2013高考数学人教B版复习课件：9-7 用向量方法证明平行与垂直（理）（可编辑）

2013高考数学人教B版复习：9-7 用向量方法证明平行与垂直（理）（可编辑） 2013高考数学人教B版复习课件:9-7 用向量方法证明 平行与垂直(理) 用向量证明线面垂直 用向量方法证明面面垂直与平行 第9章 第七节 高考数学总复习 人教 B版 第9章 第七节 高考数学总复习 人教 B版 * 第 七 节 用向量方法 证明平行与垂直 理 用向量证明线面平行 第9章 第七节 高考数学总复习 人教 B版 第9章 第七节 高考数学总复习 人教 B版 * 重点难点 重点:用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系 难点:将立体几何问题转化为向量问题( 知识归纳 一、用空间向量解决立体几何问题的思路 1(坐标法:如果所给问题的图形中存在互相垂直的直线 或平面 ，比较方便建立空间直角坐标系写出点的坐标，这种情况下，一般是建立恰当的空间直角坐标系，用坐标法通过坐标运算来解决( 2(基向量法 如果在所给问题中，不好寻找交于一点的互相垂直的三条直线，或者其坐标难于求出，这时常选图中不共面的三条直线上的线段构造基底，将所给问题的条件和待解决的结论，用基底及其线性示来表 达，通过向量运算来解决( 二、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤 建立恰当的空间直角坐标系;求出相关点的坐标;写出向量的坐标;结合公式进行计算，论证;转化为几何结论( 三、平面的法向量 1(如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作aα，如果aα，那么向量a叫做平面α的法向量( 2(求平面的法向量的方法 设n是平面M的一个法向量，AB、CD是M内的两条相交直线，则n??,0，n??,0.由此可求出一个法向量n 向量及已知 ( 误区警示 1(建立坐标系一定要符合右手系原则( 2(证明线面平行时，一定要说明直线在平面外( 一、如何用空间向量解决立体几何问题 1(思考方向: 1 要解决的问题可用什么向量知识来解决,需要用到哪些向量, 2 所需要的向量是否已知,若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示, 3 所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示,这些未知向量与由已知条件转 化的向量有何关系, 4 怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论, 2(空间问题如何转化为向量问题 1 平行问题向量共线，注意重合; 2 垂直问题向量的数量积为零，注意零向量; 3 距离问题向量的模; 4 求角问题向量的夹角，注意角范围的统一( 3(向量的分解与组合是用向量法解决立体几何问题中经常遇到的问题，确定合适的基向量或建立恰当的空间直角坐标系是关键( 二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1(用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b. 1 l1l2或l1与l2重合a‖b?存在实数t，使a,tb. 2 l1l2?a?b?a??b,0. 2(用向量方法研究直线与平面的位置关系 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，v1、v2是与α平行的两个不共线向量( 1 lα或lα?存在两个实数λ、μ，使a,λv1，μv2a??n,0. 2 lα?a‖n?存在实数t，使a,tn. lα. 3(用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面α、β的法向量分别为n1、n2. 1 αβ或α与β重合n1‖n2?存在实数t，使n1,tn2. 2 αβ?n1?n2?n1??n2,0. 若v1、v2是与α平行的两个不共线向量，n是平面β的法向量( 则α‖β或α与β重合v1‖β且v2β?存在实数λ、μ，对β内任一向量a，有a,λv1，μv2. α?β. [例1] 在正方体ABCD,A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点(求证:MN平面A1BD. 证明:方法1:如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，A1 1,0,1 ，B 1,1,0 ， 于是,， 设平面A1BD的法向量是 n, x，y，z ( 则n??,0，且n??,0， ， 取x,1，得y,,1，z,,1.n, 1，,1，,1 ( 又??n,?? 1，,1，,1 ,0， ?n，又MN?平面A1BD，MN‖平面A1BD. 方法2:,,,, , , ,， ‖，又MN?平面A1BD. MN‖平面A1BD. 点评: 1 证明直线l1l2时，分别取l1、l2的一个方向向量a、b，则ab?存在实数k，使a,kb或利用其坐标,, 其中a, a1，a2，a3 ，b, b1，b2，b3 ( 2 证明直线l平面α时， 可取直线l的方向向量a与平面α的法向量n，证明a??n,0; 可在平面α内取基向量 e1，e2 ，证明直线l的方向向量a,λ1e1，λ2e2，然后说明l不在平面α内即可; 在平面α内找两点A、B，证明直线l的方向向量n. 3 证明平面α平面β时，设α、β的法向量分别为a、b，则只须证明ab. 2011??北京海淀期末 在斜三棱柱ABC,A1B1C1中，侧面ACC1A1平面ABC，ACB,90?. 1 求证:BCAA1; 2 若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证:A1N平面AB1M. 证明: 1 因为ACB,90?，所以ACCB， 又侧面ACC1A1平面ABC， 且平面ACC1A1?平面ABC,AC， BC平面ABC，所以BC平面ACC1A1， 又AA1平面ACC1A1，所以BCAA1. 2 证法一:连接A1B，交AB1于O点，连接MO， 在A1BN中，O，M分别为A1B，BN的中点， 所以OMA1N. 又OM平面AB1M，A1N平面AB1M， 所以A1N平面AB1M. 证法二:M、N为BC的三等分点，,， ,，，,，，,，， A1N?平面AB1M，A1N‖平面AB1M. [例2] 在棱长为1的正方体ABCD,A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M平面EFB1. 证明:分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D,xyz， 则A 1,0,0 ，B1 1,1,1 ，C 0,1,0 ，D1 0,0,1 ，E，M 1,1，m (, ,1,1,0 ， 又E、F分别为AB、BC的中点， ,,. 又,，, 1,1，m,1 ， D1M?平面FEB1，D1M?EF且D1MB1E. 即??,0，且??,0. ，m,. 故取B1B的中点M就能满足D1M平面EFB1. 点评:证明直线 l1与l2垂直时，取l1、l2的方向向量a、b，证明a??b,0. 证明直线l与平面α垂直时，取α的法向量n，l的方向向量a，证明an. 或取平面α内的两相交直线的方向向量a、b与直线l的方向向量e，证明a??e,0，b??e,0. ?证明平面α与β垂直时，取α、β的法向量n1、n2，证明n1??n2,0.或取一个平面α的法向量n，在另一个平面β内取基向量 e1，e2 ，证明n,λe1，μe2. 证明平行与垂直的关键是将待证问题中直线的方向向量和平面的法向量表示出来 用已知向量表示或用坐标表示 ( 如图所示，在四棱锥P,ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC,60?，PA,AB,BC，E是PC的中点( 证明: 1 AECD; 2 PD平面ABE. 证明:AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 设PA,AB,BC,1，则P 0,0,1 ( 1 ??ABC,60?， ABC为正三角形( C ，，0 ，E ，， ( 设D 0，y,0 ，由ACCD， 得??,0， y,，即D 0，，0 ， , ,，，0 ( 又, ，， ， ??,,×，×,0， ?，即AECD. 2 设平面ABE的一个法向量为n, x，y，z ， , 1,0,0 ，, ，， ， ，即， 令y,2，则z,,，n, 0,2，, ( ?, 0，，,1 ，显然,n. ‖n，?平面ABE.即PD平面ABE. [例3] 已知正方体ABCD,A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证: 1 平面ADE平面B1C1F; 2 平面ADE平面A1D1G; 3 在AE上求一点M，使得A1M平面DAE. 解析:以D为原点，、、为正交基底建立空间直角坐标系O,xyz，则D 0,0,0 ，D1 0,0,2 ，A 2,0,0 ，A1 2,0,2 ，E 2,2,1 ，F 0,0,1 ，G 0,1,0 ，B1 2,2,2 ，C1 0,2,2 ( 1 设n1, x1，y1，z1 ，n2, x2，y2，z2 分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则n1，n1. ?，， 取y1,1，z1,,2，n1, 0,1，,2 ( 同理可求n2, 0,1，,2 ( n1‖n2，平面ADE平面B1C1F. 2 ???, 2,0,0 ?? 0,1，,2 ,0， ?. ???, 0,2,1 ?? 0,1，,2 ,0，?. ?、不共线，D1G?平面ADE. 又D1G?平面A1D1G，平面ADE平面A1D1G. 3 由于点M在AE上，所以可设,λ??,λ?? 0,2,1 , 0,2λ，λ ， M 2,2λ，λ ，, 0,2λ，λ,2 ( 要使A1M平面DAE，只需A1MAE， ??, 0,2λ，λ,2 ?? 0,2,1 ,5λ,2,0， λ,.故当AM,AE时，A1M平面DAE. 2011??黄冈期末 在四棱锥P,ABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，E、F分别为棱AD、PB的中点，PD,AD.求证:平面CEF平面PBC. 证明:以D为原点，直线DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系( 设PD,1，则P 0,0,1 ，A 1,0,0 ，B 1,1,0 ，C 0,1,0 ，E ，0,0 ，F ，， ， 设平面CEF的一个法向量为n, x，y，z ，则 ，, 0，， ， , ,，1,0 ，， ，令y,1，则n, 2,1，,1 ( 设平面PBC的一个法向量u, x，y，z ， 则，, ,1,0,0 ， , ,1，,1,1 ，， ，令z,1，则u, 0,1,1 ， u??n,0，u?n， 平面CEF平面PBC. 1.已知四棱锥P,ABCD的底面是直角梯形，ABC,BCD,90?，AB ,BC,PB,PC,2CD，侧面PBC底面ABCD. 1 证明:PABD; 2 证明:平面PAD平面PAB. [证明] 1 取BC的中点O， 侧面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形， PO?底面ABCD. 以O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直 线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系( 不妨设CD,1，则AB,BC,2，PO,. A 1，,2,0 ，B 1,0,0 ，D ,1，,1,0 ，P 0,0， ( , ,2，,1,0 ，, 1，,2，, ( ??,0，?，PA?BD. 2 取PA的中点M，连结DM，则M. ,，, 1,0，, ， ??,0，?，即DMPA. 又??,0，?，即DMPB. ?PA?PB,P，DM?平面PAB， DM?平面PAD，平面PAD平面PAB. [点评] 线线垂直即直线的方向向量垂直;线面垂直即直线的方 向向量与平面的法向量平行;面面垂直即二平面的法向量垂直( 2( 2011??六安月考 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB,，AF,1，M是线段EF的中点( 求证: 1 AM平面BDE; 2 AM平面BDF. [证明] 1 建立如图所示的空间直角坐标系，设AC?BD,N， 连接NE. 则点N、E的坐标分别为 ，，0 、 0,0,1 ( , ,，,，1 ( 又点A、M的坐标分别是 ，，0 、 ，，1 ， , ,，,，1 ( ,且NE与AM不共线( NE‖AM. 又NE?平面BDE，AM平面BDE， AM‖平面BDE. 2 由 1 知, ,，,，1 ， D ，0,0 ，F ，，1 ， , 0，，1 ( ??,0，?，AM?DF. 同理AMBF.又DF?BF,F， AM?平面BDF.