特殊的平行四边形一,教学衔接
(一).检查作业
(二). 平行四边形的定义、性质和判定。
二,教学内容
1、 矩形的性质和判定(PPT)
定义:有一个直角的平行四边形叫做矩形。
性质:矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边是的一半
判定:有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
2、 菱形的性质和判定
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质:菱形的四条边都相等;
...
一,教学衔接
(一).检查作业
(二). 平行四边形的定义、性质和判定。
二,教学内容
1、 矩形的性质和判定(
)
定义:有一个直角的平行四边形叫做矩形。
性质:矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边是的一半
判定:有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
2、 菱形的性质和判定
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质:菱形的四条边都相等;
菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
判定:一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
例1 (补充) 已知:如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.
求证:∠AFD=∠CBE.
证明:∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ CB=CD, CA平分∠BCD.
∴ ∠BCE=∠DCE.又 CE=CE,
∴ △BCE≌△COB(SAS).
∴ ∠CBE=∠CDE.
∵ 在菱形ABCD中,AB∥CD, ∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE.
例2、已知:如图,AD是三角形ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证:四边形AEDF是菱形。(提示:运用定义判定。)
3、 正方形的性质和判定
定义:四条边相等,四个角相等的四边形叫做正方形。(既是矩形也是菱形)
性质:四边相等,四个角都为90度。
对角线_______________________________
判定:四条边相等,四个角相等的四边形是正方形
【例1】判断下列命题是真命题还是假命题?并说明理由。
(1) 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形;
(2) 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形;
(3) 对角线互相垂直平分的四边形是正方形;
(4) 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;
(5) 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
【例2】如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且∠EAF=45°,证明:EF=BE+DF。
分析:要证EF=BE+DF,如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上,然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。
像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法。
证明:
三,教学练习
1.(2007连云港)如图,在
中,点
分别在边
,
,
上,且
,
.下列四个判断中,不正确的是( )
A.四边形
是平行四边形
B.如果
,那么四边形
是矩形
C.如果
平分
,那么四边形
是菱形
D.如果
且
,那么四边形
是菱形
2.(2007泉州)在右图的方格纸中有一个菱形ABCD(A、B、C、D四点均为格点),
若方格纸中每个最小正方形的边长为1,则该菱形的面积为
3.如图,在矩形
中,对角线
交于点
,已知
,则
的长为 .
4.(2008佛山)如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP = BC,则∠ACP度数是 .
5.如图19-23,已知矩形ABCD中,AC与BD相交于O,DE平分∠ADC交BC于E,∠BDE=15°,试求∠COE的度数。
6.已知:如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点,且BE=DF.求证:∠AEF=∠AFE.
7.如图所示,点E,F在正方形ABCD的边BC,CD上,AE,BF相交于点G,BE=CF,求证:(1)AE=BF.(2)AE⊥BF.
四,教学
1、矩形的性质和判定
2、菱形的性质和判定
3、正方形的性质和判定
五,布置作业
1.(2007滨州)对角线互相垂直平分的四边形是( )
A.平行四边形、菱形
B.矩形、菱形
C.矩形、正方形
D.菱形、正方形
2.(2008常州)顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( )
A.等腰梯形
B.正方形
C.平行四边形
D.矩形
3.(2008聊城)如图,矩形中,是与的交点,过点的直线与的延长线分别交于.
(1)求证:;
(2)当与满足什么关系时,以为顶点的四边形是菱形?证明你的结论.
4.如图19-24,在正方形ABCD中,Q是CD的中点,P在BC上,且AP=PC+CD,
求证:AQ平分∠DAP。
5.已知四边形ABCD中,AB=CD,AC=BD,试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形,并说明理由.
一,教学衔接
(一).检查作业
(二). 平行四边形的定义、性质和判定。
二,教学内容
4、 矩形的性质和判定(PPT)
定义:有一个直角的平行四边形叫做矩形。
性质:矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边是的一半
判定:有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
5、 菱形的性质和判定
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质:菱形的四条边都相等;
菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
判定:一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
例1 (补充) 已知:如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.
求证:∠AFD=∠CBE.
证明:∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ CB=CD, CA平分∠BCD.
∴ ∠BCE=∠DCE.又 CE=CE,
∴ △BCE≌△COB(SAS).
∴ ∠CBE=∠CDE.
∵ 在菱形ABCD中,AB∥CD, ∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE.
例2、已知:如图,AD是三角形ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证:四边形AEDF是菱形。(提示:运用定义判定。)
6、 正方形的性质和判定
定义:四条边相等,四个角相等的四边形叫做正方形。(既是矩形也是菱形)
性质:四边相等,四个角都为90度。
对角线_______________________________
判定:四条边相等,四个角相等的四边形是正方形
【例1】判断下列命题是真命题还是假命题?并说明理由。
(6) 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形;
(7) 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形;
(8) 对角线互相垂直平分的四边形是正方形;
(9) 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;
(10) 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
【例2】如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且∠EAF=45°,证明:EF=BE+DF。
分析:要证EF=BE+DF,如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上,然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。
像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法。
证明:
三,教学练习
1.(2007连云港)如图,在
中,点
分别在边
,
,
上,且
,
.下列四个判断中,不正确的是( )
A.四边形
是平行四边形
B.如果
,那么四边形
是矩形
C.如果
平分
,那么四边形
是菱形
D.如果
且
,那么四边形
是菱形
2.(2007泉州)在右图的方格纸中有一个菱形ABCD(A、B、C、D四点均为格点),
若方格纸中每个最小正方形的边长为1,则该菱形的面积为
3.如图,在矩形
中,对角线
交于点
,已知
,则
的长为 .
4.(2008佛山)如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP = BC,则∠ACP度数是 .
5.如图19-23,已知矩形ABCD中,AC与BD相交于O,DE平分∠ADC交BC于E,∠BDE=15°,试求∠COE的度数。
6.已知:如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点,且BE=DF.求证:∠AEF=∠AFE.
7.如图所示,点E,F在正方形ABCD的边BC,CD上,AE,BF相交于点G,BE=CF,求证:(1)AE=BF.(2)AE⊥BF.
四,教学总结
1、矩形的性质和判定
2、菱形的性质和判定
3、正方形的性质和判定
五,布置作业
1.(2007滨州)对角线互相垂直平分的四边形是( )
A.平行四边形、菱形
B.矩形、菱形
C.矩形、正方形
D.菱形、正方形
2.(2008常州)顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( )
A.等腰梯形
B.正方形
C.平行四边形
D.矩形
3.(2008聊城)如图,矩形中,是与的交点,过点的直线与的延长线分别交于.
(1)求证:;
(2)当与满足什么关系时,以为顶点的四边形是菱形?证明你的结论.
4.如图19-24,在正方形ABCD中,Q是CD的中点,P在BC上,且AP=PC+CD,
求证:AQ平分∠DAP。
5.已知四边形ABCD中,AB=CD,AC=BD,试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形,并说明理由.
C
B
E
A
F
D
A
B
A
B
C
D
B
C
D
A
P
C
D
图19-23
F
D
O
C
B
E
A
第12题图
图19-23
C
B
E
A
F
D
A
B
A
B
C
D
B
C
D
A
P
C
D
图19-23
F
D
O
C
B
E
A
第12题图
图19-23
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