张志华

张志华 函数f(x)一致连续的条件及应用 ,数学与应用数学2003级 张志华 指导教师 刘敏思, 内容摘要:本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，还将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去( 关 键 词:一致连续 拟可导函数 基本初等函数 二元函数 Abstract:This paper is more completely to summarize the methods of judging uniform continuity of functions, and apply them to analyze some examples, moreover, we discuss uniform continuity of fundamental primary functions in detail, and extend these methods to the case of functions of two variables. Key words: uniform continuity perederivatable functions fundamental primary functions functions of two variables 1(引言 函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键(一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅较少，不够全面和深入;虽然有些对函数一致连续性的判断作了一些拓展和补充，但是显得不够系统和应用得不够广泛(因此，对一般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料，作一个比较系统和全面的总结，并作适当的拓展，如将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，无疑这一工作是十分必要和具有现实意义的( 2(预备知识 2.1一致连续和非一致连续的定义 fx(),,,,,()0I,,0一致连续:设为定义在区间上的函数.若对任给的，存在，使得 ,,,,,,,,,xxI,,xx,,,fxfx()(),,,对任何，只要，就有,则称 fx()I函数在区间上一致连续. 1 ,,,,xxI,,非一致连续:存在，对任何正数(无论多么小)，总存在两点 ，尽管,,,00 ''',,,fxfx()(),,,fx()xx,，但有.则称函数在区间上非一致连续.,,I0 2.2 康托定理 G. [1]fx()[,]abfx()[,]ab康托定理:若函数在闭区间上连续，则在上一致连续.G. 这个定理的证明可应用实数连续性命中有限覆盖定理或致密性定理来证明( 但是康托定理只能用来判断有限闭区间上函数的一致连续性，应用不是十分广泛(下面G. 再介绍几种比较常见的判断函数一致连续性的方法( 2.3 几种常见的判断函数一致连续性的方法 方法1:利用李普希茨条件 fx()xyI,,fxfykxy()(),,,若在区间I上满足李普希茨条件，即任给，有(其中k fx()为常数)，则在区间I上一致连续. 方法2:有限开区间上一致连续的判别法 fx()(,)abfa(0)，fb(0),fx()若在有限开区间上连续，且与都存在且有限函数在,(,)ab上一致连续. 类似的有:有限半开半闭区间上一致连续的判别法 fx()(,]ab[,)abfa(0)，fb(0),fx()若在区间(或)上连续，且(或)存在且有限函数,(,]ab[,)ab在(或)上一致连续. 方法3:无穷区间上一致连续的判别法 fx()(,),,，,fx()lim()fxA,lim()fxB,若在上连续，且及极限存在，则在x,,,x,，, (,),,，,上一致连续. 类似的还有: fx()[,)a，,(,],,bfx()lim()fxlim()fx若在(或)上连续，且(或)极限存在，则在x,，,x,,, 2 [,)a，,(,],,b(或)上一致连续. fx()(,)a，,(,),,blim()fxlim()fxlim()fx若在 (或)上连续，且及(或及，x,，,x,,,xa, fx()(,)a，,(,),,blim()fx)极限存在，则在(或)上一致连续. ,xb, 3. 方法的归纳和应用 3.1方法的归纳及方法的应用 方法1:用连续模数来刻画一致连续性 '''fx()fx(),,()sup()(),,fxfx若在区间上有定义,则称为函数的连续If'''xxI,,'''xx,,, 模数. [5]fx()fx()定理 若在区间I上有定义,则在I上一致连续的充要条件是 lim()0,,,. f，,,0 '''fx(),,,()sup()()(),,,fxfxglim()0g,,推论 若在区间I上连续,若且,则f，''',,0,xxI,'''xx,,,fx()I在上一致连续. 由上述定理易得到一致连续的视察法: fx()fx(),,()的值只与的图象最陡的地方有关.若的图象在某处无限变陡,f ，fx()fx(),,0,,()0,使得,则非一致连续;若在某处最陡,但时,此处的变差f '''fxfx()()0,,fx(),则一致连续. 1(0,)(0)cc,[,)(0)cc，,,例1 在上是非一致连续的,但在上一致连续.fx(),x 1x,0分析:，在处，图形无限变陡. fxx()(0),,x ，,,0,,,，,,,,0,(),,()0,.时. ,ff 3 (0,)(0)cc,因此，在任何区间上都是非一致连续的. f 111，[,)c，,但在区间 上，在点处最陡，且.,,,,,,,fx(),c()0(0)fcc，x, 1[,)c，,可见，在上一致连续. fx(),x 方法2:利用一致连续函数的四则运算性质来判断一致连续 fxgx(),()fxgx()(),(1)若都在区间I上一致连续,则也在I上一致连续. fxgx(),()fxgx()()(2)若都在有限区间上一致连续,则也在上一致连续.II fxgx(),()fxgx()()若都在区间I(含无穷区间)上一致连续且有界,则也在I上一致连续. 1fx()II(3)若在区间上一致连续,且有正的下确界(或负的上确界),则也 在上一fx()致连续. fx(),fx()II(4)若在区间上一致连续 ,则也在上一致连续(其中为任意常数)., fx()gx()fxgx()(),II例2 若在有限区间上一致连续, 在区间上非一致连续.问: 在I上的一致连续性. fxgx()()，fx()II分析:假设在上一致连续，又是有限区间的一致连续函数， gxfxgxfx()[()()](),，,I由一致连续函数的四则运算性质知在上一致连续，这与条件矛盾. fxgx()()，fxgx()(),II所以，在上非一致连续(同理有在上非一致连续. 方法3:复合函数的一致连续性 4 fx()gx()gUI(),设函数在区间上一致连续, 在区间上一致连续,且,则复合函数IUfgx(())在区间上一致连续. U [1]方法4:利用两区间之并 fx()[,]acfx()[,]ab[,]bcfx()[,]ac设定义在上，若在和上都连续，则在上一致连续. 上述结论可进一步推广为: 设区间的右端点为,区间的左端点也为(可为有限或无限区间).若IcI,cI,III,112212fx()fx()在和上都一致连续,则在上一致连续. IIII,I1212 [0,)，,例3 讨论在上的一致连续性. fxx(), fx()[0,)，,分析:在上连续，设， a,0 0,0,,,,,,,xaxaxx,当时，设， 0,,xa1212 则 , xxxx,,,,,1212 0()sup()(),,,,,,,fxfx f12,xxa,[0,]12xx,,,12 [0,]a且 ，所以 在上一致连续. fxx(),lim0,,，,,0 当时， xa, xx,,,12lim0,且. xx,,,,12，,,02axxa2，12 [,)a，,所以 在上一致连续. fxx(), [0,)，,综上所述，在上一致连续. fxx(), 方法5:利用数列 fx()II(1)函数 在上一致连续对区间上任意两个数列,当{},{}xy,lim0xy,,nnnn,,n 时,有. lim()()0fxfy,,nn,,n 5 fx()函数在上非一致连续区间上存在两个数列,当时,II{},{}xy,lim0xy,,nnnn,,n但. lim()()0fxfy,,nn,,n 2(,),,，,例4 在内非一致连续. fxx()sin, ,,''''''xnxn,，,,2,2分析:可取，则.而 xxn,,,,0(),,nnnn22 '''2(,),,，,，故在内非一致连续. fxfx()()2,,fxx()sin,nn 1[5]Rfx()fx()EE(2)函数在有界实数集上一致连续函数将中的柯西列变成中的柯西, 列. 方法6:利用渐近线 fx()[,)a，,cd,lim[()()]0fxcxd,，,设在上连续,且(为常数).即时, x,，,x,，, fx()ycxd,，fx()[,)a，,有渐近线，则在上一致连续. [6]上述结论可进一步推广为: fx()[,)a，,gx()[,)a，,设在上连续,在上一致连续,即时,且x,，, fx()[,)a，,lim[()()]fxgxA,,，则 在上一致连续. x,，, 1[1,)，,例5 在上一致连续. fxxe()ln(),，x 1xe，ln()111x分析:由于kbxex,,,，,,，故在该lim1,lim[ln()]fxxe()ln(),，xx,,,,xxex 1fx()[1,)，,区间有渐近线，所以 在上一致连续. yx,，e 方法7:利用导数 ,fx()，,,,MxI0,fx()IfxM(),I若在区间上存在有界导函数,即,有，则在上一 致连续. [6]下面还有一个应用得更加广泛的结论: ,fx()[,)a，,(,)a，,fx()lim()fxA,若在上连续,在内处处可导,且存在，则在x,，,[,)a，,上一致连续. 6 2(,),,，,fxx()2,，例6 在上一致连续. x2''(,),,，,fxx()2,，分析:由于fxfx(),()1,,，故在上一致连续.2x，2 方法8:利用积分 fx()[,)a，,fx()[,)a，,设函数在区间上局部可积，且在区间 上有界,则 x[,)a，,Fxfss()()d,在上一致连续. ,a 方法9:引进拟可导函数来说明一致连续性 [4]fx(),,,,xI,y ,01,定义1(凸函数) 设函数在区间I上有定义,若,有 fxyfxfy[(1)]()(1)(),,,,，,,，,fxyfxfy[(1)]()(1)(),,,,，,,，,(或), fx()则称为定义在区间I上的下凸(或上凸)函数,上,下凸函数统称为凸函数. 注:下面的定义，引理，定理和推论均见[4]. 0fx()定义2(拟可导函数) 若函数在有定义,且极限 Ux()0 hh()()，,,fxfx0022存在, limh,0h hh()()，,,fxfx0022fx()则称函数在拟可导,记为. x()lim,Dfx00h,0h I引理1 凸函数在任意开区间(有限或无穷)上连续. fx()I引理2 若在区间上连续，且对，有 ,,xxI,12 fxfxxx()()，，1212， ,f()22 fx()则函数为下凸函数. fx()Dfx()fx()II定理 若在开区间(有限或无穷)上单调，且在内处处存在，有界，则I在上一致连续. 7 fx()fx()推论1 若是开区间(有限或无穷)上的凸函数，且拟导数存在，有界，则在I 上一致连续. I fx()推论2 若在开区间(有限或无穷)上满足条件: I fxfxxx()()，，1212?，有; ,,xxI,,f()1222 ?，和都存在; ,,xIfx()fx(),， 上处处拟可导，且拟导数有界， ?在I fx()则在I上一致连续. 3.2几个重要应用 [2][6] 应用之一:周期函数的一致连续性 fx()(,),,，,fx()(,),,，,fx()T设是上以为周期的函数，则在上连续在,(,),,，,上一致连续. 应用之二:基本初等函数的一致连续性 ,[0,)，,(1)(幂函数)在上，当时一致连续，当时不一致连续.01,,,,,1fxx(), xR(2)(指数函数)在上非一致连续. fxe(), fxx()ln,(0,1][1,)，,(3)(对数函数)在上非一致连续，在上一致连续. yx,sinyx,cotyx,tanR(4)(三角函数)和yx,cos均在上一致连续,和均在其定 义域上非一致连续. yarcx,sin[1,1],yx,arctan(5)(反三角函数)和yarcx,cos均在上一致连续,和 (,),,，,yarcx,cot均在上一致连续. nn,1xx，，，...,,,px()01nnm,(6)(有理函数)，其中为非负整数，Rx(),,mm,1qxxx()...，，，,,,01m Rx()[,)a，,nm,，1，均为常数，且，.当时，在上一,,,,,...,,0,,0,,,,,...,01n01m00 8 Rx()[,)a，,axqx,,max{;()0}致连续;当时，在上非一致连续.(其中).nm,，1 4. 二元函数的一致连续性 前面我们已经对一元函数的一致连续性已作了详细的叙述，下面我们将一元函数的一致连续性的一些结论推广到二元函数中去. fP()fP()DD定理1 若函数在有界闭区域上连续，则在上一致连续. fP()fP()定理2 函数在有界开区域D上一致连续在D上连续，且, 存在.(记为D的边界) ,D,,,PDfP,lim()0PP,0PD, 222Rfxy(,)rxy,，fxy(,)lim(,)fxy定理3 函数在上连续，且存在，其中，则在r,，, 2R上一致连续. fxy(,)D定理4 函数在区域上满足:，都有 ,,,(,)(1,2)xyDiii fxyfxykxykxy(,)(,),,,，,(为正常数)， kk,112211122212 fxy(,)D则在上一致连续. fxy(,)fxy(,)DD定理5 函数在凸区域内存在有界偏导数，则在上一致连续. fP()D定理6 函数在区域上一致连续对， ,,{},{}PQD,nn lim(,)0,PQ,，恒有. lim()()0fPfQ,,nnnn,，,n,，,n 1Rfxy(,)fxy(,)EE定理7 函数在有界区域上一致连续函数将中的柯西列变成中, 的柯西列. 总之，一元函数的一致连续性大多可以推广到二元函数上去，但形式上要注意区别，例如定理5中的条件要求为凸区域( 5. 结束语 文章比较全面的总结了各种判断函数的一致连续性的条件，并结合实例对这些方法加以运 9 用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，并将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，这些都具有一定的意义(然而必须指出:关于函数一致连续性的判断，是由函数所满足的条件及所定义的范围决定的，本文还不能解决所有的判断函数一致连续的问题，还可以进行更加深入的讨论和研究( 参考文献: [1]华东师范大学数学系(数学分析(第三版)[M](北京:高等教育数出版社, 2001:79~82，171~172( [2]徐森林，薛春华(数学分析(第一册) [M](北京: 清华大学出版社, 2005:140~145( [3]刘玉琏，傅沛仁(数学分析讲义(上册) [M](北京:高等教育出版社, 2003 [4]邱德华，李水田. 函数一致连续的几个充分条件[J](大学数学，2006, 22(3):136~138( [5]裴礼文(数学分析中的典型问题与方法[M](北京:高等教育数出版社，2001:93~103,106~108( [6]钱吉林(数学分析题解精粹[M](武汉:崇文书局，2003:122~124( [7]菲赫金哥尔茨(微积分教程[M](北京:人民教育出版社，1959 [8]Walter Rudin. 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