隐函数的导数

隐函数的导数 第 三节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 教学目的: 教学重点: 教学过程: 一、隐函数的导数 以前，我们所接触的函数，其因变量大多是由其自变量的某个算式来示的，比如: 22xy等等，象这样一类的函数称为显函数。 y,x，5,y,xsin，e,z,xlny，esinxx 2但在实际问题中，函数并不全是如此，设是定义在区域上的二元函数，F(x,y)D,R xx若存在一个区域，对于中的每一个的值，恒有区间上唯一的一个值，使之与一IIyJ 起满足方程:F(x,y),0 ……(1) 就称方程(1)确定了一个定义域为，值域含于中的函数，这个函数就称为由方程(1)IJ 所确定的隐函数，若将它记为y,f(x),x,I，则有:在上，F(x,f(x)),0。 I 215,x25x，4y,1,0y,【例1】确定了隐函数:。 4 222x，y,1[,1,1]【例2】能确定出定义在上的函数值不小于0的隐函数，也能y,1,x 2[,1,1]确定出定义在上的函数值不大于0的隐函数。 y,,1,x f(x)上面求的过程是将一个隐函数转化为显函数，也称为隐函数的显化。 注 1:在不产生误解的情况下，其取值范围可不必一一指明; 22x，y，1,0y,f(x) 2:并不是任一方程(1)都能确定出隐函数，比如:，不可能找到， 22x，[f(x)]，1,0使得; 3:即使方程(1)能确定一个隐函数，但未必能象上二例一样从方程中解出，如:y 1 1，我们可证明它确实能确定一个隐函数，但无法表示成的形式，y,f(x)y,x,siny,02 即不能显化。 实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，如果隐函数可显化，则求导没什么问题，同前一样，若隐函数不能显化，我们就直接从(1)算出其隐函数的导数。(以后我们还将介绍更一般的方法)。 dy25x，4y,1,0【例3】，求。 dx x解:在方程的两边同时对求导，得 dydy105 。 10x，4,0,,,x,,xdxdx42 dyye，xy,e,0【例4】求由方程所确定的隐函数的导数; y,y(x)dx dy57y，sinxy,x,3x【例5】求由方程所确定的隐函数y在x=0处的导数; |x,0dx 2sin(x，y),ycosx【例6】求由方程确定的曲线在点(0,0)处的切线方程; 二、对数求导法 三、参数方程所确定的函数的导数 一、 由参数方程确定的函数的导数 ,,x,(t),xrcos,, 表示圆 ,,,y,(t),y,rsin,,, ,y'dydydtdydx'(t)t,,,/,, dxdtdxdtdt,'(t)x't 2,,,,,dyddyd'(t)dt''(t)'(t)'(t)''(t)1, ()[],,,,,22dxdxdt,'(t)dx,'(t)dx[,'(t)] d[y']dt y'',dx dt xvt,,1,v例5(抛射体运动的参数方程，求时刻t的运动速度; ,12yvtgt,,2,2, 2222y',v,gtv,x'，y',v，(v,gt)x',v解 ，， t2tt12t1 2 y',vgtdyt2,,,,,tany'且的方向: vdxx'vt1 x,a(t,sint),例6(求摆线方程所确定的函数的二阶导数。 ,y,a(1,cost), 二、 相关变化率 dxdy，，且x与y之间存在联系，从而，之间也存在一定关x,x(t)y,y(t)dtdt系。 复习P.114-121 习题2-3(P.123)1，2，3(1)(4)，5，6 第四节 高阶导数 教学目的:使学生掌握高阶导数的运算法则，熟记一些常见函数的高阶导数公式; 教学重点:高阶导数的求法。 教学过程: 一、复习一阶导数的定义 二、讲解新课: (一)高阶导数的定义: , 前面讲过，若质点的运动方程s,s(t)，则物体的运动速度为v(t),s(t)，或 dsttv(t),，而加速度a(t)是速度v(t)对时间的变化率，即a(t)是速度v(t)对时间的dt dvdds,,,,导数:,,v(t),(s(t)),,a(t),,,,()或，由上可见，加速度是dtdtdt s(t)的导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义: ,,xx定义:若函数y,f(x)的导函数f(x)在点可导，就称f(x)在点的导数为函数00 ,,f(x),f(x)0,,,,f(x)xlim,f(x)y,f(x)在点处的二阶导数，记为，即，000x,x0xx,0 xy,f(x)此时，也称函数在点处二阶可导。 0 y,f(x)f(x)注1:若在区间上的每一点都二次可导，则称在区间上二次可导，II ,,f(x),x,If(x)并称为在上的二阶导函数，简称二阶导数; I ,,,,,,,,f(x)f(x)f(x) 2:仿上定义，由二阶导数可定义三阶导数，由三阶导数可定 3 (4)(n,1)(n)f(x)f(x)f(x)义四阶导数，一般地，可由阶导数定义n阶导数; n,1 n()f(x) 3:二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为:，0 nnnndydfdydf()(n)(n)ny(x)f(x),y(x),，或与或; 0x,xx,xnnnn00dxdxdxdx 2ds,,t,s, 4:开始所述的加速度就是对的二阶导数，依上记法，可记或; ,,s(t)2dt 5:未必任何函数所有高阶都存在; 6:由定义不难知道，对，其导数(也称为一阶导数)的导数为二阶导数，y,f(x) 二阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，阶n,1 n导数的导数为阶导数，否则，因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程， 无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了。 2(4),,,,,y,ax，bx，cy,y,y【例1】，求。 (4),,,,,,y,2ax，b,y,2a,y,0,y,0解:。 xy,e【例2】，求各阶导数。 xxx(4)x(n)x,,,,,,y,ey,ey,ey,eny,e解:，，，，显然易见，对任何，有， x(n)x(e),e 即。 【例3】y,sinx，求各阶导数。 ,,解:y,sinx,y,cosx,sin(x，) 2 ,,, y,,sinx,sin(x，),sin(x，2,) ,2 ,,,,,, y,,cosx,,sin(x，),sin(x，，),sin(x，3,) ,222 ,(4)y,sinx,sin(x，2),sin(x，4,) ,2 „„ ,,(n)(n) 一般地，有y,sin(x，n)，即 (sinx),sin(x，n)。 22 4 ,(n) 同样可求得 。 (cosx),cos(x，n)2 【例4】，求各阶导数。 y,ln(1，x) 111,2,,,,,,解:，y,，，， y,,y,y,ln(1，x)231，x(1，x)(1，x) 1,2,3(4)y,, ，„„ 4(1，x) (n,1)!(),1nn 一般地，有 y,(,1) n(1，x) (n,1)!(),1nn(ln(1，x)),(,1) 即 。 n(1，x) ,y,x【例5】，为任意常数，求各阶导数。 , ,,,1,,2,,3,,,,,,y,xy,,x,y,,(,,1)xy,,(,,1)(,,2)x解:，，， (4),,4y,,(,,1)(,,2)(,,3)x ， (n),,ny,,(,,1)(,,2)？？(,,n，1)x一般地， ,(n),,n(x),,(,,1)(,,2)？？(,,n，1)x即 。 当,,k为正整数时， k(n)k,n(x),k(k,1)(k,2)？？(k,n，1)x a)时，; n,k k(k)(x),k!(,n!) 时，; k(n)(x),0 时，; ,(n)(x)(ii)当为正整数时，必存在一自然数，使得当，在处不存在。 ,n,kx,0k 3111,,3312222,,,y,x,y,x,y,x,x如:然而，在处是无意义，即说明 x,0222 5 132,,,y,x在处无导数，或在处不存在。 yx,0x,02 x,,,y,ecosx【例6】，求。 y xxx,y,ecosx，e(,sinx),e(cosx,sinx)解: ， xxx,,y,e(cosx,sinx)，e(,sinx,cosx),e(,2sinx) ， xxx,,,y,,2(esinx，ecosx),,2e(sinx，cosx) 。 (二)高阶导数的运算法则 (n)(n)(n)[u(x),v(x)],u(x),v(x)(1)， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2)(uv),uv，uv,(uv),uv，2uv，uv,(uv),uv，3uv，3uv，uv， „„， (n)(n)(0)1(n,1)2(n,2)k(n,k)(k),,,[u(x)v(x)],uv，Cuv，Cuv，？？，Cuv，？？ nnn (0)(0)(0)(n)u,u,v,v +。其中。 Leibinz公式 uv (5)y【例7】上例中，求。 (5)x(5)x(5)1x(4)2x,,,,,,y,(ecosx),(e),cosx，C(e)(cosx)，C(e)(cosx)解: 55 3x4x(4)x(5),,,,,, ，C(e)(cosx)，C(e)(cosx)，e(cosx)55 xxxxxxecosx，5e(,sinx)，10e(,cosx)，10esinx，5ecosx，e(,sinx)= xe[cosx,5sinx,10cosx，10sinx，5cosx,sinx]= xe(4sinx,4cosx)= x4e(sinx,cosx)=。 ,x,,x2,,y,ce，cey,,y,0c,c【例8】验证满足关系式:(其中为任意常数)。 1212 22,x,,x,x,,x,,,y,,ce,,ce,y,,ce，,ce解: 1212 6 2,x,,x22,,,,y,,(ce，ce),,y,y,,y,0所以。 12 x,32,,,2y,(y,1)y【例9】验证y,满足关系式:。 x,4 x,3111,2,,,y,,1，,y,,,y,解: 23x,4x,4(x,4)(x,4) 1122,,,2y,(y,1)y,2,,,,0又 43x,4(x,4)(x,4) 2,,,2y,(y,1)y,0所以。 课堂练习: (n)n(n)y|y|y,x1(求(n为正整数)的n阶导数，n+1阶导数，并求，; x,1x,0 2(求y,sinx的n阶导数; 32yy''，1,03(证明函数满足关系式; y,2x,x 2xf(x)2y,f(e)，e4(设f二阶可导，求或y,f(sinx)，sinf(x)的一阶、二阶导数; 3y,f(x)5(设f二阶可导，求的二阶导数。 第一节 中值定理 教学目的:理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。 教学重点:罗尔定理、拉格朗日定理的应用。 教学过程: 一、罗尔定理 定理1:若函数f(x) 满足:(i)f(x) 在 [a,b] 上连续;(ii)f(x) 在(a,b)可导，(iii) ',f(a) =f(b), 则在(a,b)内至少存在一点，使得f()=0. 证明:由(i)知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时， 又有二种情况: (1) M=m，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数:f(x) ''？f(x),,,M=m，,0，因此，可知为(a,b)内任一点，都有f(),0。 ,,(2) M>m,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设Mf(a)(对mf(a) ,,,同理证明)，这时必然在(a,b)内存在一点，使得f()=M,即f(x)在点 ',得最大值。下面来证明:f()=0 7 '首先由(ii)知f()是存在的，由定义知: , ,fx,ffx,M()()()',limlimf()= …….(*) ,x,,x,,x,,x,, 因为为最大值，对有 f(x) Mf(x),M0, M,,,x,, ,f(x),f()f(x),M,当x>时，有0 ,,x,,x,, ,f(x),f()f(x),M,当x<时，有0。 ,,x,,x,, ,又因为(,)的极限存在，知(,)极限的左、右极限都存在，且都等于，即f(,) ,fxf(),(),,,,,,,f(,),f(,),f(,)f(),f(),lim,0，然而，又有 和 ，_,x,,,x,, ,fxf(),(),,,,,f(),f(),lim,0 ,f(,),0。 ，x,,，x,, 注 1:定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。 2:罗尔定理中的,点不一定唯一。事实上，从定理的证明过程中不难看出:若可 ,导函数f(x)在点,处取得最大值或最小值，则有f(,),0。 3:定理的几何意义:设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处 xx都有不垂直于轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于轴。 ,p(x)p(x)p(x)【例1】 设多项式的导函数没有实根，证明最多只有一个实根。 二、 拉格朗日中值定理 f(a),f(b)在罗尔定理中，第三个条件为(iii)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理: f(x)[a,b]f(x)(a,b)(a,b)定理2:若函数满足:(i)在上连续;(ii)在上可导;则在内 f(b),f(a),f(),,,至少存在一点，使得 。 b,a 8 ,若此时，还有， 。可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理f(a),f(b),f(,),0 的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。 f(b),f(a),证明:上式又可写为 „„(1) f(,),,0b,a f(b),f(a)作一个辅助函数: „„(2) F(x),f(x),(x,a)b,a 显然，在上连续，在上可导，且 F(x)[a,b](a,b) f(b),f(a) F(a),f(a),(a,a),f(a)b,a f(b),f(a) F(b),f(b),(b,a),f(a)b,a ， 所以由罗尔中值定理，在内至少存在一点,使得 ,F(a),F(b)(a,b), f(b),f(a),,,F(x),f(x),。 又 F(,),0,b,a f(b),f(a)f(b),f(a),,f(), 或 。 f(,),,0,b,ab,a 注 1:拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广; , 2:定理中的结论，可以写成f(b),f(a),f(,)(b,a)(a,,,b)，此式也称为拉 ,,a，,(b,a)(0,,,1),格朗日公式，其中可写成: , ,f(b),f(a),f(a，,(b,a))(b,a) „„(3) ,b,a，h,,f(a，h),f(a),f(a，,h)h若令 „„(4) f(x)[b,a](b,a) 3:若，定理中的条件相应地改为:在上连续，在内可导，a,b ,,f(a),f(b),f(,)(a,b)f(b),f(a),f(,)(b,a)则结论为: 也可写成 a,ba,b可见，不论,哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。这时，为介于之间的一 f(x)个数，(4)中的不论正负，只要满足条件，(4)就成立。 h xx 4:设在点处有一个增量，得到点，在以和为端点的区间上,xx，,xx，,x ,f(x，,x),f(x),f(x，,,x),,x(0,,,1)应用拉格朗日中值定理，有 ,,y,f(x，,,x),,x,y即 这准确地表达了和这两个增量间的关系，故该,x 9 定理又称为微分中值定理。 5:几何意义:如果曲线在除端点外的每一点都有不平行于轴的切线，y,f(x)y则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。 由定理还可得到下列结论: 推论1:如果在区间上的导数恒为0，则在上是一个常数。 y,f(x)f(x)II xxxxx证明:在中任取一点，然后再取一个异于的任一点，在以，为端点的I000 区间 上，满足:(i)连续;(ii)可导;从而在内部存在一点，使得 f(x),JJ ,,f(x),f(x),f(,)(x,x) 又在上，，从而在上，f(x),0IJ00 ,f(x),0， ,f(x),f(x),0,f(x),f(x) ,f(,),0， 所以 ， 00 f(x),f(x) 可见，f(x)在上的每一点都有: (常数)。 I0 三、 柯西中值定理 定理3:若f(x),F(x)满足: (i) f(x),F(x)在[a,b]上连续; (ii) f(x),F(x)(a,b)在内可导; ,(iii)F(x)在(a,b)内恒不为0; F(a),F(b)(iv); ,,f()f(b),f(a),(a,b),则在内至少存在一点，使得 。 ,F(,)F(b),F(a) f(b),f(a),(x),F(x),f(x),(x)[a,b],(x)(a,b)证明:令，显然，在上连续，且在F(b),F(a) ,(a),,(b)内可导，更进一步还有 ，事实上， f(b),f(a)f(b),f(a),(b),,(a),F(b),f(b),F(a)，f(a) F(b),F(a)f(b),F(a) 10 f(b),f(a),(F(b),F(a)),(f(b),f(a)),0 F(b),F(a) , 所以满足罗尔定理的条件，故在内至少存在一点，使得，,(x)(a,b),(,),0, f(b),f(a)f(b),f(a),,,,,,(x),F(x),f(x),F(,),f(,),0又 F(b),F(a)F(b),F(a) ,,f()f(b),f(a),,, 因为， F(,),0,F(,)F(b),F(a) 注 1:柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令，就得到拉F(x),x格朗日中值定理; X,f(x),c 2:几何意义:若用 ()表示曲线，则其几何意义同前一a,x,b,Y,F(x), 个。 f(x),f(x),f(x)【例1】 若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且，其中123 ,,a,x,x,x,b(x,x)，证明在内至少有一点,，使得f(,),0。 12312 x【例2】 若，证明,ln(1，x),x。 x,01，x ,x,0[a,b],[1,1，x]f(x),lnx证明:对，取， ， 00 (1,1，x)f(x) 不难验证:满足拉格朗日中值定理的条件，故在内至少存在一0 x110,,xf(),ln(1，x),ln1,(1，x,1)ln(1，),,点，使满足 ，即 0001，,,, xx1100(1,,,1，x),,,1,,,x 001，x,1，x,00 x0,,ln(1，x),xx 由的任意性，知本题成立。 0001，x0 注:条件“”可改为“”，结论仍成立。 x,0x,,1 11 【例3】 证明:。 sina,sinb,a,b ,【例4】 证明:若在上可导，且存在，则 f(x)(a,，,)limf(x),k,limf(x)x,,x,, ,。 limf(x),0x,, ,arcsinarccos【例5】 证明()。 x，x,,1,x,12 11？f'(x),,,0证:令，， f(x),arcsinx，arccosx221,x1,x ,,arcsinarccos由推论知f(x)=常数～再由(0)，故。 f,x，x,22 nn,1ax，ax，？，ax,0x,x【例6】 若方程有一个正根， 01n,10 n,1n,2anx，a(n,1)x，？，a,0x证明方程必有一个小于的正根。 01n,10 nn,1f(x),ax，ax，？，ax[0,x]证明:令，在闭区间上满足罗尔定理的三个条件，01n,10 (0,,,x)故f'(,),0 0 n,1n,2f'(x),anx，a(n,1)x，？，a 01n,1 n,1n,2an,，a(n,1),，？，a,0 ,01n,1 nn,1ax，ax，？，ax,00,,,x上式表明x,,()即为方程的根。 01n,10 第三节 泰勒公式 教学目的:使学生了解泰勒公式，并会求简单函数的泰勒展开式。 教学重点:函数的泰勒展开式 教学过程: 多项式是函数中最简单的一种，用多项式近似表达函数是近似计算中的一个重 11xxx,xe,，x，x,，xsin,1,(1)1要，在?2、8中，我们已见过: 等近似计n算公式，就是多项式表示函数的一个特殊情形，下面我们将推广到一个更广泛的、更高精度的近似公式。 xf(x)(n，1) 设在的某一开区间内具有直到阶导数，试求一个多项式 0 2nP(x),a，a(x,x)，a(x,x)，？？，a(x,x) „„(1) 010200nn 12 P(x)xn来近似表达，并且和在点有相同的函数值和直到阶导数的各阶f(x)f(x)n0 (),,n()n,,,导数，即:。 P(x),f(x),P(x),f(x),P(x),f(x),？？,P(x),f(x)00000000nnnn a,a,？？aP(x) 下面确定的系数，通过求导，不难得到01nn0 ()n,,,,,,a,f(x),a,1,f(x),a,1,2,f(x),a,1,2,3,f(x),？？a,n!,f(x) 001020300n , ()n,,f(x)f(x)2n00,P(x),f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)，？？，(x,x) „„(2) 00000n2!n!P(x)这个即为所求。 n xTaylor中值定理:如果函数在的某区间内具有直到阶的导数，则f(x)(a,b)(n，1)0 (x,x)P(x)R(x)当时，可表示为的一个多项式和一个余项之和: x,(a,b)f(x)0nn (n),,f(x)f(x)2n00,f(x),f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)，？？，(x,x)，R(x) „00000n2!n!„(3) (n，1)f(,)n，1R(x),(x,x)xx其中 (,介于与之间) n00(n，1)! R(x),f(x),P(x)xx，,证明:令， 下证在与之间，使得: nn0 (n，1)f(,)n，1R(x),(x,x) n0(n，1)! P(x)R(x)f(x)(n，1)(a,b)(n，1) 由于有直到阶导数，为多项式，故在内有直到阶导nn (),,nn，1(x,x)R(x)数，并且R(x),R(x),R(x),？？R(x),0。现对函数和在0n0000nnnn xx以和为端点的区间上应用Cauchy中值定理， 0 ,,R(x)R(x),R(x)R()01nnnnxx,,, (在与之间) 01n，1n，1n，1n(x,x)(x,x),(x,x)(n，1)(,,x)000010 ,,,,,,,R()R(),R(x)R()n1n1n0n2,, nnnn,1(n，,1)(,x)(n，1,)(,x),(n，1)(x,x)(n，1)n(,,x)10100020 13 x (介于与之间) ,,012 ,,x如此继续下去，经过次后，一个介于与之间，使得 (n，1)，n，1n0 (n，1)R(x)R(),nnn，1,xx ， 显然介于与之间。一般地，记号 ,n，10n，1(n，1)!(x,x)0 (n，1)R(x)R(),nn ,,,,,n，1n，1(n，1)!(x,x)0 R(x),f(x),P(x)P(x)n 又因为 而为次多项式，故当 nnn (n，1)(n，1)(n，1) P(x),0,R(x),f(x),nn (n，1)(n，1)R(x),f()f(),n，1nR(x),(x,x)xx 或 (介于与之间)。 ,,n00n，1(n，1)!(n，1)!(x,x)0 (x,x)R(x)n注1:(3)式称为f(x)按的幂展开到阶的Taylor公式，的表达式(4)0n称为Lagrange型余项; ,f(x),f(x)，f(,)(x,x)xx 2:当时(3)变为: (,介于与之间)，这n,0000就是Lagrange公式; P(x) 3:从(3)式可看出:用(2)式的多项式来近似表达f(x)，所产生的误差n (n，1)(a,b)f(x),M为，再由(4)式，不难看出:若在上，有，则有:R(x)n Rx()Mn，1nnR(x),(x,x)R(x),;((x,x))(x,x)lim,0，此时，即 00n0nnx,x0(n，1)!(x,x)0 x,0 4:若特别地，取，这时(3)式变为: 0 n(),,f(0)f(0)n2,f(x),f(0)，f(0)，x，？？，x，R(x) „„n2!n!(5) (n，1)(,)fn，1R(x),xx,f(x) 这里 (介于与之间)，我们称(5)为的0n(n，1)! Maclourin公式。 14 xf(x),e【例1】 求的Maclourin公式。 (n)x,,,f(x),f(x),f(x),？？,f(x),e,解: (n)(n，1)x,,,f(0),f(0),f(0),？？,f(0),1f(x),e ， 又 ,xe(n，1)xn，1,f,(x),e,R(x),x(0,,,1)所以 ， n(n，1)! 令代入(5)式得: 2n,xxxexn，1e,1，x，，？？，，x(0,,,1)。 2!n!(n，1)! 【例2】 求f(x),sinx的Maclaurin公式。 ,kk,(n)(n)()sin()(0)sin解 ， ,，,,fxf,22 (n)f(0),1n,当1，5，9，13，„„时， (n)n,f(0),0当2，6，10，14，„„时， 按(15)式，得: 352m1,xxxm1，sinx,x,，,？？，(,1)，R(x) 2m3!5!(2m,1)! ,(2m，1),sin(x，)(2m，1),f(x)2m，12m，12R(x),,x,,x(0,,,1)其中:。 2m(2m，1)!(2m，1)! P(x),P(x)R(x),R(x)注:。 2m2m,12m2m,1 242mxxxmcosx,1,，,？？，(,1)，R(x)同理有:， 2m，12!4!(2m)! ,,cos(x，(m，1))2m，2R(x),,x(0,,,1) 其中:。 2m，1(2m，2)! ,(1，x)【例3】求的Maclourin公式。 15 解: (,1)(,1)(,2)(,1)(,2)(,n，1),,,,,,,,？？,n,23(1，x),1，x，x，x，，x，R(x)？？,n2!3!n! ,,,,(,1)(,2)(,n)？？n，1,,n,1R(x),x(1，,x)其中:， () 0,,,1n(n，1)! 【例4】求的Maclourin公式。 ln(1，x) n23xxxn,1ln(1，x),x,，,？？，(,1)，R(x)解: n23n n，1nx!n,(1)n，1x1,，x(1)nn，1R(x),,(,1)()。 n(n，1)!n，，,x11 第四节 函数单调性的判定法 教学目的:1.使学生掌握用导数判断函数的单调性的方法; 2.利用单调性证明不等式。 教学重点:判断函数的单调性、证明不等式。 教学过程: 一、复习函数单调性的定义 二、讲解新课: 单调函数是函数中的一个重要部分，从图形上看，单调增加(减少)函数是一 x条沿轴正向上升(下降)的曲线，曲线上各点处切线斜率都是非负的(非正的)，即 ,,,,,,y,f(x),0,(y,f(x),0),y,f(x) 单增，则y,f(x),0，若 ,,y,f(x)y,f(x),0单减，则。 y,f(x)[a,b](a,b)[a,b] 下面来证明反之亦成立，设在上连续，在内可导，在内 x,x(x,x)[x,x](x,x)任取两点，在区间上应用Lagrange中值定理，故在内12121212 ,f(x),f(x),f(,)(x,x),至少存在一点，使得:，因为 2121 ,x,x,0,f(x),f(x)f(,)与同号， 2121 ,,,,f(,),0,f(x),f(x),0(a,b)f(x),0(i)若在内，，则有，即21 16 ，此时，单增; f(x),f(x)y,f(x)21 ,,,,(ii)若在内，，则有，即f(,),0,f(x),f(x),0(a,b)f(x),021 ，此时，单减; f(x),f(x)y,f(x)21 综和上述正反两方面，得: 判定法:设在上连续，在内可导，则: f(x)[a,b](a,b) , (1)在上单增的充要条件是; f(x)[a,b]f(x),0 , (2)在上单减的充要条件是。 f(x)[a,b]f(x),0 x,x注1:此“单增”或“单减”与课本上的意义有些区别，它是指:若，则有12 “f(x),f(x)f(x),f(x)x,x”或“”或称“不减”或“不增”。而对时，121212 有 f(x),f(x)f(x),f(x) “”或“”时，称为“严格单增”或“严格单减”。1212 在不特别要求下，也可称为“单增”或“单减”。 , 2:若f(x)(a,b)f(x),0(f(x),0)f(x)[a,b]在内有，则在上严格递增(严格递减); ,, 严格递增(i)f(x),0; (ii)在任何子区间上f(x),0。 , [a,b] 3:可换成其它任何区间，包括无穷区间，结论成立。 x,ln(1，x)【例1】 证明:当时，。 x,0 1x,证明:令f(x),x,ln(1，x)f(x),1,,,0 1，x1，x ,f(x),0f(x)所以，当时，，所以为严格递增的 x,0 ,f(x),f(0),0,ln(1，0),0x,ln(1，x)，所以。 3f(x),3x,x【例2】讨论单调性。 3,f(x),3x,x,3(1,x)(1，x)解: 17 ,(?)当时， 所以在上严格递减; f(x),0f(x)(,,,,1),,,,1 ,(?)当时 , 所以在[-1，1]上严格递增; f(x),0f(x),1,x,1 ,(?)当时， 所以在上严格递减。 f(x),0f(x)[1,，,)1,x,，, 【例2】中的通常称为单调区间并且称为单调增(,,,,1],[,1,1],[1,，,)(,,,,1],[1,，,)加区间，[-1，1]称为单调减少区间，而二点恰为单调区间的分界点，不x,1,x,,1 ,,难知。 f(,1),f(1),0 一般讲，在定义域内未必单调，但可用适当的一些点把定义域分为若干个区间，f(x) 便得在每一个区间上都是单调函数。而这些分点主要有两大类:其一是导数等f(x) ,于0的点，即的根;其二是导数不存在的点。事实上，只要在定义域f(x),0f(x)内连续，且只在有限n个点处导数不存在，则可用分点将区间分为若干个小区间， ,使得f(x)在各小区间上，保持有相同的符号，即恒正或恒负，这样f(x)在每个小区间上为增函数或减函数，各小区间则相对地称为单增区间或单减区间。 32【例3】求的单调区间。 y,(2x,5)x 52 33y,2x,5x解:在(-?，+?)上连续，当X?0时， 21,101010x,133, y,x,x,3333x 再令y′=0，解得，X=1为导数等于0的点，又当X=0时，函数的导数的存在，所以X=0为不可导的点，现用X=0和X=1作为分点来将(-?，+?)分为(-?，0)，[0，1]和[1，+?]三个区间。 ,f(x),0f(x)(,,,0)(?)在(-?，0)上，，所以在上为单增函数; ,(?)在(0，1)上，f(x),0，所以f(x)在[0，1]上单减; ,(?)在(1,，,)上，f(x),0，所以f(x)在(1，+?)上单增。 【例4】方程(其中a,0)有n个实根, lnx,ax 1,解:设f(x),lnx,ax,f(x),,a x 11,f(x),0,,x,令，用点将其定义域(0，+?)分为(0，1/a)和[1/a，x,aa +?]二个区间，且 111,0,x,f(x),0f(x)(?)当时，，所以在(0,)是单增的，故当时，x,aaa1f(x),f()。 a111,f(x),0f(x),x,，,[,，,)(?)当时，，所以在上为单减的，故当x,时，aaa 18 1。 f(x),f()a 11由(?)(?)知，当时，即对，,x,(0,，,),f(x),,(1，lna)f(x),f(),,(1，lna)x,aa 下面来讨论有几个实根: lnx,ax (a)若1+lna,0，即a,1/e时，,0，即方程无解。 f(x) (b)若1+lna=0，即a=1/e时，，且仅在X=1/a=e时，有=0，此时，方程f(x),0f(x)有唯一的解。 (c)若1+lna,0，即0,a,1/e时，f(1/a),0，又在(0，1/a)上，单增，且f(x) ，，故在(0，1/a)上，函数与x轴有一个且只一个交点，即方程的f(x)limf(x),,,x,0， 根，又在[1a,，,)上，单减，且，故在(1a,，,)上，与X轴有f(x)f(x)limf(x),,,x,，, 一个且只有一个交点，即方程的根，合起来，此时方程有二个实根。 三、课堂练习: 1判定下列函数在指定区间上的单调性: (1)，[0,]; f(x),x,sinx2, x,,,y,e,x,1(2)，(，+); 12x,3,2(证明:当x>1时， x四、布置作业: 第五节 函数的极值与最值 教学目的:1 使学生理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法。 2使学生掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 教学重点:求函数的极值。 教学过程: 一、复习函数单调性判别法 二、讲解新课: (一)函数的极值 32上节[例3]中，用X=0，和X=1两点将的定义域(-?，+?)f(x),(2x,5)x [1,，,)f(x)分为三小区间(-?，0)，[0，1]，，使用分别在这三个小区间上单增，单 f(x)减，单增(见图)，从图中不难看出，在X=0的一个较小范围内，在X=1点的最小区间都是虑的局部情况，而不是整体这就是将讨论的极值。 U(x),x,U(x)f(x),f(x)f(x)定义:设函数在点X的某邻域上有定义，若对有，0000 f(x),f(x)() 0 f(x)定义:设函数在点X处的得极大值(极小值)点X称为极大点(极小点)，极00大值，极小值统称为极值，极大点，极小点统称为极点。 19 显然在上一讲 [例3]中，X=0，X=1均为极点，注:极大点，极小点未必统一。 ,f(x),0x定理1:(极值的必要条件)，若函数在点可导，且取得极值，则。 f(x)00 ,,x,xf(x),0f(x)x注: 1、一般地，在处有，就称为的驻点或稳定点，f(x)0000 上定理1即是可导函数的极点必为稳定点。 3f(x),xx2、定理1不是充分的即驻点未必是极点，及例:在=0处的情况。 3、定理1只对可导函数而言，对导数不存在的点，函数也可能取及极值，例: =?x?，在x=0点的导数不存在，但取得极小值。 f(x) 4、证明可仿照Rolle 中值定理的证明，此处不证了。 如何判别在x点取得极值，有下二个定理: f(x)0 0U(x)定理2(判别法1)，设连续，在x点连续，在x的某一定心邻域内可导 f(x)000(?)若当x?(x –σ，x )时，f′(x)?0，当x?(x，x +σ)时， 0000 f′(x)?0，则f(x)在x点取得极大值。 0 (?)若当x?(x –σ，x )时，f′(x)?0，当x?(x，x +σ)时， 0000 f′(x)?0，则f(x)在x点取得极小值。 0 定理3(判别法2)设f(x)在x的某邻域内可导，且f(x)=0，f′(x)存在 000(?)若f″(x),0，则f(x)在x点取得极大值。 00 (?)若f″(x),0，则f(x)在x点取得极小值。 00 (?)若f″(x)=0，则此差别法2换效。 0 证:(?)f″(x)=lim f′(x)- f′(x)/x- x= lim f′(x)/ x- x,0 0000故存在x的某邻域U(x ，σ)，当X?(x ，σ)时，f′(x)/x- x。即f′(x)0000与x- x反号，当x?(x –σ，x)时，f′(x),0，当x?(x，x+σ)时，f′00000(x),0;由差别法1，f(x)在x点取得极大值。 0 2(?)[反例1] f(x)=x 在x=0点取得极小值。 3[反例2] f(x)=x 在x=0点取不到极值。 3 [例1]上节[例2] f(x)=3x-x 2/3[例2]求f(x)=(x-2)(2x+1)的极值 10(x,1),f(x),,0,x,1解:由为驻点; 33x,2 102x,510,310,,,,f(x),, 又 ，所以 f(1),,,,,0 439913(x,2) f(x)f(1),3f(x)所以在处取得极大值，且极大值为。又在处不可导，x,1x,2 20 ,,对充分小的当时，;当时，，由判x,(2,,,2)f(x),0x,(2,2，,)f(x),0,,0 别法1知在处取得极小值，且极小值为f(2)=0，所以f(x)在x=1处f(x)x,2 取得极大值3，在x=2处取得极小值0。 (二)函数的最大值与最小值 现讨论求最大值，最小值的问题，最大(小)值是一整体概念是指函数在定义域内取到的了最大数，最小数。与极大值，极小值不同。如果最大(小)值在定义域内部取得，则此最大(小)值必为极大(小)极，这时，最大(小)点必为导数不存在的点和驻点，另外最大(小)值还可能在定义域的端点上取得(若端点在定义域中的话)。 由此，若f(x)在定义域上取到最大(小)值。现给出求f(x)在区间?上的最大(小)值办法: (i)求出f(x)在?上的所有驻点不可导点和端点。 (ii)求出f(x)在这些点上的函数值，再进行比较:最大(小)者即为所求的最 大(小)值。 特别地，若f(x)在[a，b]上连续，可导，此时最大(小)值必在驻点和端点a、b中取得。 42[例1]求f(x)=x-2x+3在区间[-3，2]上的最大值和最小值。 解:因为f(x)在[-3，2]上连续，故最大值，最小值一定存在。 又f(x)在[-3，2]内可导，即无不可导的点，下求驻点; 3,f(x),4x,4x,0,x,0,x,1,x,,1令为驻点。 123 而f(0),3,f(1),2,f(,1),2又在端点处f(-3)=66，f(2)=11经过比较，得知最大者为66，最小者为2，?f(x)在[-3，2]上的最大值为66，最小值为2。 42思考题:f(x)=x-2x+3在 [-3，2]上是否存在最大，小值,为什么, 42[例2]求f(x)=x-8x在[-1，1]上的最值。 解:f(x)在[-1，1]上连续，可导，?最值存在，且在驻点和端点中取得。 32令f′(x)=4x-16x=4x(x-4)=0 得x=0，x=2，x=-2，因为2，-2?(-1，1)故去掉，所以在[-1，1]中有一个驻点123 x=0，且f(0)=0。又在端点处，f(-1)=f(1)=-7，由比较得f(X)在[-1，1]上的最大值为0，最小值为-7。 注:上例中，S=0为f(x)在[-1，1]上的唯一的驻点，不难验证f(x)在x=0处取得极大值(因为f″(0)=-16)，恰好，在x=0处f(x)上取得最大值，但这并非偶然，一般地有: 性质:设f(x)在区间?内可导，且只有一个驻点x，且若f(x)在x点取得极大00 21 (小)值，则f(x)必在x点取得最大(小)值。 0 [例3]在曲线y=1/x(x,0)上取一点使之到原点的距离为最近 2212解:曲线上任一点(x，y)则(0，0)点的距离为 即 s,x，ys,x，2x 222，而求x使s最小值可转化为求x使s=x+1/x最小，由题意知，这个最近距离是21x,12,(s),2x,2,2,,0,x,1,x,,1存在的，即函数的最小值存在。由 1233xx (舍去) 2,,(s),8,0所以当x,0时，只有一个驻点x=1，且在x=1点。 22所以s在x=1处取得极小值2，所以s在x=1处取得极小值。而这个极小 2值 即为S在区间(0，+?)上的最小值。 注:在实际问题中，若由题意得知最大值或最小值存在，且一定在所致虑的区间内部取得，此时，若在该区间内部只有一个驻点，那么不必再作讨论，就可断定f(x)0就是所求的最大值或最小者。 [例4]AB=100km，AC=20km且，选择点D，公路与铁路运费之比为AC,AB 3:5，使运费最省，D去何处, 2解:() y,5k,CD，3k,DB,5k,400，x，3k(100,x)0,x,100 5xy',k(,3) 令y’=0，得x=15(唯一驻点) ,2400，x 1y,k，|5001y|,400ky|,380k且 ，， x,100x,0x,1525三、课堂练习: 321求函数的极值; y,(2x,5)x 242y,x(x,3x，3)2(求函数的极值; 42234242f'(x),2x(x,3x，3)，x(4x,6x),2x(x,3x，3，2x,3x)解: 4222,6x(x,2x，1),6x(x,1) 令f’(x)=0，驻点为x=0,x=1,x=-1。 32f(x),x,3x,9x，53(求函数的极值。 ,xf(x),e(x，1)4. 求函数在[1，3]上的最大值、最小值; 解:由例3知f(-1)=10，f(3)=-22，再求出f(-2)=3，f(4)=-15，比较可得出最大值 22 与最小值。 第六节 曲线的凹凸与拐点 教学目的:1 使学生理解函数凹凸与拐点的定义;会用导数判断函数图形的凹凸性; 2 会求函数图形的拐点; 3 会求水平、铅直和斜渐近线， 4 会描绘函数的图形。 教学重点: 描绘函数的图形 教学过程: 一、曲线的凹凸与拐点 为了较准确地描出函数的图形，单知道函数的单调区间和极值是不行的，比如说，f(x)在[a，b]上单调，这时会出现图中的几种情况，l是 一段凸弧l是一段凹弧，12l即有凸的部分，也有凹的部分，曲线具有这种凸和凹的性质，称为凸凹性。 3 从几何意义上看，凸弧具有这种特点:从中任取两点，连此两点的弦总在曲线的下方。进而不难知道，在(a，b)中任意取两个点函数在这两点处的函数值的平均值小于这两点的中点处的函数值。凹弧也有相仿的特点。 定义:设f(x)在[a，b]上连续，若对Vx，x?(a，b)恒有: 12 f(x+x/2),f(x)+f(x)/2或f(x+x/2),f(x)+f(x)/2 12121212这称为f(X)在[a，b]上的图形是凹的(凸的)或凹弧(凸弧)。 注:1、有的书也用此线的位置来定义。 4 2、上面等式有些书上带等号，例如对y=x 定理:设f(x)在[a，b]上连续在[a，b]内具有一阶和二阶导数， (i)若在[a，b]内，f″(x),0，则f(x)在[a，b]上的图形是凸的。 (ii)若在(a，b)内，f″(x),0，则f(x)在[a，b]上的图形是凹的。 证明:下面证(i)从(a，b)中任取二点x，x不防设x,x 1212 由lag range中值定理， x，xx,xx，x122112,f(x),f(),f()()(,,x),, 2112222 x，xx,xx，x122112,()()()()(),, f,fx,fx,,1212222 f(x)，f(x)x，xx，xx，x1112121212,f(),[f(x),f()]，[f(),f(x)]所以 21222222 23 1x,xx,x2121,,,,[()()]()() ,,,,,,f,f,f,1212224 ,,,,其中又因为 ,,,,,,f(x),0,f(,,021 f(x)，f(x)x，x1212 ,,f(),022 ()()x，xfx，fx1212()即 ，由定义，即得。 f,222[例1]判别曲线y=2x+3x+1的凹凸性 解:因为y′=4x+3，y″=4,0 2所以曲线y=2x+3x+1在其定义域(-?，+?)上是凹的。 [例2]证明当x?[0，1]时，有不等式 pp证:首先，由， p,1,x,[0,1],x，(1,x),x，(1,x),1pp1x，(1,x)1pp, 现证:，即证 ,x，(1,x),1p2p22pp,1p,2,,,令 f(x),x,f(x),px.f(x),p(p,1)x,0 p的图形在[0，1]上凹的 ？f(x),x, pppp 1(1)(1)(1)x，,xx，,xx，,xp()即 ,,p 2222[例3]讨论曲线y=arctanx的凹凸性 21x,,,y,y,,,当x,,y解 ， ，0时，，0; 2211，x，x,,y,曲线y,arctanx在(,,,0)上是凹的,在(0,，,)是凸的当x，0时，，0。 从[例3]中不难知道点X=0为曲线的凹部分与凸部的分界点定义，连续曲线上的凸弧的分界点称为曲线的拐点。 若f(x)在(a，b)内有二阶导数，x点的拐点，则有f″(x)=0，且在x左右000两边，f″(x)异号，由此不难求拐点的步骤: (i)求出f″(x)=0，在(a，b)中的所有解x=x。 0 (ii)对(?)中所求的每一个x，察f″(x)在x左右两边的符号，若异号，则00 x为拐点，若同号，则x不是拐点。 0012yx,，[例4]求 的拐点 x ,x,x,,,,,y,(1,x)e,y,(x,2)e.令y,0,x,2.解: ,,,, 当x,2时,y,0,当x,2时,y,0.？x,2为拐点. 11523[例5]求 的拐点。 y,xx,x， 20102852 11211(x,1)，，333,yx,x，x,,,,338529x，， 24 解: 令y″=0 x=1，但此时，在x=1附近，不论x,1还是x,1，都有y″,0，?x=1不是拐点。然而，当x=0时，y″不存在，但当x,0时，y″,0，当x,0时，y″,0，由定义知，x=0为拐点。 32[例6]讨论函数的凸性。 f(x),(2x,5)x 2110x,132f'(x),2x，(2x,5),,,,解:定义域:()， ,,,，,3333xx 2,133x,(x,1)(1，)x10102x，13 f''(x),,,,33239xxx 1当x=0时，f’(x)不存在，f”(x)不存在;当x,,时，f”(x)=0。 2 列表讨论: (1,，,)11X 10 1 (0(,,,,)(,,0), ，1) 222 f'’(+ + + - 0 + 不 x) 存在 f'”(- 0 + + + + 不 x) 存在 f(x) 拐极 点 值 三-函数图形的描绘 根据前n节所学的知识，我们可较准确地画出函数的图，描绘函数图象的一般步骤: 1、确定函数的定义域，并求出f′(x)，f″(x) 2、求出f′(x)=0和f″(x)=0的所有根，及不可导点，并用这些点将定义域分为若干个小区间。 3、确定f′(x)和f″(x)在这些子区间上的符号，并且由此确定的函数图形的升降，凹凸及极点和拐点。 4、确定水平，铅直渐近线，以及其它渐近线。 5、确定某些特殊点的坐标，比如:与坐标的交点。 6、沿x增大的方向按上讨论的结果，将点用曲线光滑连结起来，分点的坐标， 25 以把图描得更准些，另外，还可以观察f(x)的奇偶性，周期性配合作用。 -x[例1]作出函数y=xe的图形 -x解(?)y=xe的定义域为(-?，+?) -x-xy′=(1-x)e，y″=(x-2)e (?)令y′=0 x=1，令y″=0 X=2 用x=1，x=2，将?(-?，+?)分为三部分(-?，1)，[1，2]，[2，+?] ?(-?，1)上，y′,0，y″,0，?f(X)的图形在(-?，1)上是单增的，且是凸的 在[1，2]上，y′,0，y″,0，?f(x)的图形在(1，2)上是单减的，且是凸的 在[2，+?]上，y,0，y″,0，?f(x)的图形在[2，+?]是单减的，且是凹的。 进而得x=1为极大点，x=2为拐点 -x-x(?)当x?+?时xe?0, ?y=0是水平渐近线，当x?-?时xe?-? -1-2(?)f(1)=e，f(2)=2?e，f(0)=0，从而得四个点的f(-1)=-e坐标 -2(0，0)，(1，1/e)，(2，2e)，(-1，-e) 将(?)(?)(?)的结果列成下表: X (-?，1) 1 (1，2) 2 (2，+?) y′ + 0 - - - y″ - - - 0 + Y=f(X)的图形 ?凸 极大 ?凸 拐点 ?凹 课堂练习: 33y,xy,x1 讨论下列函数的凸性: (1); (2); y,lnx2( 讨论函数的凸性，当时，a,b为任意的实数， 0,,,1 1,,,ab,(1,,)a，,b3 证明: 11, : 2 y',，，在定义域(0，+)内，y”=0，故y=lnx是y",,2xx 凹函数(图形是凸的) (1,,)lna，,lnb,ln[(1,,)a，,b] 3 由凹函数的定义 1,,),ln(ab)ln[(1,,)a，,b](1,,)lna，,lnbln[(1,,)a，b]e,ee,e , 证毕。 26 27