深圳南山科技园高起专数学真题

深圳南山科技园高起专数学真题 官方网址:www.rsre.cn 深圳南山科技园高起专数学真题 命题:深圳青年学院汪老师 一 填空题(本题共14个小题，每小题4分，共56分) A:B,1(设，则 ? .() 课本P13习题1.3第2题，，A,,1,3,,,B,2,4 x4,16f(x),2(函数的定义域为 ? . (课本P110复习题第3(2)题改编) x,3 a,0,a,1)3. 函数(的图象必定经过的点坐标为 ? . y,log(x,1)，1a 1y,f(x)f(25)(9,)4. 若幂函数的图象经过点，则的值是 ? . 3 (,)xyf(,2)xyxy，,f(5,1)5. 点在映射“”的作用下的象是，则在映射作用下点的原象是 ? . ,x,,2x01,f(x)6(已知函数fx()= 若，则x的值为 ? . ,4logxx0,81, 20.3a,b,ca,0.3,b,2,c,log27. 设 ，则的大小关系为 ? (用“”号连,2 结). xe,x,2,0(k,k，1)(k,N)8(由表格中的数据可以判定方程的一个零点所在的区间 k则的值为 ? . x ,1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 xe x，21 2 3 4 5 9.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点„用S、S分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是 ? .12 (填序号) 官方网址:www.rsre.cn fx()[0,)，,10(已知为偶函数，在上为增函数，若,则x的取值范围为 f(logx),f(1)3 ? . (课本P复习题第17题改编) 111 2[4,],,a[4,32],,11(若函数的定义域为值域为则实数的取值范围为 ? . yxx,,4a 2,x,,2,x2(1) (2) (3) (4) f(x),m,f(x)12. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，x,log(x1),x2，,3, 则实数的取值范围是 ? .(用区间形式表示). m yx,[]xx,[]13(函数称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数是不超过的最大整数，x yxx,，,,,[]1(0.52.5)则函数的值域为 ? . 14(某市出租车规定3公里内起步价8元(即不超过3公里，一律收费8元)，若超过3公里，除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘车里程的范围是 ? . (课本P例3改34) 编 二 解答题(本题共6个小题，共64分) 15((满分8分)计算下列各式的值: 1,1130,4322lg2lg3，(,4),()，0.25，()(1); (2) 21121lg0.36lg8，，23 官方网址:www.rsre.cn 22,,C,xmx,116((满分10分)已知， A,{a,a，1,,3},B,{a,3,3a,1,a，1},若. ,,A:B,,3 (1)求的值; a (2)若，求的值. m，，C,A:B f(x),lg(x，1),g(x),lg(1,x)17. (满分10分)已知函数. f(x),g(x)(1)判断函数的奇偶性，并说明理由; f(x),g(x)(2)判断函数在定义域上的单调性，并你的结论.(课本P复习题第15111 ). (1)题改编 P18((满分12分) 某上市股票在30天内每股的交易价格(元)与时间(天)组成有t (t,p)(t,p)序数对，点落在下图中的两条线段上，该股票在,,天内(包括,,天)的日 官方网址:www.rsre.cn Q交易量(万股)与时间(天)的部分数据如下表所示( t 第天 , ,, ,, ,, t Q(万股) ,, ,, ,, ,, (,) 根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格(元)与时间(天)所满足的函Pt 数关系式; t,QQ(,) 满足一次函数关系，根据表中数据确定日交易量(万股)与时间(天)的t 函数关系式; (,) 在(,)的结论下，用(万元)表示该股票日交易额，写出关于的函数关系yyt 式，并求出这,,天中第几日交易额最大，最大值为多少, P(元) 6 y 5 4 2 x,2，a(),19((满分12分)已知定义在R上的函数fx是奇函数. xO 10 20 30 2，1t(天)(1)求实数的值; ax f(x)(2)用定义证明在R上是减函数; 3(3)已知不等式恒成立，求实数的取值范围. f(log)，f(,1),0mm4 官方网址:www.rsre.cn 220. (满分12分)已知二次函数的图象过点(1，13)，且函yfxxbxc,,，，() 1数是偶函数. y,fx(),2 fx()(1)求的解析式; 2，，，，gx,[fx,x,13],x(2)已知t,2,， 求函数在[，2]上的最大值和最小值; t，，gx yfx,()(3)函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数,如果存在，求出这样的点的坐标;如果不存在，请说明理由. 深圳南山科技园高起专数学真题参考答案 一 填空题 1[2,3](2,1)(3,2)1. 2. 3. 4. 5. ，,2,3:(3,，,)5 1c,b,a6. 3 7. 8. 1 9.(2) 10. (0,):(3,，,)3 26[2,8](1,，,)11. 12. 13. 14. [8,),,0,1,2,33二 解答题 4115.解:(1)原式=; „„„„„„„„4分 ,,，，,,4123，，2 官方网址:www.rsre.cn lg4lg3lg12lg12lg12，„8分 (2)1原式,,,,,31lg0.6lg2lg10lg0.6lg2lg12，，，，1lg0.36lg8，， 16. a,3,,3或3a,1,,3(1)解:由得:， ,,A:B,,3 2a,0或a,,即: -----------------(3分) 3 检验: a,0矛盾，? -------------(4分) 当a,0时A,{0,1,,3}B,{,3,,1,1}A:B,{,3,1} 24111132当a,,时A,{,,,3}B,{,,,3,}A:B,{,3}？a,,?-------------(5分) 393393 m,0，则， -------------(7分) (2)若C=, 1 若C，则m,,. -------------(9分) ,,3 1m,0,综上可得或 ------------(10分) ,,3 x，1,0,f(x),g(x),lg(x，1),lg(1,x),1,x,117((1) 要使函数有意义,则即 ,1,x,0,所以定义域为，关于原点对称. …………………..……………2分 ，，,1,1 F(x),f(x),g(x),lg(x，1),lg(1,x)设,则 F(,x),f(,x),g(,x),lg(,x，1),lg(1，x),,F(x) f(x),g(x)所以是奇函数 .……………………………………5分 x，1x，1x,(,1,1)f(x),g(x),lg(2) ，, 令u(x),, 1,x1,x x，1x，12(x,x)1212u(x),u(x),,,,0 设, ,1,x,x,112121,x1,x(1,x)(1,x)1212 f(x),g(x) ,所以在定义域上是增函数. ……………10分 ？u(x),u(x)12 p,at，b(0,2),(20,6)0,t,2018(解:(1)当时，设，由图像可知过点代入得 官方网址:www.rsre.cn b,2,2,b,1,解得，即 . ……………2分 p,t，2,1,6,20a，ba,5,,5, 1同理可得当20,t,30时， . ……………3分 p,,t，810 1,t，20,t,20,,5p,综上可得 . ……………4分 ,1,,t，820,t,30,10, 36,4k，mk,,1,,Q,kt，m(4,36),(10,30) (2)由题意设，过点可得解得 ,,30,10k，mm,40,, Q,,t，40即 . ……………7分 1,(t，2)(,t，40)0,t,20,,5y,P,Q,(3)由题意可得 ,1,(,t，8)(,t，40)20,t,30,10, 1,2,t，6t，800,t,20,,5 = . ………9分 ,12,t,12t，32020,t,30,10, 0,t,20t,15当时，时，万元 . ……………10分 y,125max 20,t,30t,20当时，时，万元， . ……………11分 y,120max 综上可得第15日的交易额最大为125万元 . . ……………12分 f(x)f(,x)，f(x),0x,R19(解:(1)由于是奇函数，则对于任意的都成立， ,xxxx,2，,2，,1，2,2，aaaa，,0,，,0即 . ……………2分 ,xxxx2，12，11，22，1xxx,1，a2,2，a,0可得即 . ……………3分 (a,1)(2，1),0 x2,0a,1,0a,1因为，则解得 . ……………4分 (2)设 x,x,R,且x,x1212 官方网址:www.rsre.cn xx21,2，1,2，1(),(),,fxfx . ……………5分 21xx212，12，1 xxxx2112(1,2)(2，1),(1,2)(2，1) , xx21(2，1)(2，1) xx122(2,2) . ……………7分 ,xx21(2，1)(2，1) xx12 ？x,x,？0,2,212xxxx1221 ？2,2,0,2，1,0,2，1,0 ？f(x),f(x),021 即 f(x),f(x)21 ？f(x)在R上是减函数. . ……………8分 33(3)由可得: . ……………9分 f(log)，f(,1),0f(log),,f(,1)mm44 3f(x)是奇函数， . ……………10分 f(log),f(1)？？m4 f(x)在R上是减函数， 又？ 3， . ……………11分 log,1？m4 3解得 0,m,,或m,14 3故的取值范围为 . ……………12分 (0,):(1,，,)m4 1220(解: (1)因为函数是偶函数，所以二次函数的对fxxbxc(),，，yfx,,()2 1b,1称轴方程为，故. -----------1分 x,,2 2113，，,bcc,11又因为二次函数的图象过点(1，13)，所以，故. fxxbxc(),，， 2fx()因此，的解析式为. -------------3分 fxxx()11,，， ，，，，gx,x,2,x(2) -------------4分 2x,0当时，， ，，，，gx,,x,1，1 2x,0当时，， ，，，，gx,x,1,1 由此可知=0( -------------5分 ，，gxmax 21,t,2，，当，gx,t,2t; min 当，，，; gx,,11,2,t,1min 2，，当，gx,,t，2t; -------------8分 t,1,2min 2yfx,()(3)如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，(,)mnmn 官方网址:www.rsre.cn 2222mmn，，,11为自然数，则，从而， 4(21)43nm,，, [2(21)][2(21)]43nmnm，，,，,即. -------------------10分 2(21)2(21)nmnm，，,,，2(21)0nm，，,注意到43是质数，且，，所以有2(21)43,nm，，,m,10,,,解得 - ------------------11分 ,,n,11.2(21)1,nm,，,,, yfx,()因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为(10，121). -------------------12分