高中数学竞赛竞赛讲座 28代数式的变形（整式与分式）

竞赛讲座28 ,代数式的变形(整式与分式) 在化简、求值、证明恒等式(不等式)、解方程(不等式)的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍. 1( 配方 在实数范围内，配方的目的就是为了发现中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题. 例1 (1986年全国初中竞赛题)设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以示成两个整数的平方和，其形式是______. 解mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2 =(ac-bd)2+(ad+bc)2, 所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或(ac-bd)2+(ad+bc)2. 例2(1984年重庆初中竞赛题)设x、y、z为实数，且 (y-z)2+(x-y)2+(z-x)2 =(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2. 求的值. 解 将条件化简成 2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 ?(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ?x=y=z,?原式=1. 2.因式分解 前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子. 例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求 的值. 解 ?a为x2-3x+1=0的根, ? a2-3a+1=0,,且=1. 原式 说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算. 3.换元 换元使复杂的问题变得简洁明了. 例4 设a+b+c=3m,求证: (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0. 证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c则 p+q+r=0. P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0 ?p3+q3+r3-3pqr=0 即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0 例5 (民主德国竞赛) 若,试比较A、B的大小. 解 设 则 . ?2x,y ?2x-y,0, 又y,0, 可知 ?A,B. 4.设参 当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比. 例6 若求x+y+z的值. 解 令 则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k, ?x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0. 例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1, ,求a+b+c的值. 解 设 a+b+c=k 则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b. 由条件知 即 ?a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc, ?(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3. ?a2+b2+c2=1, ?k=a3+b3+c3-3abc =(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc =(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c), =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca), ?k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac), ?k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0, ?k(-ab-bc-ac)=0. 若K=0, 就是a+b+c=0. 若-ab-bc-ac=0, 即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0, ?(a+b+c)2=1, ?a+b+c=?1 综上知a+b+c=0或a+b+c=?1 5.“拆”、“并”和通分 下面重点介绍分式的变形: (1) 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一 个整式和一个分式的代数和. 例8(第1届国际数学竞赛试题)证明对于任意自然数n，分数皆不可约., 证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约. 而 显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约. (2) 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的 代数和. 例9 设n为正整数，求证: ? ? 证明 令 通分， 比较?、?两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=. ? 令k=1,2,…,n得 (3)通分 通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子. 例10(1986年冬令营赛前训练题) 已知 求证:. 证明 6.其他变形 例11 (1985年全国初中竞赛题)已知x(x?0，?1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算(可用括号)，经过六步算出x2.那么计算的表达式是______. 解 x2=x(x+1)-x 或 x2=x(x-1)+x 例12 (第3届美国中学生数学竞赛题)设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b. 解 由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故 19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2) 解得 x=3. y=10. ? d-b=y3-x5=757 练习 七 1选择题 (1)(第34届美国数学竞赛题)把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是( ) (A)2 (B)3 (C)6 (D)7 (E)8 (3) 已知则的值是( ). (A)1 (B)0 (C)-1 (D)3 (3)(第37届美国中学数学竞赛题)假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了( ). (A)p% (B)% (C)% (D)% (E)% 2填空题 (1)(x-3)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________, b+c+d+e=_______. (2)若=_____. (3)已知y1=2x,y2=,则y1y1986=______ 3若(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系. 4(1985年宁夏竞赛题)把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子. 5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值. 6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证 7已知a2+c2=2b2,求证 8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证: 如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方. 9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd. 练习七 1.C.C.E 2.(1)-32,210 (2) (3)2 3.略. 4. 5. 6.略, 7.略. 8.?p2-4q-4(m+1)=0, ?4q=p2-4(m+1)=0, ?f(x) =4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p?(m+1)x+(m+1)2 =4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x =[2x2-px-(m+1)]2. 9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为 pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq), 展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0, 即(cp-bq)(dp-aq)=0. 于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d). 均可得出ac=bd.