立方根与高次方根

立方根与高次方根 117 附錄 A1 立方根與高次方根 在本單元裡,我們除了討論立方根的性質和運算規則以外,也要介紹高次方根。 3當實數a為某個實數b的三次方時,,我們就稱b為a的立方ab, 33ab,a,其中讀作「三次根號a」,並稱a為「被開方數」。根,並記作 3333,,,8(2),例如:27及,所以及。不同於平方根的被開,,,823273, 方數必須是非負的數,立方根的被開方數可以是任意實數。顯然的,被開方數與它的立方根同號。 在本單元中,我們只討論被開方數為有理數的立方根或高次方根。 【立方根的乘法與除法】 兩個立方根之間的乘法與除法運算類似於平方根的情形,有下列的規則: 333abab，,(1) ; 3aa333ab,,(2) ,其中。 b,0=3bb 【範例1】計算下列各式: 133335，3(1) (2) ，4 2 493333(3) 42, (4) ,32 333353，,35，,15【解】 (1) 11333,3,(2) 2，4，422 3333,,(3) 42, 242, 422494983333,,,,(4) 3，,,339322732 118 【類題練習1】計算下列各式: 3333255，(1) (2) 6，3 453333155,(3) (4) , 2516 33333，,555,,,由規則(1)我們知道, (,1),。因此,習(1)5,， 33,a,a改寫成,其中a為正數。 慣上,常將 【最簡根式】 如同平方根的情形,當被開方數為整數且不是一個完全立方數時,我們 3可以利用數的標準分解式及立方根的乘法,來化簡根式。例如:化簡720 4232時,我們先將720寫成,再化簡求得 2352235，，,，，， 32333,。 2235290，，，,720 當被開方數為有理數時,通常會將運算結果寫成分母不含有根號的形式。 823例如,我們會將改寫成 ,355 22333222525225，325,,,:或:。 323333555555， 3ppn3n類似平方根的化簡,我們將立方根寫成「最簡根式」:或:qq p的形式,其中為最簡分數,n為大於1的整數,並且不能被任何大於1q 3的整數的立方整除,我們稱這樣的過程為「立方根化簡」。例如:及29023都是最簡根式。 255 119 【範例2】化簡下列各式: 2333,432(1) 270 (2) (3) 3 3333【解】 (1) 270,3，10,310 433,,,，,,，，43223(23)2(2) 因為, 33333所以。 ,,,，，,,432(23)262 22(3) 我們可先將的分子、分母同乘於後再做化簡,即33 2332231818，33。 ,,,2333333，3 【類題練習2】化簡下列各式: 5333(1) (2) (3) ,3000135 2 當兩個立方根化為最簡根式後,如果在它們的最簡根式的立方根號內 133有相同的被開方數時,我們就稱這兩個立方根為同類方根。例如,、24 331124333:可化為:和都是同類方根,但是與:可化為:就不是,22422同類方根。 在化簡根式時,我們可以利用同類方根的合併來簡化數學式。 【範例3】化簡下列各式: 7813333333(1) (2) ,，，,223362534796，，,272 120 333333,【解】 (1) +,，，,22336253(26)2,，(35)3, 33, 4223, 337337813333,(2) 47212，，,4796，，,332722 3373322，，3, 47212+，,33222，， 3373123, 47212+，,32 33127, 47+， 23 3 註:和不是同類方根。 77 【類題練習3】化簡下列各式: 21253333333(1) (2) ,，，,42335263328，，,272 對於某些較為特殊的根式,可嘗試利用乘法公式來求乘積。我們先 複習兩個常用的立方公式: 22 33,ab，()()abaabb，,， 22 33,ab,()()abaabb,，， 33333【範例4】利用立方公式化簡。 (32)(964)，,， 2233,ab，【解】 我們可以利用來化簡。 ()()abaabb，,， 33,,令a、b,即可得到: 23 333333333, (32)(964)，,，(3)(2)， , 32 = 5 + 121 33333【類題練習4】利用立方公式化簡。 (52)(25104),，， 【根式分母的有理化】 如同平方根的有理化技巧,我們也可利用立方乘法公式來做分母含有立方根的根式的有理化。 【範例5】有理化下列各根式的分母: 11(1) (2) 3333964，，21， 【解】 (1) 由立方公式,我們知道 333333,,,213。 +(21)(421)，,，(2)1， 所以,若想將分母的根號去掉,可對分子與分母同乘以 33即可。因此得到: (421),， 331(421)，,，1, 3333(21)(421)，,，21， 33421,，, 3 33(2) 我們對分子與分母同乘以,即得 32, 3311(32)，,, 33333333(964)(32)，，,964，， 3332,, 3333(3)(2), 33,。 32, 122 【類題練習5】有理化下列各根式的分母: 11(1) (2) 333325104,，21, 【認識高次方根】 23 除了a的立方根記為以外,其實平方根即為讀作「二次aaa 根號a」,但是2可以省略不寫。在數學的指數單元中,還會出現 54(讀作「四次根號a」)、(讀作「五次根號a」)、…等高次方根。aa n因此,若n為正整數,且ab,時,我們就稱b為a的n次方根,並記作nn,其中讀作「n次根號a」,並稱a為「被開方數」。在這裡,ab,a n我們假設有意義,例如當n為偶數時,被開方數a必須為非負數;a 當n為奇數時,a可以為任意實數。 事實上,兩個n次方根之間的乘法與除法,也類似於平方根及立方根的 nn運算規則:當、有意義時, ab nnn(1) abab，, naannn,(2) =,其中n2,。 ,b,0ab,nbb 如同平方根及立方根的情形,我們可以利用數的標準分解式來化簡高次根式。 【範例6】化簡下列各式: 1659644,243192,102416(1) (2) (3) (4) (5) 81 44,,16【解】 (1) 因為162,所以2。 555555,,,，,,243(1)3(3),,,243 (2) 因為,所以(3),。 ,3 123 6666666,,, (3) 19223 23，23， 9109999999,1024,,2,,, (4) ,22(2)2,，(2)2,， 441621622,,4, (5) 因為,所以。 ,,,,48138133,, 因為實數的偶次方必為正數或0,所以偶次方根的被開方數如同平方根必須為非負數,如範例6中的(1)、(3)和(5);而奇次方根的被開方數如同立方根可為任意實數,如範例6中的(2)和(4)。事實上,遇到奇次方根且被開方數為負數時,可先將負號寫在根號外,例如:在範例6(2)中, 5555,,,,243,243。 ,3,3 【類題練習6】化簡下列各式: 32674564,12881(1) (2) (3) (4) , 243 在國中階段,我們學過指數為整數的指數律。事實上,n次方根也可 1/2a以用指數的形式來示。例如:a的二次方根可以記為(讀作a的二分 1/31/2aa,a之一次方),即;a的三次方根可以記為 (讀作a的三分之一 1/n1/33aa,a次方) ,即。所以,a的n次方根可以記為(讀作a的n分之 1/nnaa,一次方),即。 由方根的乘法與除法,我們知道: 1/21/211/21/21/2232323(23)，,，,，,，3333333，,，,，,; ; 31/231/21/21/21/21/21/23(1/2)，，，(2)8222(2)22222,,，，,,，，,,; 124 2221/21/21/21/2333(1/2)3，2323(),,,,,,(2)(2)22,,,;等。 333也就是說,在高中的課程中,指數律的學習將由指數為整數延伸到有理數: mnmn，mmmabab，,()aaa，,; ; amnnmmnmmm()()()aaa,,ab,,b,0; ,其中。 b 【家庭作業】 1. 求下列各數的立方根: 12,? 64 ? 729 2. 將下列各數化簡成最簡根式: 3312? ? ,4000128 3. 化簡下列各式: 333312? ? 366，645， 334. 化簡 。 4 5. 化簡下列各式: 233333123? ? ,,，,62538223102818，，，3 3336. 化簡。 (21)(421),，， 7. 有理化下列各根式的分母: 1112? ? 333331,1684,， 8. 化簡下列各式: 10245455123448,625032? ? ? ? , 3125