求导法则

求导法则 《数学分析》 ?2 求导法则 [教学目的] 熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数，并熟练进行初等函数的导数运算。 [教学要求] 熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则;会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。 [教学重点] 导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法; [教学难点] 复合函数求导法则及复合函数导数的计算。 [教学方法] 以问教学法为主，结合课堂练习。 [教学程序] , 引言 上一节我们讲述了导数的相关知识，要求大家:深刻理解导数概念，能准确表达其定义;明确其物理、几何意义，会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数，可导与连续的关系。特别要注意，要学会从导数定义出发求某些导数的导数。例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数，并且我们知道，计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算。因此，从理论上来讲，给了一个函数(不管它是简单函数，还是复杂函数)，总可用定义求其导数(只要极限存在)。但从我们计算左边几个函数的经验知道，用定义计算函数的导数是比较繁琐的。试想对基本初等函数的导数计算(用定义求导)都如此繁琐，对一般的初等函数更是不可想象。 因此，我们不能满足于只用导数定义求导数，而应去寻找一些求导数的一般方法，以便能较方便地求出初等函数的导数。在给出较一般的方法之前，先看以下函数如何求导数: f(x),sinx，cosxg(x),sin2x 11 f(x),sinx,cosxg(x),sin(ax) 22 cosxg(x),arcsinx,f(x) 33logxa f(x),csinxg(x),arccosx 44 一、 导数的四则运算 问题1 设f(x),sinx,cosx，求f'(x)。 f'(x),cosx,sinx,(sinx)',(cosx)'分析 利用导数的定义及极限的四则运算知，。即 (sinx,cosx)',(sinx)',(cosx)' 一般地，有如下和的导法则: xxu(x)v(x)f(x),u(x),v(x)定理1(和的导数) 若、在点可导，则函数在点可导，且00f'(x),u'(x),v'(x)(u(x),v(x))'(x),u'(x),v'(x)，即 。 000000 xxxf(x),sinx,af'(x),(sinx)',(a)',cosx,a,lna问题2 设，则对吗, 分析 一般地，有如下乘积的导法则: xxu(x)v(x)f(x),u(x)v(x)定理2(积的导数) 若、在点可导，则函数在点可导，且00 《数学分析》教案 f'(x),u'(x)v(x)，u(x)v'(x)(u(x)v(x))'(x),u'(x)v(x)，u(x)v'(x)，即 。 0000000000 (u(x)v(x)w(x))'(x),u'(x)v(x)w(x)，u(x)v'(x)w(x)，u(x)v(x)w'(x)推论1 。 0000000000 (cos(x))',C,v'(x)x推论2:若函数在知可导，C为常数，则。 v(x)x,x000 xa问题3:设，求。 f'(x)f(x),logxa 分析: 一般地，存如下商的运算法则: u(x)f(x),v(x),0xx定理3(商的导数) 若函数，在点都可导，且，则在点也可u(x)v(x)000v(x) u'(x)v(x),u(x)v'(x)u(x)0000f'(x),()'(x),导，且。 002v(x)(v(x))0 .利用导数的四则运算法则举例。 , 32f(x),x，5x,9x，,例1( ，求，。 例2( ，求。 f'(x)f'(0)y,cosxlnxy'x,, ,n,n,122，(x)',,nx(tanx)',secx(cotx)',cscx例3(证明:，。 例4(证明:，。 n,N 例5(证明:(secx)',secxtanx，(cscx)',,cscxcotx。 .利用导数的四则运算法则求导数举例: 2322f(x),x，sinxf(x),x,sinx，cosxf(x),2xf(x),xcosx1( ; 2( ;3( ;4( ; tgx232f(x),x，x，xcosxf(x),xsinx,lnx，f(x),xsinx，7x5( ;6(;7(;x x5sinx，3tgxesinx2y,，xlnxf(x),8(;9(; 1，tgxx 二、 反函数的导数 f(x),arcsinxf'(x)问题1. 设，求。 分析:一般地，存如下结果: ,'(y),0yy,f(x)x,,(y),(y)定理4. 设为的反函数，若在点的某邻域内连续，严格单调且，00 1x,,(y)xf'(x),f(x)则在点，()可导，且 。 0000,'(y)0 .反函数求导的例子。 , 1xx(arccosx)',,(a)',alnaa,0,a,0例1(();例2( 21,x 11(arccotx)',,(arctgx)',例3(，。 221，x1，x 《数学分析》教案 三、 复合函数的导数 x,f(x),sin(a)f(x),x问题1). 设，求;2). 设，求;3). 设，求。 f(x),sin2xf'(x)f'(x)f'(x) u,,(x)xx定理5. 设在点可导，在点可导，则复合函数在点可导，u,,(x)y,f(u)y,f,,0000(f,,)'(x),f'(u),'(x),f'(,(x)),'(x)且。 00000 . 复合函数求导举例: , 22y,sinx例1( 例2( 设，求，。 f'(0)f'(1)f(x),x，1 122例3( 求下列函数的导函数: (1); (2) f(x)tan。 ,f(x),ln(x，1，x)x 123(x，5)(x,4)例4( 设 ()，求。 y'y,x,4152(x，2)(x，4) v(x)y,u(x)例5( 设，其中u(x),0且u(x)和v(x)均可导，试求此幂指函数的导数。 , [小结] 一、基本求导法则 1( (u,v)',u',v' 2( (uv)',u'v，uv'， (cu)',cu' dydyduuu'v,uv'11,,3( ， 4( 反函数导数 。 ()',()',,22dxdudxvvvv 二、基本初等函数导数公式 ,,,1(x)',,x1((c)',0; 2( (,,R);3((sinx)',cosx，(cosx)',,sinx; 22(tan)',secx(cot)',,cscx(secx)',secx,tanx(cscx)',,cscx,ctgx4(，， ，; 11xxxx(a)',alna(e)',e(logx)',(lnx)',5(， ;6(，; axlnax 1111(arcsinx)',(arccosx)',,(arccotx)',,(arctanx)',7(，; ，。22221，x1，x1,x1,x 《数学分析》教案