导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用 ?数学导学z责szy编zyy@周16瑜3 导数的实际应用主要是解决一些生活中的优化问 题,即用料最省,效率最高等问题,其核心是建立适当 的函数关系,确定函数的定义域. 一 ,与利润及其成本有关的最值问题 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管图1 费用分别为3n元和5o元,问供水站C建在何处才能 使水管费用最省? 分析根据题设建立数学模型,借助图形寻找各 适当设定变元,构造相应的函数关 个条件间的联系, 系,通过求导,求出最值,可确定C点的位置. 解据题意知,只有点C在线段AD上某一适当 位置时,才能使总运费最省,设C点距D点km,如图 1所示.贝0BD=40,AC=50一,BC=,/BD+CD= ~/+40,又设总的水管费用为Y元,由题意得 =3a(50一)+5aJv丽(O<<5o),y= C… 一3a+—J二/J,~ ,令Y0,解得=30. ~/+40 在E(O,50)时,Y只有一个极值点,根据实际意 义,函数在=30(km)处取得最小值,此时AC=50一 = 20(km),所以供水站建立在A,D之间距甲厂20km 处,可使水管费用最省. 点评解决实际问题的关键在于建立数学模型和目 标函数,把"问题隋境"译为数学语言,找出问题的主要关 系,并把问题的主要关系抽象成数学问题,在数学领域寻 找适当的方法解决,再返回到实际问题中加以说明. 1:如图2,某地有3家D 工厂,分别位于矩形ABCD的两 个顶点A,B及CD的中点P处, 已知A日=2Okm,AD=10km,为A 了处理3家工厂的污水,现要在 该矩形ABCD的区域上,且与A,曰等距离的一点0 处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道A0, BO,PO,设排污管道的总长度为Ykm.设Z.BAO:0, 将Y表示为的函数,并确定污水处理厂的位置,使铺 设的排污管道的总长度最短. 解延长Po交A曰于E,AE=BE=10,AO=10 , OE=10tan0, 所以,,=2Ao+0P_ c 2 枷 Q_o+10一 =10一 (? 因为y=一10[二!旦_==.]= (二!2 cos ' 令y=0,得sin=1. 因为0??子,所以 = 詈. 此时0E=10tan0=km,即D应选在线段』4曰的 垂直平分线雎上且与点E的距离为km的点D处. 二,效率最值问题 例2如图3,某海滨浴场的岸 边可近似地看作一条直线,救生员在 岸边的A处,发现海中处(BAD = 45.)有人求救,救生员没有直接从 』4处游向处,而是沿岸边跑到离 B最近的D处(BD=300米),然后游图3 向曰处,若救生员在岸边的行进速度为6米/秒,在海 水中行进速度为2米/秒. (1)分析救生员先沿岸边/i跑到离曰最近的D 处,然后游向B处这种做法是否正确? (2)能否在AD上找到一个适当的一点,使得能在 最短的时间内营救曰处的人? 解(1)因救生员直接从A到B救人所需时间为 tl::150秒,而从A到D再到B的时间: 高中生之友20114上半月刊]25 致学导学gz责szy编zy龋m 300 + 三:200秒 ,显然f>,:,故救生员沿岸边跑到 离B最近的D处,然后游向曰处这种做法是正确的. (2)在AD间取点C,设从到处所用总时间为 t,C点到D点的距离为米,则曰c=,/3oo~+,所以 : 3 T 00-x +2_,(E[0,300]t300)(1)=—_+_二———一,(E【u,)() 1 令t=一-g-+—==兰=0,解得=75,因 2?300+' 函数t只有一个极值,因此当=75时,t有最小值, 将=75代入(1)式得t…=50+10o秒. 点评在解决与实际问题有关的最值问题时,应 先将实际问题转化为求函数的最值问题,并且要特别 注意自变量的取值范围,再利用求导法则求最值. 练习2:一艘渔艇停泊在距岸9km处,今需派人 送信给距渔艇34km处的海岸站,如果送信人步行 每小时5km,船速每小时4km,问应在何处登岸再步 的位置.A 图4 B 因为B:9,c=34,曰c='? ,=15, 由到C所需时间r为: =+ ?(0?), :上一—兰_啊一,令:0,解得:3,' 54丽………' 在=3附近,由负到正,因此在=3处取得极 小值,所以在距渔站3km处登岸可使抵达渔站的时间 最短. 三,与几何有关的最值问题 例5如图5,用宽为a, 长为b的三块木板,做成一个 断面为梯形的水槽.问斜角 为多大时,水槽的流量最大?最大流量是多少?E0D 图5 分析槽的流量与槽的 横截面面积有关,横截面面积越大,槽的流量就越大, 因此,求槽的流量最大,其实就是求横截面面积的最大 值. 1 解设横截面面积为S,则S=?(AB+ED)?cD.二 由于AB=a十2acos0,CD=asin0, 26f高中生之友2011.4.上半月刊】 因此S=?[.+(.+2acos0)]?asin0 =nsin0(1+cos)(o<0<). 又S=a(2cos0+cos0—1),令S=0,即 口(2cos+cos0—1)=0得cos0=—一或cos0=一l. 由于0<0<詈,得cos?一1,那么c0s0=1,此 时0=—"IT. 因为当0<0<詈时,Js>0;当号<0<詈时,|s<o, 所以,当0=?时,横截面的面积最大;此时,槽的 流量最大,最大流量是s(寻)=.2. 点评流量最大,横梁的强度最大等都与横截面 的面积有关,而面积又往往与三角函数联系在一起.根 据题目条件找出各量之间的关系是求解此类问题的关 键,然后通过导数予以求解. 练>-33:要建一个圆柱形无盖的粮仓,要求它的容 积为500In,问如何选择它的直径和高,才能使所用 的材料最省? 解欲使材料最省,实际上是使表面积最小,设直径 为d,高为h,表面积为S,由(要)?arh=50o,得 , 2000 . 5LS=(导)2Tf+dh=+,=一 2O00 . 令5=0,即一:0,得d=2,此时 二口V盯 h: 因为0<d<2邮,<0.d>2邮r>0, 当浮,: 利用导数研究实际问题,需从给定的数量关 总之, 系中选取一个适当的变量,建立函数模型,根据目标函 数的结构特征,运用导数去解决.其步骤为:(1)建立 数学模型,写出变量问的函数关系式,确定函数的定义 域;(2)求函数的导数厂(),解方程)=0,求出极 值点;(3)比较函数在区间端点和在极值点的取值大 小,确定其极大(小)者为最大(小)值;(4)检验所得结 果是否符合问题的实际意义. (作者单位:江苏省盐城市时杨中学)