求双曲线的标准方程

求双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程 一(例题选讲 题型1:化归为定义求双曲线的标准方程 【例1】(08重庆文21)M(-2，0)和N(2，0)是平面上的两点，动点P满足PMPN,,2， 求点P的轨迹方程; 解:由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线， 3 因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=, 2y2x,,1所以双曲线的方程为 3 变式1:平面内动点P到定点的距离比它到定点的距离大6，求动点P的轨迹方程。 F(,4,0)F(4,0)1222xy,,,1(0)x解: 98 2222新疆王新敞奎屯(x,3)，y,1(x，3)，y,9:求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程 变式2 2y2xx,,,1(1)解: 8 题型2:待定系数求求双曲线的标准方程 新疆王新敞奎屯【例2】求经过点和，焦点在y轴上的双曲线的标准方程 P(,3,27)Q(,62,,7) 22yx,,1解: 257522变式1:求过点(2，-2)且与双曲线x-2y=2有公共渐近线的双曲线方程( 22yx,,1解: 24 变式2:求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程( A(1,3), 22yx,,1解: 88 题型3:利用几何性质求双曲线的标准方程 22xy3x,,,,1(0,0)ab【例3】(2010天津理)已知双曲线的一条渐近线方程是y=, 22ab 2yx,24 它的一个焦点在抛物线的准线上，求双曲线的方程。 b,3,,a22,xy22,,1解:依题意知，所以双曲线的方程为 cab69,27,,,,,927,，222cab,, , 22xy,,,,1(0,0)ab变式1:(2010天津文)已知双曲线的一条渐近线方程是， yx,322ab 2yx,16 它的一个焦点与抛物线的焦点相同，求双曲线的方程。 b解:由渐近线方程可知 ,3 ? a 因为抛物线的焦点为(4，0)，所以c=4 ? 222 又 ? cab,， 1 22xy22ab,,4,12,,1 联立???，解得，所以双曲线的方程为 412 5e,变式2:(2010重庆理21)已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率. F(5,0)OC2 求双曲线的标准方程及其渐近线方程; C 2x12解:,y,1,y,,x 42 2xy22变式3:(2010山东理21)已知椭圆，,1(0)ab,,的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆 2ab22 FF, 的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点， 4(21)，12 求椭圆和双曲线的标准方程。 2c解:由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，， ac,2a,22,4(21)，c,222ac，,2a 22xy222,2，,1，所以椭圆的标准方程为;所以椭圆的焦点坐标为(，0)， 所以bac,,,484 22xy,,1因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。 44题型4:直接法求双曲线的标准方程 4AMMBM【例4】点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们斜率之积是， (5,0),(5,0)AB,9 MM试求点的轨迹方程式，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状( 22xy解: ,,,,1(5)x10025 9 二(巩固训练 1.根据下列条件求双曲线的标准方程 (1)实轴的长为8，虚轴的长为6，焦点在y轴; 2 (2)离心率为，经过点M(2,4),, (3)一条渐近线方程是，且经过(1，3)， yx,,2 2 (4)渐进线方程为，实轴长为6 yx,,3 2.(全国1文理)已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),，(4,0)，则双曲线方程为( ) 22222222xyxyxyxy,,1,,1,,1,,1A( B( C( D( 412124106610 22xy2,,1解(已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),，(4,0)，则c=4，a=2，，双曲线方程为 b,12412 1(，)433.已知渐近线方程的双曲线经过点，则双曲线的方程是( ) yx,,2 2222yyxx2222,,x1x,,1y,,1,,y1A( B( C( D( 4444 22xy3,,,,1(0,0)abyx,,4.(江西文14)已知双曲线的两条渐近线方程为， 223ab 2 若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ( 22xy3解: ,,144 5.以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是( ) 2222x,y,2y,x,2(A) (B) 22222222x,y,4y,x,4x,y,2y,x,2(C)或 (D)或 解:D 22Cxyxy:6480，,,，,6.(08山东文13)已知圆(以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点C和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ( 22Cxyxy:6480，,,，,解: 本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆 2yxx,,,，,0680,得圆与坐标轴的交点分别为 (20),，(40),，C 22xy2acb,,,2,4,12,,,1则所以双曲线的标准方程为 412 22xyCab:1(0,0),,,,7.(08湖北文20)已知双曲线的两个焦点为的FFP(2,0),(2,0),(3,7),点1222ab 曲线C上，求双曲线C的方程; 22xy222,,1解:(依题意，由a+b=4，得双曲线方程为(0,a,4)， 22a4,a 97227将点(3，)代入上式，得.解得a=18(舍去)或a,2， ,,122a4,a 22xy||||2PFPFa,,,,1.故所求双曲线方程为或根据双曲线定义去解，，解得a 1222 ，，F,3,08.(天津理21文22)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是， 1 一条渐近线的方程是，求双曲线C的方程; 5x,2y,0 22xy,,1解:设双曲线的方程为()( ab,,0,0C22ab 22,ab，,9222,a,4xy,,,,1 由题设得，解得，所以双曲线方程为( ,,b5245b,5,,,,a2, 3