平行四边形的性质及判定

平行四边形的性质及判定 平行四边形的性质(1) 学习目标:1(理解并掌握平行四边形的定义;会用定义识别平行四边形。 2(掌握平行四边形的性质1及性质2。初步会运用这些性质进行有关的论证和计算。 3(培养综合运用知识的能力。 重点:平行四边形的概念和性质1和性质2 难点:平行四边形的性质1和性质2的应用。 一、学前准备: 回忆小学知识: 1、 叫平行四边形。 2、平行四边形的性质有:? ; ? 3、求证:平行四边形的对边相等。 已知: 求证: 证明: 4、求证:平行四边形的对角相等。 已知: 求证: 证明: 二、探究活动 1、小明用一根36米长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边 FCAB长比另一条边BC长小2米，求平行四边形各长多少, D E BA 2、如图所示～?ABCD中～E是BC的中点～连接AE并延长交DC的延长线于F～则AB与CF相等吗,说明理由 ,1,一变:C是DF的中点吗, ,2,二变:若使?F,?DAF～?ABCD的边长之间 还需要再添加一个什么条件,请你补上这个条件～并进行证明,不增添辅助线, ,3,三变:若AF平分?DAB～且?D=?F,能求出?B的度数吗, ,4,四变:若在?ABCD中～延长DC到F使DC=CF,连接AF交BC于点E～则E是BC的中点吗, 三、巩固提升 1、教材84页练习1、2、3 、在平行四边形ABCD中，?A=?B+240，则?A的邻角的度数为 。 2 3、在平行四边形ABCD中，若?A:?B=2:3，则?C = 、?D= 。 04、在平行四边形ABCD中，?B=150，AB,8，BC,10。 求?A、?C、?D及平行四边形的面积。 平行四边形的性质(2) 学习目标:1、掌握平行四边形对边相等、对角相等的基础上，掌握对角线互相平分的性质，初步会运用这些性质进行有关的论证和计算。 2、培养综合运用知识的能力。 重点:掌握对角线互相平分的性质。 难点:探索、寻求解决问的思路。 一、学前准备: 1、 叫平行四边形。 2、平行四边形的性质有:? ; AD? 3、如图，在 ABCD中，AE=CF，求证AF=CE E F BC图(6) 4、求证:平行四边形的对角线互相平分。 AD已知: O CB求证: l E A 证明: D O B C 二、探究活动 F 1、如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，经过点O的一条直线l与一组对边相交于点E、F，试猜想OE与OF的大小关系，并加以证明。 变形:如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，经过点O的一条直线与一组对边的延长线相交于点E、F，试猜想OE与OF的大小关系，你能证明吗, (((((( E l A D O B C 观察发现:直线l在绕点O旋转的过程中， F ?以E、F为端点的线段中，哪些线段的长度发生了变化, ?在旋转的过程中，OE与OF还相等吗,还有以E、F为端点并且具有相等关系的线段吗, ?在旋转的过程中，平行四边形被分成的两部分的面积相等吗,能证明吗, l E A D O 2、平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O. B C F 有哪些相等的线段? (1) 图中有哪些三角形全等? (2) 若平行四边形ABCD的周长是20cm,?AOD的周长比?ABO的 周长大6cm.求AB,AD的长. AD O CB三、巩固提升 1、教材86页练习1、2 2、如图3,若AC、BD、EF两两互相平分于点O,请写出图中的 DFC一对全等三角形(只需写一对即可)______________________. O3、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如 果AC=10，BD=8，AB=x，则x的取值范围是( ) BAE(3) A(1,x,9 B(2,x,18 C(8,x,10 D(4,x,5 4、平行四边形的一边长是10，那么它的对角线长可能是( ) A、4和6 B、10和12 C、8和10 D、6和8 5、如图，平行四边形ABCD中，AC交BD于O，AE?BD于E， ?EAD=60?，AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角形BOC的周长。 18.1.2平行四边形的判定1 一、学习目标 1、理解并掌握平行四边形的判定定理。 2、会运用这些判定方法解决简单的问题。 二、自主学习 1～平行四边形的性质有: 2、写出以上性质的逆命题: 3、这些逆命题成立吗,你能用平行四边形的定义证明它们吗, 三、问题探究 探究1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 探究2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 探究3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 A D 探究4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D A B C B C 归纳:平行四边形的判定定理 四、反馈提升 1、ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE?AC于E，DF?AC于F( 求证:四边形BEDF是平行四边形( 2、如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，并且AE=CF( 求证:四边形BFDE是平行四边形( 五、达标应用 1、如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证:BE=DF( 2、已知:如图，?ABC，BD平分?ABC，DE?BC，EF?AC，求证:BE=CF 3、在ABCD中，BE平分?ABC交CD于点E，DF平分?ADC交AB于点F，求证BF=DE( 18.1.2平行四边形的判定2 一、学习目标 1、理解和领会三角形三角形中位线定理及其应用 2、会应用三角形中位线解决四边形的问题 二、自主学习 1、三角形的中位线: 2、一个三角形有 条中位线，三角形的中位线和中线一样吗, 三、问题探究 探究 三角形中位线的性质 如图，点D、E分别是?ABC的边AB、AC的中点， A1BC求证:DE?BC、DE=. 2 D E CB归纳:三角形中位线定理 四、反馈提升 1、如图(1)，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点( 求证:四边形EFGH是平行四边形( 五、达标运用 1、已知:三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长( 2、如图，?ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， (1)若EF=5cm，则AB= cm;若BC=9cm，则DE= cm; (2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系,证明你的猜想( 3、在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点(试说明四边形MNPQ是平行四边形( 平行四边形典型问题分类解析 1(证明线段垂直 例1 已知:如图，在平行四边形ABCD中，AB = 2BC，M为AB的中点，求证:CM?DM( :根据平行四边形的性质，不仅对角相等，而且相邻角的角也互补，这就为证明垂直提供了充分 的条件(又有已知中AB = 2BC和M为AB的中点，可以得到相等的角(其中有内错角相等，也有等边对等 90:角性质的应用，使?CDM，?DCM =，可使问题得到解决( 证明:在平行四边形ABCD中，AB?CD，AD = BC， ??AMD =?CDM，?BMC =?DCM， D C ?AB = 2BC，M是AB的中点，?AD = AM = BM = BC( ??ADM =?AMD，?BMC =?BC M B A M ??ADM =?CDM，?BC M =?DCM， 例1图 11??CDM =?ADC，?DCM =?BCD( 22 180:90:90:又?ADC，?BCD =，??CDM，?DCM =，即?DMC =( ?CM?DM( 评析:本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质，证明了CM、DM所在的三角形两锐角互余，由 90:=三角形内角和定理得出?DMC ，从而得到结论(这是证明两线段互相垂直的常用方法( C 2(证明线段平行 A 例2 如图，AB、CD 交于点O，AC?DB，AO = BO，E、F分别为OC、 E OD的中点，连结AF、BE(求证:AF?BE( O 分析:从已知条件可证?AOC??BOD，得到OC = OD，又有E、F为OC、 F OD中点，则OE = OF，判定四边形AFBE为平行四边形，即有AF?BE( B 证明:连结BF、AE，?AC?DB，??C =?D( D 例2图 ，C,，D,, ,，AOC,，BOD,在?AOC和?BOD中，有 , ,AO,BO., ??AOC??BOD，?OC = OD( 又E、F为OC、OD的中点，?OE = OF， ?四边形AFBE是平行四边形， ?AF?BE( 评析:学习了平行四边形以后，又多了一种证明平行线的方法( 3(证明线段相等 例3 如图，?ABC中，AB = AC，P是BC上的一点，PE?AC，PF?AB，分别交AB、AC于E、F，请猜出线段PE、PF、AB之间存在什么关系，并证明你的猜想( 分析:从已知条件中不难证明PF = AE，PE = BE，从而PE、PF、AB之间满则关系式PE，PF = AB(即猜想结论:PE，PF = AB( A 证明:?PE?AC，??BPE =?C( E F ?AB = AC，??B =?C， B ??BPE =?B，?PE = BE( C P 例3图 PE?AC，PF?AB， ?四边形AEPF是平行四边形，?PF = AE( ?BE，AE = AB，?PE，PF = AB( 评析:在解决此类探索性问题时，一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论，这就是对猜想问题的常用解题思路( 4(求线段的长度 120:60:150:例4 如图，在四边形ABCD中，AB = 6，BC = 8，?A =，?B =，?C =，求AD的长( 分析:要求AD的长度，需要借助辅助线把问题转化，由?A 和?B的关系可以判定AD?BC，这样不妨过点C作AB的平行线，构成一个平行四边形，E A D 然后利用角之间的关系与平行四边形的性质，使问题 得以解决( B C 解:点C作CE?AB交AD于E， 例4图 180:??A，?B =，?AD?BC， ?四边形ABCE是平行四边形( 120:?AE = BC = 8，CE = AB = 6，?BCE =?A =( 150:30:又??BCD =，??DCE =( 360:120:60:150:30:而?D =,,,=， 30:??D =?DCE =，?DE = CE， ?AD = 8，6 = 14( 评析:在判定AD?BC后，辅助线的添加是解题的关键，虽然辅助线的添加在解题时没有一定规律可循，但可以通过分析已知条件与待求结论，从中得到启发，从而正确地作出辅助线(