两圆相交公共弦直线方程的求解与证

两圆相交公共弦直线方程的求解与证 两圆相交公共弦直线方程的求解与证明 私立青岛天龙中学:戴建海 在圆的方程一章中教材给出介绍了两圆的位置关系，两圆的位置关系包含:相离、外切、相交、内切、内含五种情况。 22设圆的方程为:半径 CxyDxEyF，，，，,0r11111 22设圆的方程为:半径 圆CCxyDxEyF，，，，,0r212222 d两圆心的距离为，五种情况所需要满足的条件分别是: 1.两圆相离: drr,，12 2.两圆外切: 圆drr,，C122 rrdrr,，,,3.两圆相交: 1212 4.两圆内切: drr,,12 5.两圆内含: drr,,12 当两圆相交时有两个交点，那么过这两个交点存在一条直线，那么这条直线的直线方程怎样求解呢,在很多参考上都给出了求解方法，让两圆的一般方程相减即可得公共弦所在直线的直线方程:。但是都没有给出相应的证明，都是直()()0DDxEEyFF,，,，,,121212 接运用，下面我就方程的求解给出证明。 (1)当直线的斜率存在时 设交点坐标分别为(,),(,)xyxy，点在圆上所以点满足圆的方程 1122 22………………..(1) xyDxEyF，，，，,01121212 22……….………..(2) xyDxEyF，，，，,01111111 22………….……..(3) xyDxEyF，，，，,02212121 22………………..(4) xyDxEyF，，，，,02222222 (1)(2), 得: ()()0DDxEEyFF,，,，,,………….(5) 21121121 (4)(3),得: ()()0DDxEEyFF,，,，,,………….(6) 21221221 yyDD,,2121得:…………即直线的斜率 (5)(6),,,xxEE,,2121 DD,21所以直线方程课写为: yyxx,,,,,()11EE,21整理得由(5)得: ()()()0DDxEEyFF,，,，,,212121 (2)当直线的斜率不存在时 此时两圆的纵坐标是相等的:即 EE,12此时直线方程为: xx,,01 由(5)得:联立上式得: ()0DDxFF,，,,21121 ()0DDxFF,，,,2121 因为所以=0 EE,()EEy,12211 所以得: ()()()0DDxEEyFF,，,，,,212121综上所述:不论直线斜率是否存在，直线的方程都是，从而得出两圆相交公共弦所在直线的直线方程。 ()()()0DDxEEyFF,，,，,,212121