高中数学必修四向量习题

高中数学必修四向量习 篇一:高一数学必修4平面向量测(含) 一.选择题 1(以下说法错误的是( ) A(零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2(下列四式不能化简为AD的是( ) A(B( (AB，CD)，BC;(AD，MB)，(BC，CM); C(MB D(OC ，AD,BM;,OA，CD; 3(已知=(3，4)，=(5，12)，与 则夹角的余弦为( ) A(63B( C( D( 655 4( 已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60?,那么|a+ 3b| =() A(7 B( ???C(?D(4 5(已知ABCDEF是正六边形，且AB,a，AE,b，则BC,( ) (A) 1 ?????????2(a?b)(B) (b?a)(C) a，b (D) (a?b) 222????????????? 6(设a，b为不共线向量，AB ,a+2b,BC,,4a,b,CD, ,5a,3b,则下列关系式中正确的是( ) (A)AD,BC (B)AD,2BC (C)AD,,BC(D)AD,,2BC 7(设e1与e2是不共线的非零向量，且ke1，e2与e1，ke2共线，则k的值是( ) (A) 1 (B) ,1 (C) ?1(D) 任意不为零的实数 8(在四边形ABCD中，AB,DC，且AC?BD,0，则四边形ABCD是() (A) 矩形 (B) 菱形 (C) 直角梯形 (D) 等腰梯形 9(已知M(,2，7)、N(10，,2)，点P是线段MN上的点，且PN,,2PM，则P点的坐标为( ) (A) (,14，16)(B) (22，,11)(C) (6，1) (D) (2，4) 10(已知a,(1，2)，b,(,2，3)，且ka+b与a,kb垂直，则k,() (A) ?1?2(B) 2?1(C) 2?3(D) 2 3?????????????????????????????????????????????????? ???????????????2 ????11、若平面向量a?(1,x)和b?(2x?3,?x)互相平行，其中x?R.则a?b?( ) A. ?2或0; B. C. 2 或 D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是() ????????2?2??????????? 0?a?0?a?b?b?a?a?a?(a?b)c?a(b?c)?a?b?a?b (A) 0 (B) 1(C) 2 (D) 3 二. 填空题: 13(若?(3,4),,点的坐标为(,,，,,)，则,点的坐标为( 14(已知a?(3,?4),b?(2,3)，则2|a|?3a?b?( ?????15、已知向量a?3,b?(1,2)，且a?b，则a的坐标是_________________。 16、ΔABC中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C点坐标为________________。 17(如果向量 与b的夹角为θ，那么我们称 ×b为向量 3 与b的“向量积”， ×b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=4, |b|=3, ?b=-2，则 | ×b|=____________。 三. 解答题: 18、设平面三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)( (1)试求向量2，AC的模; (2)试求向量与AC的夹角; (3)试求与垂直的单位向量的坐标( 19(已知向量 = , 求向量b，使|b|=2| |，并且 与b的夹角为 。 20.已知平面向量a?(3,?1),b?(,1).若存在不同时为零的实数k和t,使 22 ??(t2?3),??k?t,且?. (1)试求函数关系式k=f(t) (2)求使f(t)0的t的取值范围. 21(如图， =(6,1), ，且 。 4 (1)求x与y间的关系; (2)若 ，求x与y的值及四边形ABCD的面积。 22((13 当a+tb(t?R)的模取最小值时， (1)求t的值 (2)已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直 分)已知向量a、b是两个非零向量， 篇二:高中数学必修四向量练习题(附解析) 第五章 第二节 一、选择题 1((文)(2014?郑州月考)设向量a,(m,1)，b,(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为( ) A(,1 C(,2 [答案] A [解析] 设a,λb(λ<0)，即m,λ且1,λm.解得m,?1，由于λ<0，?m,,1. [点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a,(x1，y1)，b,(x1，y2)，则a?b?x1y2,x2y1,0，当a，b都是非零向量时，a?b?x1x2，y1y2,0，同时还要注意a?bxy与,不等价( x2y2 2(证明共线(或平行)问题的主要依据: (1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b,λa，则向量a与b共线(平行)( (2)a,(x1，y1)，b,(x2，y2)，若x1y2,x2y1,0，则向量a?b. (3)对于向量a，b，若|a?b|,|a|?|b|， 5 则a与b共线( 要注意向量平行与直线平行是有区别的( m(理)(2013?荆州质检)已知向量a,(2,3)，b,(,1,2)，若ma，nb与a,2b, n( ) A(,2 1C(, 2[答案] C [解析] 由向量a,(2,3)，b,(,1,2)得ma，nb,(2m,n,3m，2n)，a,2b,(4，,1)，m1 因为ma，nb与a,2b共线，所以(2m,n)×(,1),(3m，2n)×4,0，整理得. n2 ab 2((2014?山东青岛期中)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0 |a||b|成立的是( ) 1 A(a 3C(a,2b [答案] A B(a?b D(a?b B(2 1D(2B(1 D(2 abab [解析] 由题意得，而a同向的单位向量，,b反向的单位 |a||b||a||b|1 6 向量，则a与b反向(而当a时，a与b反向，可推出题中条件(易知B，C，D都 3不正确，故选A. [警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特a 别对于这些概念:(1)，要知道它的模长为1，方向同a的方向;(2)对于任意非零 |a|向量a来说，都有两个单位向量，一个与a同向，另一个与a反向;(3)平面内的所有单位向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆;(4)相等向量的大小不仅相等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的;(5)相等向量和相反向量都是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量( ?? 3((2015?广州执信中学期中)在?ABC中，点P在BC上，且BP,2PC，点Q是AC的??? 中点，若PA,(4,3)，PQ,(1,5)，则BC,( ) A((,2,7) C((2，,7) [答案] B ??? [解析] 由条件知，PC,2PQ,PA,2(1,5),(4,3),(,2,7)， ?? ?BP,2PC,(,4,14)， ??? 7 ?BC,BP，PC,(,6,21)( ??? 4(在四边形ABCD中，AB,a，2b，BC,,4a,b，CD,,5a,3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( ) A(平行四边形 C(梯形 [答案] C ????? [解析] ?AD,AB，BC，CD,,8a,2b,2BC， ?四边形ABCD为梯形( ??? 5((文)(2014?德州模拟)设OB,xOA，yOC，x，y?R且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则x，y,( ) A(,1 C(0 [答案] B B(1 D(2 B(矩形 D(菱形 B((,6,21) D((6，,21) ?? [解析] 如图，设AB,λAC， ????????则OB,OA，AB,OA，λAC,OA，λ(OC,OA) ?????,OA，λOC,λOA,(1,λ)OA，λOC ?x,1,λ，y,λ，?x，y,1. [点评] 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功(在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解(充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来( 8 ?? (理)(2013?安庆二模)已知a，b是不共线的两个向量，AB,xa，b，AC,a，yb(x，y?R)，若A，B，C三点共线，则点P(x，y)的轨迹是( ) A(直线 C(圆 [答案] B [解析] ?A，B，C三点共线， ???存在实数λ，使AB,λAC. ??x,λ， 则xa，b,λ(a，yb)???xy,1，故选B. ?1,λy? B(双曲线 D(椭圆 ? 6((2014?湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP，? OQ,( ) ?A.OH ?C.EO [答案] D [解析] 由平行四边形法则和图示可知，选D. ?B(OG ?D(FO 二、填空题 ππ ,，?，若a?b，则tanα,________. 7(已知a,(2，, 9 3)，b,(sinα，cos2α)，α???22?[答案] 3 3 sinαcos2α [解析] ?a?b，?2cos2α,,3sinα， 2,3?2sin2α,3sinα,2,0， 1 ?|sinα|?1，?sinα,,， 2 ππ，?cosα，?tanα. ?α???2223 8((文)(2014?宜春质检)如图所示，在?ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为??? AH的中点，若AM,λAB，μAC，则λ， μ,________. 1 [答案] 2 ??? [] 由B，H，C三点共线可用向量AB，AC来表示AH. ???? [解析] 由B，H，C三点共线，可令AH,xAB，(1,x)AC，又M是AH的中点，所以AM1?1?1111????,,xAB，(1,x)?AC，又AM,λAB，μAC.所以λ，μ,，,x),. 10 222222 [点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用(当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的( (理)(2014?河北二调)在?ABC中，AC,1，AB,2，A,??? 且AP,λAB，μAC，则λμ,________. 2π A作AP?BC于点P，3 [答案] 10 49 2π????? [解析] 由题意知AB?AC,2×1×cos,,1，?AP?BC，?AP?BC,0，即(λAB， 3???μAC)?(AC,AB),0， 5???? ?(λ,μ)AB?AC,λAB2，μAC2,0，即μ,λ,4λ，μ,0，?μ,λ，? 2?P，B，C三点共线，?λ，μ,1，? ?λ,7 由??联立解得?5 11 μ,?7 2 2510 ，即λμ,×. 7749 ? 9((文)已知G是?ABC的重心，直线EF过点G且与边 AB、AC分别交于点E、F，AE11??? ,αAB，AF,βAC，则,______. αβ [答案] 3 ?2?1?? [解析] 连结AG并延长交BC于D，?G是?ABC的重 心，?AG,AD,(AB，AC)， 33?? 设EG,λGF， 1?λ?????? ?AG,AE,λ(AF,AG)，?AG,AE，， 1，λ1，λ1?1?α?λβ? ?AB，AC,，， 331，λ1，λ ???λβ1 ,，?1，λ3 12 α11，λ3 ???13λ?β,1，λ， 13,α1，λ 11?，3. (理)在?ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交AB、AC于M、N两点，若???? AM,xAB，AN,yAC，则4x，y的最小值为________( 9 [答案] 4 ?1???1? [解析] 如图所示，由题意知ADAB，AC)，AE,AD， 22又M，E，N三点共线， ??? 所以AE,λAM，(1,λ)AN(其中0<λ<1)， ????又AM,xAB，AN,yAC， 1????AB，AC),λxAB，(1,λ)yAC， 4 篇三:2015高中数学必修四平面向量测试题及答案 高中数学必修四平面向量测试题 一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的.) 1(设点P(3，-6)，Q(-5，2)，R的纵坐标为-9，且P、Q、 13 R三点共线，则R点的横坐标为()。 A、-9B、-6 C、9 D、6 2(已知 =(2,3), b=(-4,7)，则 在b上的投影为()。 A、 B、 C、 D、 3(设点A(1，2)，B(3，5)，将向量 向量 为()。 按向量 =(-1，-1)平移后得 A、(2，3) B、(1，2) C、(3，4) D、(4，7) 4(若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是()。 A、直角三角形B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形 5(已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60?，则| +b|等于()。 A、 B、 C、 D、 6(已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段 14 所成的比为2，则()。 A、 B、 C、 D、 ， 7(O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件 则点O是ΔABC的()。 A、重心B、垂心 C、内心D、外心 8(设 、b、 均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题: 22222 (1)( ?b)= ?b (2)| +b|?| -b|(3)| +b|=( +b)(4)(b ) -( a)b与 不一定垂直。其中真命题的个数是()。 A、1B、2 C、 3 D、4 9(在ΔABC中，A=60?，b=1， 于()。 ，则 等 15 A、 B、 C、 2 D、 10(设 、b不共线，则关于x的方程 x+bx+ =0的解的情况是()。 A、至少有一个实数解B、至多只有一个实数解 C、至多有两个实数解D、可能有无数个实数解 二、填空题:(本大题共4小题，每小题4分，满分16分.). 11(在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=22，则?=_________ 12(已知ABCDEF为正六边形，且AC=a，则用a，b表示AB为______.AD=b，13(有一两岸平行的河流，水速为1，速度为 的小船要从河的一边驶向 对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。 14(如果向量 与b的夹角为θ，那么我们称 ×b为向量 与b的“向量积”， ×b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=3, 16 |b|=2, ?b=-2，则| ×b|=______。 三、解答题:(本大题共4小题，满分44分.) 15(已知向量 = , 求向量b，使|b|=2| |，并且 与b的夹 角为 。(10分) 16、已知平面上3个向量 、b、 的模均为1，它们相互之间的夹角均 为120。 (1) 求证:( -b)? ; (2)若|k +b+ |1 (k?R), 求k的取值范围。(12分) 17((本小题满分12分) 已知e1，e2是两个不共线的向量，=e1+e2，=-λe1-8e2, =3e1-3e2,若A、B、D三点在同一条直线上，求实数λ的值. 18(某人在静水中游泳，速度为43公里/小时，他在水流速度为4公里/小时的河中游泳. (1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进,实际前进的速度为多少, (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进,实际前进的速度为多少, 17 参考答案 一、选择题: 1. D. 设R(x, -9), 则由 得(x+5)(-8)=-11×8, x=6. 2. C. ?|b| , ? | | = . 3. A. 平移后所得向量与原向量相等。 222 4(A(由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得a=b+c-bc, A=60?. sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，得cosBsinC=0, ?ΔABC是直角三角形。 5(D( 6. B 7. B. 由 O是ΔABC的垂心。 8(A((1)(2)(4)均错。 ，得OB?CA，同理OA?BC，?. 9(B(由 ，得c=4, 又a=b+c-2bccosA=13, 222 ? 2 . 10(B(- =x +xb，根据平面向量基本定理，有且仅有一对 18 实数λ 2 和μ，使- =λ +μb。故λ=x, 且μ=x, 2 ?λ=μ，故原方程至多有一个实数解。 二、填空题 11. ?412.. 14( 13. 与水流方向成135?角。 。 ?b=| ||b|cosθ, ? 三、解答题 , | ×b|=| ||b|sin 15(由题设 , 则由 , 设 b = ,得 .? , 解得 sinα=1或 19 。 当sinα=1时，cosα=0;当 故所求的向量 或 时， 。 。 16((1) ?向量 、b、 的模均为1，且它们之间的夹角均为120?。 ? , ?( -b)? . 2 (2) ?|k +b+ |1,? |k +b+ |1, 2 222 ?k +b+ +2k ?b+2k ? +2b? 1, ? 2 20 , ?k-2k0, ?k<0或k2。 17(解法一:?A、B、D三点共线 ?AB与AD共线，?存在实数k,使AB=k?AD又??????? =(λ+4)e1+6e2. ?有e1+e2=k(λ+4)e1+6ke2 1? ?(??4)k?1?k??有? ??6 6k?1?????2 解法二:?A、B、D三点共线?与共线， 相关热词搜索: 21