人口增长模型

人口增长模型 摘要 本文根据某个地区的人口从1800年到2000年间的人口数据，利用matlab数据拟合，经过建立线性增长模型、二次数学增长模型、四次函数增长模型，分别对2010年的人口数进行预测，探究出四次函数增长模型能更好地反映实际的人口增长状况。在本文中，线性增长模型预测人口数为283.11百万、二次函数增长模型预测人口数数333.87，拟合的效果比四次函数增长模型差，用四次函数增长模型预测出2010年该地区的人口总数为279.28百万 关键字 人口预测 matlab 问题重述 根据以下某个地区的人口从1800年到2000年间的人口数据(如下表)，建立人口增长模型，并确定其中的待定参数，估计出该地区2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。(单位:百万) 模型分析 根据所给的人口数据，我们借助MATLAB首先作出散点图进行观察分 从散点图中，我们可以看出，人口是逐年增长的，于是我们想到了线性的增长和二次函数的增长，但由于这两个模型并没有考虑到人口增长不可能是无限的，它受到此地区很多因数的影响，如:资源，环境，医疗，国家政策……。所以根据资源的有限性，我们对这两个模型进行改进。假设人口增长率是逐年递减的，所以我们根据这个假设，建立相对比较好的模型——四次函数增长模型。 模型建立 模型一:线性增长模型。(即为y=ax+b模型) 1、模型假设: 忽略环境对人口的影响，假设人口无限增长，人口增长率是恒变量。 2、模型变量和函数定义: A 人口增长率; B 初始时刻的人口数量，即: x(0) 3、模型建立: 依照上面的假设和定义，我们可以构造如下模型: Y=Ax+B 我们借助MATLAB进行拟合。如下图: 利用MATLAB求得系数a=1.0e+003 *0.0015 ;b= 1.0e+003 *(-2.7553); 因此模型为:y=1.0e+003 *0.0015x+1.0e+003 *(-2.7553) 对于2010年人口预测为283.11百万人， 4、模型结果分析: 线性增长型模型虽然在一定程度上可以表明人口是在不断的增长，但由于没有考虑到自然因数和环境因数的影响，缺乏可信度。因此我们建立了模型二。 模型二:二次函数增长模型。(Y=ax^2+bx+c) 1、模型假设: 在一定人口的基础上，由于资源的不足，医疗不够健全，环境污染等情况下，人口的增长速度减慢。 2、模型变量和函数定义: a 二次项系数 b 一次项系数 c 常数项 3、模型的建立: 建立二次函数进行拟合: Y=ax^2+bx+c a=1.0e+004 *0.0000;b=1.0e+004 *-0.0021;c=1.0e+004 *1.8948 y=1.0e+004 *0.0000x^2+1.0e+004 *-0.0021x+1.0e+004 *1.8948 对于2010年人口预测为333.87百万人， 4、模型结果分析: 二次函数增长模型在一定程度上反映了人口的增长规律，特别是在1800—2000年这个时间段，通过修改相关初始参数可以得到很好的拟和效果，这应该是在第一次工业革命的推动下人类的生产水平有了飞跃式发展，同时人口基数还远未达到环境允许的上限，所以在这个时间段内的人口增长趋势更接近于指数增长方式，但是在1800年之前和2000年之后无论如何调整拟和的初值都无法达到很好的拟和效果，所以人口的增长应该还受到其他因素的影响，这是二次函数模型所无法克服的问题。所以我们要对模型在进行改进。 模型三:四次函数增长模型(Y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+c) 1、模型假设: 随着人口的不断增长，人口的增长受到社会上各种因素的影响程度越深， 人口的增长在一定的时间内会停步，人口趋于稳定的水平。 2、模型变量和函数的定义: a 四次项系数 b 三次项系数 c 二次项系数 d 一次项系数 e 常数项 3、模型建立: 依照上面的定义和假设，有: Y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+c 4、模型求解与检验: 通过拟和求解， a= 1.0e+006 *(-0.0000) b=1.0e+006 *(0.0000) c=1.0e+006 *(-0.0000) d=1.0e+006 *(0.0185) e=1.0e+006 *(-8.7013) Y=1.0e+006*(-0.0000)x^4+1.0e+006*(0.0000)x^3+c1.0e+006*(-0.0000)x^2 +1.0e+006*(0.0185)x+1.0e+006*(-8.7013) 对于2010年人口预测为279.28百万人， 从上图，我们可以看出该模型比第一、第二两个模型拟合相对比较好， 这模型也体现了人口增长受各方面因素的约束，这也是比第一、第二模型优 越的关键。 5.、模型结果分析: 该模型更客观地反映了人口的增长规律，预测出的结果也相对比较接近现 实，但人口的增长还受很多综合因素的影响，此模型还有待提高和改善。 参考文献: [1]数学模型 姜启源 谢金星 叶俊 高等教育出版社 北京 [2]课本讲义