错位排列

错位排列 错位排列 5—数学教学2006年第5期 错位排列 430061湖北省武昌实验中学王先东 一 ,问题的提出. 问题1:将编号为1,2,3,4的四封信投入 编号为1,2,3,4的信箱,每个信箱投一封,但 信的号码与信箱的号码不能相同,问有多少种不 同的投 解:将1号信投入信箱只有3种投法,分别为 2,3,4号信箱.若1号信投入2号信箱,则2号 信只能投入1,3,4号信箱,有3种投法,3号信 和4号信只有一种投法.所以共有3×1×1=3 投法.若1号信投入3号信箱,或1号信投入4号 信箱,分别有3种投法. . . .共有3+3+3=9种投法. 对于多个编号不同的信投入编号不同的信 箱,用问题1的逐一分析法很复杂,而且容易出 错,下面我们来给出有礼封信的投法. 二,问题的一般性解答 信投入了不该投的信箱"多减了一次..'.应加上 c?n一 - 2 2,但加上的种数中又多加了"有3封信 投入了不该投的信箱". . ' .叉减去?n--一33,……依次类推,最后 得到的投法共有 一? 二+?二;一?二;+ …一 二?}+?Ao(扎为偶数)或 一? A'~--+?二;一?二i+ … +二?A}一?(n;2奇数)种. 三,问题的推广 如果扎封信中有m封信(m?n)不能投入 与自己编号相同的信箱,可得出共有 ? (一?An_+?二一? :2+…一一?An一-仇m+++—mm.A.n一-mm)(仇 为偶数)或 c?(一c?nTI,一m+?二;一…+ 一 直角坐标系里进行比较,而改写后则可以在同的反例是函数:一1 ,当然这是两个函数重合的 一 臻系时对比究,,譬们知道它们的图象情况.我们十b可-4以"J过电脑演示看到一般 的:苎关于 ,. 称特征,所以通..,一l.g .z的图象关系着.的改变改常把 三:()Y,,(z).,,,,变,-并4y发m现只是至(3)函数,()与=== i-1)的图象关某.磊釜. 函数:,(z)与:i-1()的图象关系主性是一致的?当然,具有单调性的区间未必 要有三方面:一是对称关系,二是单调性,三是相同 公共点判断.与前者相关的一个重要结论是"如参考文献 果两个函数的图象关于直线Y:z对称,那么这【1】曾国光.中学生函数认知发展研 究.数 5—4毒数学投学2006年第5期 扶杆榫合处称作联结点(如点A). 图9 (1)通过计算,补充填写下: 楼梯种类两扶杆总长(m)横档总长(m)联结点数(个) 五步梯42.O10 七步梯 九步梯 假定加工费以每个联结点1元计算,而材料费中 扶杆的单价与横档的单价不相等(材料损耗及其 它因素不计).现已知一把五步梯,七步梯的成本 分别是26元,36元,试求出一把九步梯的成本. 解:(1)七步梯,九步梯的扶杆长分别是5米, 6米,横档总长分别3.5米,5.4米,联结点个数分 别是14个,18个. (2)设扶杆单价为元/米,横档单价为Y 元/米.依题意,得 4x+ + 2y+ + 1× × ~o- : 26; 5x3.5y11436. 解得 y= ==: 2 3:【++ ×=.…【. . . . 九步梯成本为6x+5.4y+1?18=46.8元. 简评:本题要求学生从图形中获取有用的信 息,然后把实际问题转化为纯数学问题加以解决; 并要求能敏锐地看到每个梯子中各横档长度构 成一个等差数列,以方程为工具加以解决. 五,梯子中的统计 例9(2004年河北省实验区中考试题)在某 旅游景区上山的一条小路上,有一些断断续续的 台阶.图1O是其中甲,乙两段台阶路的示意图. 图1O中的数字表示每一段台阶的高度(单 位:cm).并且数据15,16,16,14,14,15的方 ,数据11,15,18,t7,10,19的方差 差s奋=吾 s乏3. 请你用所学过的有关统计知识(平均数,中 位数,方差和极差)回答下列问题: (1)两段台阶路有哪些相同点和不同点? (2)哪段台阶路走起来更舒服?为什么? (3)为方便游客行走,需要重新整修上山的 小路.对于这两段台阶路,在台阶阶数不变的情 况下,请你提出合理的建议. 甲路段乙路段 图10 简解:(1)得=15,=15, 相同点:两段台阶路各台阶高度的平均数相 同; 不同点:两段台阶路各台阶高度的中位数,方 差和极差均不相同. (2)甲路段走起来更舒服一些,因为它的台 阶高度的方差小. (3)整修每个台阶的高度均为15cm(原平均 数),使得方差为0. 简评:由这个题看到,统计知识的考查已由 以往单纯的计算转向对知识的理解和在实际情 景中的应用,学生要会分析,处理数据,解决实 际问题. 数学来源于生产,生活实际,反过来又服务 于生活.以上几个"梯子"试题拉近了数学与实际 生活的距离,从而加深对数学的理解,增强"学数 学"的信心,养成"用数学"的习惯,提高探索,创 造的能力. ……… V,,V,,V,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, (上接第5—36页)答:该天的课程有426种排法. 例1某天要上政治,语文,数学,物理,体例2共有七个人去A,B,C,D,E,F,G地 育,生物6节课,但第1节不能上体育,第二节不旅游,但甲不去A地,乙不去B地,丙不去C地, 能上物理,第6节不能上数学,这天的课程有几丁不去D地,每人去不同的1个地方,则有多少 种排法?种不同的旅游方法? ,数学分别不能排在解:A;一c?8十四?A2一四-A2+c? 解:本指定体育,物理 第1,2,6节,因此利用上述公式得到A2=2790. 一 四?+四?,c学?;=426.答:共有2790种不同的旅游方法.