凸四边形对角线的两个性质及其应用

凸四边形对角线的两个性质及其应用 第8期初中数学教与学 凸四边形对角线昀两个n生质及其应用 刘永生 (江西省赣县第二中学,341100) 我们已经掌握了许多特殊四边形对角线 的性质,本文主要探讨一般凸四边形对角线 的性质及其应用. 性质I若四边形ABCD的对角线AC和 BD交于P点,则有 S?^日DAP s&c叼PC A BC 图1 证明设 则= S?AP I_,PC' ..S?^BD=S?d口P+S?口Pc Pc+SAp?) =k(S? :kS?8cD, 即=AP. (同理:而BP. ) 下面是这一性质的应用. 例1如图2,已知大,小正方形的边长分 别为6和4,求ABOD的面积.(2007年江西数 学联赛) 分析本解法较多,若利用性质1求 解.则较简便. 解连结BE,则 SARSr=1层 = 42 : 8, 5肋,=?×(6+4)×6=30, S8EFOE84 sBDF—OD一30—15' xs伽F=1×(6+4)×4= 20, . 一一一 堕 sD—DE一4+15—19 . ? . .s删,=茜s?DE,=堕1920=3百00, .SB.D=SA8DF—So0 =30一百300=百270 B DCF 图2 BC 图3 性质2若四边形ABCD的对角线Ac, BD交于0点,则有 S?^0D'S?oc:S?A0口?S?coD. 证明如图3,作高AH和cG,则有 SB:10B. AH. s蛐n=IOD? AH,SC=10B? CG, 5?c..:IOD. CG, . ' . S?^0'S?coD ? 9? 初中数学教与学2010年 .解题思路与方法. 利用图形变换解决几何最值问题 — r,.IL:f十堂.7f( "/J (新辐乌鲁术齐市第六卜二三中学,830019) 初中数r{I的几何变换,一般指平移,对 称,旋转.由于形的变换改变形的形状 和大小,只改变肜的位置,因此,我们存解 决几何问题中,如果充分利用网形变换,把图 形位置进行适当的改变,即呵能达到优化图 形结构,进一步整合图形信息的口的.从I使 得复杂的问题得以创造性地解决. 在初中几何巾,有关几条线段和的最小 值问题,是一类难度较大的问题,这些问题常 常不易找到解决问题的思路,而利厢形变 换,适当的改变图形位置,就会把问题转化为 我们熟知的数学模,使问题得以顺利解决. 利用图形变换解决这类问题的基本思路 主要足,设法lJll结为以下两种数学模型之一. 模型ll姒j点之问,线段最短. 这种模型就足婴利用图形变换,将求和 的线段变成为连接两定r_之间的折线,从而 知,{这儿条线段处一直线L时,其和最 小. BCD的对角线AC, 例l如l,菱肜A BD分别为6币『l8,P足对角线AC上一动点, r 量M,分Lj『J为.4B,BC的IfT点,求PM+PN的 最小值. - ?…??…??…??…??…??…??…??…??…??…??…??…??…-?…? ?…??…??…??…-?…??…??…??…??…??…??…??…??…??…? ?…??…??…??…??…??…??…??…??…??…-?一 = 1D ? OD?tH?CG =S'S&…I. 例2女II【殳14.边形ABCD的刈'角线AC 和BD相交于点0,S=4,S=9,则四 边形ABCD的积的最小值是() (A)22(B)25 (C)28(D)32 (北京r2005年初二数学决赛) 分析5?,的最小值必?+ 稿关. 解m性质2知, S?r'-S?4r)『J=S?I,'S?,J=4×9=36. 义s"m+s&|?. ?2,/sIOD'S??=2vr36=12. 即5?l1,+s?『ff的最小值为12, . ' . S【|L1边}I?25,选B. ? 10? \ C 4 图5 例3如图5,已知S?=49,S?8cD11 27,S=14.则AAOD的砥积为—— ("?羊杯"数学竞赛) 解记S?IfJ,,=SI,S?{?:S2,S?= S,=S,依题意有: S4=14一Sl,S3=13+SJ,S2=36一S1. 由性质2得S,S,=S?S, . ' . Sl(13+SI)=(36一SI)(14一SI), ? S.=8