两点间距离公式

两点间距离公式 5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移 ?知识梳理 1.设A(x，y)，B(x，y)， 1122 AB则=(x,x，y,y). 2121 22AB?||=. (x,x)，(y,y)2121 2.线段的定比分点是研究共线的三点P，P，P坐标间的关系.应注意:(1)点P是不同12 PP于P，P的直线PP上的点;(2)实数λ是P分有向线段所成的比，即P?P，P?P12121212 ,x，x,12x，,,,,1，的顺序，不能搞错;(3)定比分点的坐标公式(λ?,1). ,,yy，12,y,,1，,, 3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，,x,x，h，, ,,y,y，k., 特别提示 PPPPPP1.定比分点的定义:点P为所成的比为λ，用数学符号达即为=λ.1212 当λ,0时，P为内分点;λ,0时，P为外分点. 2.定比分点的向量表达式: ,1PPOPOPOPP点分成的比为λ，则=+(O为平面内任一点). 12121，,1，, 3.定比分点的应用:利用定比分点可证共线问. ?点击双基 1.(2004年东北三校联考题)若将函数y=f(x)的图象按向量a平移，使图象上点的坐 标由(1，0)变为(2，2)，则平移后的图象的解析式为 A.y=f(x+1),2 B.y=f(x,1),2 C.y=f(x,1)+2 D.y=f(x+1)+2 解析:由平移公式得a=(1，2)，则平移后的图象的解析式为y=f(x,1)+2. 答案:C 222.(2004年湖北八校第二次联考)将抛物线y=4x沿向量a平移得到抛物线y,4y=4x， 则向量a为 A.(,1，2) B.(1，,2) C.(,4，2) D.(4，,2) 解析:设a=(h，k)，由平移公式得 ,,x,x,hx,x,h，,,, ,,,,y,y,ky,y,k，,, 2代入y=4x得 222,,,,,(,k)=4(,h)，,2k=4,4h,k， yyyxx 22即y,2ky=4x,4h,k， ?k=2，h=,1. ?a=(,1，2). 答案:A 思考讨论 本题不用平移公式代入配方可以吗? 2提示:由y,4y=4x，配方得 2(y,2)=4(x+1)， ?h=,1，k=2.(知道为什么吗?) 3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分所得的比为 BC38A. B. 83 38C., D., 83 ,5，103解析:设A点分BC所得的比为λ，则由2=，得λ=,. ,，,8答案:C ABBP4.若点P分所成的比是λ(λ?0)，则点A分所成的比是____________. APAPAPABAPABPB解析:?=λ，?=λ(,+).?(1+λ)=λ. ,,1，1，ABAPBAAP?=.?=,. ,, ,1，答案:, , 5.(理)若?ABC的三边的中点坐标为(2，1)、(,3，4)、(,1，,1)，则?ABC的 重心坐标为____________. 解析:设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)， 112233 x，x,12,2，,2,y，y,12,1，,2,x，x13,,,3，xxx，，,,2,,1232则 ? ,,yyy，，,4y，y123,13,,4，,2,x，x23,,,1，,2,yy，23,,,1.2, 24?重心坐标为(,，). 33 24答案:(,，) 33 (文)已知点M(6，2)和M(1，7)，直线y=mx,7与线段MM的交点M分有向1212MM线段的比为3?2，则m的值为____________. 12 336，2，7，4，211522解析:设M(x，y)，则x===3，y===5，即M(3，5)，代入33551，1，22 y=mx,7得5=3m,7，?m=4. 答案:4 ?典例剖析 1APAB【例1】 已知点A(,1，6)和B(3，0)，在直线AB上求一点P，使||=||. 3 111APABAPABAPBA剖析:||=||，则=或=.设出P(x，y)，向量转化为坐标运算333 即可. 11APAB解:设P的坐标为(x，y)，若=，则由(x+1，y,6)=(4，,6)，得 33 41,,x，1,，x,，,,解得 33,,,,y,6,,2.y,4.,, 1此时P点坐标为(，4). 3 11APAB若=,，则由(x+1，y,6)=,(4，,6)得 33 47,,x，1,,，x,,，,,解得 33,,,,y,8.y,6,2.,, 771?P(,，8).综上所述，P(，4)或(,，8). 333 深化拓展 11APABAPPBAB本题亦可转化为定比分点处理.由=，得=，则P为的定比分点，23 111APABAPPBABλ=，代入公式即可;若=,，则=,，则P为的定比分点，243 1λ=,. 4 A P BPAB 由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法. 【例2】 已知?ABC的三个顶点坐标分别是A(4，1)，B(3，4)，C(,1，2)，BD 是?ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长. 剖析:?A、C两点坐标为已知，?要求点D的坐标，只要能求出D分所成的AC 比即可. ADAB2解:?|BC|=25，|AB|=10，?D分所成的比λ=. AC,,DCBC2由定比分点坐标公式，得 ,24，，(,1),2,x,,9,52，D,21，, 2,,1，2,y,,2.D,21，,2, ?D点坐标为(9,5，). 22 22?|BD|==. (9,52,3)，(2,4)104,682 评述:本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解 出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化. 深化拓展 本题也可用如下解法:设D(x，y)，?BD是?ABC的平分线， BABDBD?〈，〉=〈BC，〉. BA,BDBC,BD?， , |BA||BD||BC|,|BD| BA,BDBC,BD即=. |BA||BC| BABD又=(1，,3)，=(x,3，y,4)，BC=(,4，,2)， ,4x，12,2y，8x,3,3y，12?=. 1020 ?(4+2)x+(2,32)y+92,20=0. ? ADAC又A、D、C三点共线，?，共线. ADAC又=(x,4，y,1)，=(x+1，y,2)， ?(x,4)(y,2)=(x+1)(y,1). ? ,x,9,52，,由??可解得 ,,y,2., ?D点坐标为(9,5，)，|BD|=. 22104,682思考讨论 若BD是AC边上的高，或BD把?ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读 者思考. 【例3】 已知在?ABCD中，点A(1，1)，B(2，3)，CD的中点为E(4，1)，将 ?ABCD按向量a平移，使C点移到原点O. (1)求向量a; (2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标. AB解:(1)由?ABCD可得=， DC 设C(x，y)，D(x，y)， 3344 x,x,1，?,34则 ,yy,,2.?34, 又CD的中点为E(4，1)， ，xx,34,4，?,,2则 ,，yy34,,1.?,2, 97,,x,，x,，,,34由?,?得 22,,,,y,2，y,0，34,, 97即C(，2)，D(，0). 22 9?a=(,，,2). 2 75(2)由平移公式得A′(,，,1)，B′(,，1)，C′(0，0)，D′(,1，,2). 22?闯关训练 夯实基础 π1.(2004年福州质量检查题)将函数y=sinx按向量a=(,，3)平移后的函数解析4 式为 ππA.y=sin(x,)+3 B.y=sin(x,),3 44 ππC.y=sin(x+)+3 D.y=sin(x+),3 44 π,,,x,x,h，x,x，，,,解析:由得 4,,,y,y,k，,,,y,y,3., π,,?y,3=sin(+). x4 π,,?=sin(+)+3， yx4 π即y=sin(x+)+3. 4 答案:C π2.(2003年河南调研题)将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin(2x+)3+1的图象，则a等于 ππA.(,，1) B.(,，1) 36 ππC.(，,1) D.(，1) 36 πππ解析:由y=2sin(2x+)+1得y=2sin2(x+)+1，?a=(,，1). 366 答案:B 23.(2004年东城区模拟题)已知点P是抛物线y=2x+1上的动点，定点A(0，,1)， PA若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________. 解析:设P(x，y)，M(x，y). 00 x,0,x,x,3x，,,03222,代入y=2x+1得3y+2=18x+1，即18x=3y+1，00,,yy,3，2，y,20,0,y,,3, 1111172x=y+=(y+)，?p=，焦点坐标为(0，,). 618612243 1172答案:x=(y+) (0，,) 6243 224.把函数y=2x,4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x的图象，且a?b，c=(1，,1)，b?c=4，则b=____________. ,x,3y,0，x,3，,,解析:a=(0，0),(1，3)=(,1，,3).设b=(x，y)，由题意得 ,,x,y,4，y,,1，,,则b=(3，,1). 答案:(3，,1) OAOBOCOBBCOAODOAOC5.已知向量=(3，1)，=(,1，2)，?，?.试求满足+=OD的的坐标. ODOC解:设=(x，y)，则=(x，y)+(3，1)=(x+3，y+1)， BCOCOB=,=(x+3，y+1),(,1，2)=(x+4，y,1)， ,(x，3)，(2y，1),0，,则 ,(x，4),(3y,1),0., x,11，,所以=(11，6). OD,y,6，, 11ABADABAEAB6.已知A(2，3)，B(,1，5)，且满足=，=3，=,，求C、AC43 D、E的坐标. 11解:用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C(1，)，D(,7，9)，3115E(，). 24 培养能力 7.(2004年福建，17)设函数f(x)=a?b，其中a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x)，x?R. ππ3(1)若f(x)=1,，且x?,,，,，求x; 33 π(2)若y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|,)平移后得到函数y=f(x)的图象，2 求实数m、n的值. π23解:(1)依题设f(x)=2cosx+sin2x=1+2sin(2x+)， 6 π3由1+2sin(2x+)=1,，得 6 3πsin(2x+)=,. 26 5ππππ?|x|?，?,?2x+?. 3266 πππ?2x+=,，即x=,. 634 (2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x,m)+n的图 πππ象，即y=f(x)的图象.由(1)得f(x)=2sin2(x+)+1.又|m|,，?m=,，n=1. 122128.有点难度哟～ 22(2004年广州综合测试)已知曲线x+2y+4x+4y+4=0按向量a=(2，1)平移后得到曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)过点D(0，2)的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，DMMN设=λ，求实数λ的取值范围. 2222解:(1)原曲线即为(x+2)+2(y+1)=2，则平移后的曲线C为x+2y=2， 2x2即+y=1. 2 (2)设M(x，y)，N(x，y)，则 1122 ,x,2x，,221,,x，2y,2，,,,111，22由于点M、N在椭圆x+2y=2上，则 ,,22,y2，,x，2y,2，2,22,y,.1,1，,, ,,x2，y,2222()，(2),2，,1，,1，,即 ,22,x，2y,2.22, 222消去x得，2λ+8λy+8=2λ+4λ+2， 22 ,2,3即y=. 24, ,2,3?,1?y?1，?,1??1. 24, 1又?λ,0，故解得λ?. 2 1故λ的取值范围为,，+?). 2 思考讨论 22本题若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x+2y=2联立，利用韦达定理能求解吗?(不 要忘记讨论斜率不存在的情况)读者可尝试一下. 探究创新 9.甲船由A岛出发向北偏东45?的方向做匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲2 1船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ(θ=arctan)2 5的方向作匀速直线航行，速度为10 n mile/h.(如下图所示) 北 A 东 ， B (1)求出发后3 h两船相距多少海里? (2)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解:以A为原点，BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系. y北 P QA x 东 ， B 设在t时刻甲、乙两船分别在P(x，y)，Q(x，y)， 1122 ,x,152tcos45:,15t，,1则 ,,y,x,15t.11, 5251由θ=arctan，可得cosθ=，sinθ=， 552 x=105tsinθ=10t， 2 y=105tcosθ,40=20t,40. 2 (1)令t=3，P、Q两点的坐标分别为(45，45)，(30，20). 22(45,30)，(45,20)|PQ|===534， 850 即两船出发后3 h时，两船相距534 n mile. (2)由(1)的解法过程易知 22|PQ|= (x,x)，(y,y)2121 22(10t,15t)，(20t,40,15t)= 250t,400t，1600= 250(t,4)，800=?20. 2 ?当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为20， 2 即两船出发4 h时，相距20 n mile为两船最近距离. 2 ?思悟小结 1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题: (1)弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ; (2)在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地 PPPP把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义=λ获解. 12 2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键. 3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清 新旧函数解析式. 4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法. ?教师下载中心 教学点睛 PPPP1.线段的定比分点公式=λ，该式中已知P、P及λ可求分点P的坐标，并且1212 还要注意公式的变式在P、P、P、λ中知三可求第四个量. 12 2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体 现了向量(形)与数之间的转化具有一般性. 3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例 22【例1】 (2004年豫南三市联考)已知f(A，B)=sin2A+cos2B,3sin2A,cos2B+2. (1)设?ABC的三内角为A、B、C，求f(A，B)取得最小值时，C的值; π(2)当A+B=且A、B?R时，y=f(A，B)的图象按向量p平移后得到函数y=2cos2A2 的图象，求满足上述条件的一个向量p. 3122解:(1)f(A，B)=(sin2A,)+(cos2B,)+1， 22 ,ππ,3A,或A,，sin2A,，,,,,632由题意得 ,,π1,,B,.cos2B,，,,6,2, 2ππ?C=或C=. 23 π(2)?A+B=，?2B=π,2A，cos2B=,cos2A. 2 ππ3?f(A，B)=cos2A,sin2A+3=2cos(2A+)+3=2cos2(A+)+3. 36 π从而p=(，,3)(只要写出一个符合条件的向量p即可). 6 3【例2】 设曲线C的方程是y=x,x，将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后，得到曲线C. 1 (1)写出曲线C的方程; 1 ts(2)证明:曲线C与C关于点A(，)对称. 122 3(1)解:C:y,s=(s,t),(x,t). ? 1 ts(2)分析:要证明曲线C与C关于点A(，)对称，只需证明曲线C上任意一1122 个点关于A点的对称点都在曲线C上，反过来，曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上即可. 1 st证明:设P(x，y)为曲线C上任意一点，它关于点A(，)的对称点为 111122 3P(t,x，s,y)，把P点坐标代入曲线C的方程，左=s,y，右=(t,x),(t,x). 111113由于P在曲线C上，?y,s=(x,t),(x,t). 111113?s,y=(t,x),(t,x)，即点P(t,x，s,y)在曲线C上. 11111 同理可证曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C上. 1 ts从而证得曲线C与C关于点A(，)对称. 122