的定义和性质,二重积分的充要条件,了解有界闭区域上的

的定义和性质,二重积分的充要条件,了解有界闭区域上的 基本要求:(1) 掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上 的连续函数的可积性( (2) 平面点集可求面积的充要条件( 一 平面图形的面积 P 定义 内面积 I =, sup{s(T)}p p I,inf{S(T)}外面积 pp I定义 若平面图形P的面积I 等于它的外面积 ，则称P为可求面积的，并称其共同p 值为P的面积。 ,,0定理21.1 平面有界图形P可求面积的充要条件是:对任给的，总存在直线网 T，使得 |S(T),s(T)|,, pp I,,0推论 平面图形P的面积为零充要条件是它的外面积 ,0 ，即对对任给的，总p 存在直线网 T，使得 S(T),, p 定理 21.2 平面有界图形P可求面积的充要条件是:P的边界K的面积为零。 [a,b]定理21.3 若曲线K为定义在上的连续曲线，则曲线K的面积为零。 二 二重积分的定义及其存在性 曲顶柱体体积问题 z,f(x,y) ,V,f(,),,iii n V,,V,f(,),,,,iii,1i f(x,y)J定义 设 是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数， 是一个确定的常数，若 ||T||,,,,0,,0对任意都存在一个，使得对于D的任何分割T，当它的细度时，属于T 的所有积分和都有 n |f(,),,,J|,, ,ii,1i f(x,y)f(x,y)则称 在D上可积，数J 称为函数在D上的二重积分，记作 J,f(x,y)d,,,D f(x,y)其中称为二重积分的被积函数，称为积分变量，D为积分区域。 x,y f(x,y),0z,f(x,y)当时，二重积分在几何上示以 为曲顶的曲顶柱f(x,y)d,,,D f(x,y),1体的体积，当时，二重积分的值就等于积分区域D的面积。 f(x,y)d,,,D 二. 可积条件 : . 上和与下和. M,supf(x,y),m,inff(x,y) ii(x,y),,i(x,y),,i n S(T),M,,,s(T),m,,,,1iii,1i f(x,y)定理21. 4 在D上可积的充要条件是: . limS(T),lims(T)||T||,0||T||,0 f(x,y),,0定理21. 5 在D上可积的充要条件是:若对任意都存在D的某个分割T， S(T),s(T),,使得 ff定理21. 6 在有界闭域D上连续 , 在D上可积 . , f(x,y)f(x,y) 定理21. 7 设 是定义在有界闭域D上的有界函数，若的不连续点都 f(x,y)落在有限条光滑曲线上，则在D上可积。 三 二重积分的性质 : 性质1 . kf(x,y)d,kf(x,y)d,,,,,,DD 性质2 关于函数可加性 (f，g)d,fd，gd,,,,,,,,,DDD ff 性质3 则在D上可积 在和 ,intD,intD,, , D,D,D. D12121 可积 , 且 D2 fd,,fd,，fd,,,,,,,DDD12 性质4 关于函数单调性 f(x,y),g(x,y),(x,y),D,fd,gd,,,,,,DD 性质5 |fd,|f|d,,,,,,DD 性质6 . m,f,M , , mS,f(x,y)d,MS,DD,,D