探究

抛物线的焦点弦有关性质探究 武钢三中 詹立波 【教学目的】 1、知识与技能目标: 理解抛物线焦点弦与切线有关的性质，掌握其性质的推导过程( 2、过程与方法目标: (1)通过其性质证明、体会方程的思想在解析几何问题中的应用( (2)逐步培养学生发现问题、分析问题、解决问题的良好习惯( 3、情感、态度与价值观目标: (1)体会数学各知识点之间的相互联系，感受万物世界的相互依存( (2)培养学生善于思考，勇于探索的钻研精神( 【教学重点】 焦点弦有关性质的证明 【教学过程】 【知识回顾】 2y,2px，，，，1、过抛物线(p,0)的焦点F作弦AB，设Ax,y，Bx,y，则1122 2p2x,x,y,y,,p，( 12124 2、过抛物线上一点的切线方程 2，，Px,y，，y,2mxm,0(1)点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是: 00 ，，yy,mx，x 00 2，，Px,y，，x,2mym,0(2)点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是: 00 ，，xx,my，y 00 【有关性质的探究】 1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处, 结论:交点在准线上 2y,2px以(p,0)为例说明 p,,,,0特例:当弦轴时，则点P的坐标为在 AB,x,,2,, 准线上( ，，，，Ax,yBx,y证明:当弦AB过焦点F，设、 1122 ，，yy,px，x则过A点的切线方程是: ? 11 ，，yy,px，x过B点的切线方程是: ? 22 ，，，，由?,?可得: y,yy,px,x1212 22yy,y，y1212，，yyyp,,,即: ? y,122p2 代入?式可得: y,y,2px12 2yy,,p?弦AB过焦点弦，由焦点弦性质可知， 12 p，yyp,,12?x,,即交点P坐标为( ,,,,222,, 结论延伸:切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论发散:当弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连 线也平行于对称轴( 2、上述命题的逆命题是否成立, 结论:过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 2y,2px以(p,0)为例说明 特例:过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点( p,,P,,0，，，，，，Ax,yBx,yyy,px，x证明:，设、，则切线PA的方程为，切线,,1122112,, pp，，yy,px，xPB的方程为(均过点P，则x,，，故弦AB过焦点( x,221222 p,,P,y,，，，，Ax,yBx,y证明:设准线上任一点，切点分别为、， ,,011222,, ，，，，yy,px，xyy,px，x则切线方程分别为:， 1122 pp,,,,yypxyypx,,，,,，两切线均过点P，则满足，( ,,,,10120222,,,, p,,yy,px,故过两切点的弦AB方程为:， ,,02,, 则弦AB过焦点( 结论延伸:过准线上任一点作抛物线的切线，过 两切点的弦最短时，即为通径( 2y,2px3、如图，AB是过抛物线(p,0)焦点 AA,lF的弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，，1 ，过点A，B的切线相交于P点，PQ与抛物线交于点M( BB,l1 PAPB(1)与是否有特殊的位置关系, 结论:PA?PB( 2ppp,证明:,，，? kkk,k,,,1PBPAPAPByyy,y2112?PA?PB( PFAB(2)与是否有特殊的位置关系, 结论:PF?AB( pyy，p,,,,12P,,,F,,0证明:， ,,,,222,,,, ,,y，yyyyy2p121212k,,,,， KPFAB22,2p,，xxyy,yy121212 2p？K，K,,1 ?PF?AB( PFAB (3)点M与点P、Q的关系 结论:M平分PQ( pyyx，xy，y，,,,,121212P,,Q,证明:， ,,,,2222,,,, y，y12? y,M2 222222x，x222，，，，yy，yy，y,ppx，x,px，x,pPQM12121212? x,,,,,,M288842pppp?M平分PQ( (4)直线PA与?AAB，直线PB与?BBA的关系 11结论:PA平分?AAB，PB平分?BBA( 11 pyyp,p,,,,,,21APxAAxAFx,y,,,,,,,,0,,,,证明:，， ,,,,,,11112222,,,,,, 222ppyyy,,2121AP,AF,x,,，AP,AA,，x?， ,,1114222,, 22pp,,2,x，，px,x， ,,11142,, ，AAP,，FAB?AA,AF ? 11 即PA平分?AAB，同理PB平分BBA( 11 2PF(5)与的大小比较 FA,FB 2结论: FA,FB,PF ，，pyyp,，,,,,,,12FAx,yFBx,yPFp,,,,,,证明:，， ,,,,,,1122222,,,,,, pp,,,,FA,FB,,，，FA,FB,,x,x,,yy ,,,,121222,,,, 222ppppp22,,xx，，，x，x,，p,,，x，x,，，，p 12121224424 2pp，，,x，x， 1222 222y，y1pp，，222212PF,p，,p，，，y，y，2yy,，，，x，x 1212124422 2FA,PB,PF? S(6)的最值问题 ,PAB 2,pS结论: min,PAB 1SPQyy证明:,,, ,PAB122 AA，BB1pp11，，PQ,,x，x，,x,x，,p? 12122222 p,,xx当,,时取“,” ,,122,, ，，当y,,y,p时取“,”2y,y,2p? y,y,y，y12121212 2,pS?(两等号可同时取得) min,PAB 课下思考:当弦AB不过焦点，切线交于P点时，有无与上述结论类似结果( yyy，y1212,x则?， y,pp2p2 ?PA平分?AAB，同理PB平分?BBA( 11 ? ，PFA,，PFB ?点M平分PQ 2? FA,FB,PF 【练习】 2，，Ax,yx,4y(2006年重庆高考(文)22)对每个正整数n，是抛物线上的nnn ，，Bs,t点，过焦点F的直线FA交抛物线于另一点， nnnn x,s,,4(1)试证:(n?1) nn nx,2(2)取，并C为抛物线上分别以A与B为切点的两条切线的交点，求nnnn n,n，1证:(n?1) FC，FC，？，FC,2,2，112n (1)证明:焦点(0，1) y,kx，1设直线A B方程为: nnn y,kx，1,n2x,4kx,4,0 消去y得 ,n2x,4y, x,s,,4? nn x1nyx,'(2)由 则 y',xn22 2xxx22nnny,x,x,4yx,4y，，故在A处切线方程为，即类似的，y,y,x,xnnn242 2sssnnny,x,，，在B处切线方程为，即 y,t,x,snnn242 ,x，ssxnnnn两式相减得代入可得,,,1 x,y24 xs，,,nnC,,1则点 ,,n2,, 22222,,xsxsxx，，422,,nnnnnn,,FC?,，4,，2,，，2,， ,,n2,,xx2442,,nn,, x2n从而 FC,，n2xn ,,1111,,，，FC，FC，？，FC,x，x，？，x，2，，？，? 12n12n,,2xxx12n,, 1111,,2nn,n，1n,n，1，，,2，2，？，2，2，，？，,2,1，2,2,2,2，1 ,,2n2222,, 【作业】 1、证明上述问题中的结论发散 2x,4y2、已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且(AF,,FB,,0)，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M， ，，FM,AB(1)证明:的值;(2)设的面积为S，写出S,f,的表达式，,ABM 并求S的最小值( 2x,4y3、已知抛物线C的方程为，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B;(1)过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证:;(2)若AF,DF直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证:AM?BM，且点M在直线l上(