布朗运动

布朗運動簡介 黃文璋 布朗運動(Brownian motion) 又稱 Wiener 過程, 為最早被徹底研究的一個過 程, 與 Po- isson 過程同為應用機率中最重 要的兩個過程。 在 1827年, 英國植物學家 Robert Brown (1773-1858) 在顯微鏡中觀察到, 懸 浮於溶液中之微小的粒子, 呈現一連續而不 規則的運動。 當然這種現象不只在液體中才 有, 如果我們稍加留意, 當陽光射進陰暗的房 間時, 從光束中可看到很多飄動的灰塵,這也 是布朗運動所產生的效應。 不過布朗並非第一位提出此現象存在的 人, 從 17世紀開始, 荷蘭博物學家 Leeu- venhoek (1632-1723) 以及後來的許多科 學家都先後注意到此現象。 但布朗的探討 引 起科學界的重視, 因此後來便以布朗運 動稱呼此現象。 布朗之後科學家相繼研究, 並對布朗運動產生的原因提出解釋。 起初 科學家以為布朗運動的產生是由於粒子本身 是“活的”(alive), 但法國數學家及物理學家 Poincare´ (1854-1912) 以為這違反熱力學 第二定律 (second law of thermodynam- ics)。 今日我們知道布朗運動之所以產生, 乃 是因粒子被其四周的分子連續不斷的撞擊所 造成的一種運動 (在溶液中於正常情況下,一 特定的粒子, 每秒約受到1020 次的撞擊。)。 在1905年, 愛因斯坦 (Einstein) 利用 物理中分子動力學 (kinetic molecular the- ory) 的原理以數學方式來描述布朗運動。 他 起先是要導出布朗運動可能存在, 後來才知 道此運動早就被觀測到了。 令X(t)表粒子在 時間t於x軸之位置 (即只考慮一維的布朗運 動) , 且設X(t0) = x0為在起始時間t0之位 置。 若假設移動對時間為齊性 (即有定常增 量,stationary increments, 則可將t0取為0。 另外, 獨立增量也假設成立, 且以 ft(x)表布 朗運動於時間t位置在x之 p.d.f.(機率密度函 數)。 愛因斯坦證明ft(x)滿足下述偏微分方 程式: ∂f ∂t = D ∂2f ∂x2 , (1) 其中D稱為擴散係數, 為一大於 0之常數。 若我們改變尺度, 上式可轉換為熱力方程式 (heat equation)∂f/∂t = 1 2 ∂2f/∂x2。 不難 證明 (1) 式之解為 ft(x) = 1√ 4piDt e−(x−x0) 2/4Dt。 (2) 1 2 數學傳播 十六卷四期 民81年12月 藉由物理上的性質, 愛因斯坦證明擴散 係數D = 2RT/Nf , 其中R為理想的氣體 係數 (gas constant),T為絕對溫度,N為亞 佛加德羅數 (Avogadro number),f 為摩 擦係數, 此係數與溶液的黏性及粒子之性質 有關。 其後不久, 根據愛因斯坦所建立之模 式,Perrin 經過一系列之實驗, 給了一與目前 所接受之亞佛加德羅數差距不超過19%之估 計值。此結果很能支持分子動力學的理論,而 在此之前仍有許多物理學家對這理論抱存疑 態度的。 Perrin還指出愛因斯坦的模式描述 出一到處不可微之連續函數。 這種函數在此 模式被提出之前, 是被大多數的數學家認為 是一種刻意製造而無太多數學價值的函數。 另外,Bachelier 以賽局論來研究股票價 格之波動,並在他1900年出版的博士論文中, 提到其模式可應用到物理中的布朗運動。 在 他後來的研究中, 他給出一些關於布朗運動 的函數之分佈。 在這段研究布朗運動的期間, 數學理論 的發展卻顯得較緩慢, 此因要適當地用數學 來描述此模式較困難。 在 Lebesgue 提出關 於測度論的論文之後約20年,Wiener(1923) 對於布朗運動首度給出較簡明的數學公式, 他並證明布朗運動的樣本路徑幾乎到處連續。 在 1933年,Wiener 又與 Paley 及 Zyg- mund 共同證出布朗運動的樣本路徑幾乎到 處不可微。 另外 Khintchine(1924) 發現布 朗運動之疊對數法則 (law of the iterated logarithm)。 自1939年起,Le´vy 對布朗運動做出許 多深入而且徹底的結果, 可以說在他之後只 剩一些細節方面的推廣。 後來他又研究多維 布朗運動, 並將結果推廣到一般的抽象空間, 特別是 Hilbert 空間。 由於 Wiener 及 Le´vy 之顯著的貢 獻, 布朗運動有時又被稱為 Wiener 過程或 Wiener-Le´vy 過程。 底下我們用一簡單的方式來介紹布朗運 動, 即將布朗運動視為一隨機漫步之極限。 假設溶液中之某粒子平均每△t的時間受到一 次碰撞, 每次碰撞後產生一很小的移動, 此 移動設為隨機且與原來位置獨立。 為了簡便, 只考慮在某一特定方向之移動, 且設每次移 動+△x或−△x之機率各為p及q = 1−p。此 粒子之移動可視為在一維中之隨機漫步, 每 次移動之單位為△x。 若裝液體之容器很大, 則可假設此粒子之起始位置離容器之邊界均 很遠。 將此粒子之起始位置設為原點,則在時 間t之位置X(t)可表示為 X(t) = △x(I1 + · · ·+ I[t/△t]) (3) 其中Ii = 1 或 −1依第i次之位移為+△x 或 −△x而定,[ ] 為高斯函數, 又 P (Ii = 1) = 1− P (Ii = −1) = p。 適當地選取上述這些參數, 則由中央極限定 理可得X(t)趨近一常態分佈。 更明確地說 , 若令 △x = σ √ △t, p = 1 2 + √△t 2σ µ, 布朗運動簡介 3 此處µ,σ 為二固定常數且σ > 0, 則當△t→ 0時 (因此△x→ 0 且p→ 1 2 ), X(t)− µt σ √ t d−→ Φ, (4) 其中Φ為N (0, 1)分佈。 即證出 (i) X(t)有期望值為µt, 變異數為σ2t之 常態分佈。 又因粒子在不相交時區之移動為相互獨立, 故又有 (ii) {X(t), t ≥ 0}有獨立增量。 由 (i) 及 (ii) 立即可知X(s + t) − X(s)有N (µs, σ2s)之分佈 。 最後由於在任 一時區中之位移只與此時區之長度有關, 故 (iii) {X(t), t ≥ 0} 有定常增量。 此外尚有其它不同的方式來引進布朗運 動。 令X(t)表溶液中某粒子於時間t在某方 向之位置。 設{X(t), t ≥ 0}滿足下述三個條 件 X: (i)′ {X(t), t ≥ 0}有獨立增量; (ii)′ {X(t), t ≥ 0}有定常增量; (iii)′ 對∀δ > 0, lim h↓0 P (|X(t+ h)−X(t)| ≥ δ)/h = 0。 (5) 可以驗證前述隨機漫步之極限滿足此三 個條件, 因此 (i)′-(iii)′ 是一種較弱的假設。 底下我們解釋這些條件的意義。 首先條件 (i)′與下敘述等價: X(t + h) − X(t)與{X(u), u ≤ t}獨 立,∀h > 0, t > 0。 因此條件 (i)′表粒子在時區[t, t+h]之位 移, 與在這之前, 即時間0至t之位置皆獨立。 當然這只是一個粗略的假設。 從物理上來看, 比較正確的說法是,在時區 [t, t+h]因分子的 撞擊, 而傳給粒子的動力, 與在時間t之前的 運動無關。此假設只有當由在時區 [t, t+h]之 起始速度所造成之位移,與在時區[t, t+h]之 動力所產生之位移相比很小才有效。 由建立 模式的觀點, 這是三個條件中最差的一個, 不 過我們還是接受此假設。 條件 (ii)′則算是相當合理的假設。 它表 示此粒子的移動, 對時間而言為齊性, 即在任 一時區之位移的分佈, 只與此時區之長度有 關, 而與此時區在何處無關。只要粒子所在之 容器很大, 便可做此假設。 再看條件 (iii)′, 我們覺得每一粒子移動 的樣本路徑應該都是連續的, 而不會有突然 的跳升或降落。 現將時區[0, s]分成n等份, 每 份長度為h = s/n。 若此粒子之移動為連續, 則當h→ 0(即n→∞) 時, 在某種意義下, g(h) = sup 1≤i≤n |X(ih)−X((i− 1)h)| (6) 須趨近至0。 至少我們希望對∀δ > 0, lim h↓0 P (g(h) ≥ δ) = 0。 (7) 由條件 (i)′, 隨機變數Yi = |X(ih)−X((i− 1)h)|,i = 1, . . . , n, 為相互獨立。又由條件 (ii)′,Y1, . . . , Yn有相同分佈。 故 P (g(h) ≥ δ) = 1− P ( sup 1≤i≤n Yi < δ) = 1− P (Y1 < δ)n = 1− (1− P (Y1 ≥ δ))n。 (8) 可看出上式趨近至 0若且唯若nP (Y1 ≥ δ)→ 0, 即 sP (|X(h)−X(0)| ≥ δ)/h→ 0。 (9) 4 數學傳播 十六卷四期 民81年12月 由於s < ∞, 再利用條件 (ii)′定常增量的性 質便得證 (5)。 為了簡便我們再多做一個假設,令X(0) = 0。 此並非一限制, 因若X(0)不為0, 只須 考慮過程{X(t)− X(0), t ≥ 0}即可, 此過 程仍滿足條件 (i)′-(iii)′。 我們有下述定理。 定理1: 設{X(t), t ≥ 0}為一滿足條 件 (i)′-(iii)′ 且 X(0) = 0之過程, 則存在 常數µ及σ, 使得X(t)有N (µt, σ2t) 分佈。 證明: 對任意t > 0及n ≥ 1, 令h = t/n,Yi = X(ih)−X((i−1)h)。 則 X(t) =∑n i=1 Yi, 其中Y1, . . . , Yn為 i.i.d. 之 r.v.’s。 令Mn = max1≤i≤n Yi, 則如前, 利用條件 (iii)′, 仍有 Mn P−→ 0。 由 Breiman (1968) Proposition 9.6 (見下註) 可得X(t)有常態 分佈。 其次證明存在常數µ及σ, 使得E(X(t)) = µt,V ar(X(t)) = σ2t。 令k1(t) = E(X(t)) , k2(t) = V ar(X(t))。 則利用條 件 (i)′及 (ii)′ 便得 k1(t+ τ) = E(X(t+ τ)) = E(X(t+ τ)−X(τ)) + E(X(τ)) = k1(t) + k1(τ), (10) 及 k2(t+ τ) = E(X(t+ τ)− k1(t+ τ))2 (11) = E(X(t+ τ)−X(τ)−k1(t)+X(τ)−k1(τ))2 = k2(t) + k2(τ)。 又由條件 (iii)′知τ → 0時,X(t + τ) d−→ X(t), 由於已證出對∀t > 0,X(t)有常態分 佈, 因此 τ → 0時, E(X(t+ τ))→ E(X(t)), V ar(X(t+ τ))→ V ar(X(t))。 故k1(t)及k2(t)皆為連續函數。 即得證 (見 Young (1958)) 此二函數皆為線性函數。 註: 令Sn = X (n) 1 + · · · + X(n)n , 其中X (n) 1 , . . . , X (n) n 為 i.i.d. 之 r.v.’s。 若Sn d−→ X,則max{X(n)1 , . . . , X(n)n } d−→ 0若且唯若X有常態分佈。 經過上述討論, 底下我們正式給布朗運 動之定義。 定義1: 一隨機過程{X(t), t ≥ 0}稱為 布朗運動若其滿足: (i) X(0) = 0且 X(t)在t = 0連續; (ii) {X(t), t ≥ 0}有定常及獨立增量; (iii) 對∀t > 0,X(t)有N (µt, σ2t)之分 佈, 其中 µ,σ為二常數。 上述二常數µ及σ2分別稱為布朗運動之 偏差(drift) 及擴散係數(diffusion coeffi- cient)。 若µ = 0且σ2 = 1, 則此過程稱為 標準(standard)布朗運動。由於若令X˜(t) = (X(t) −µt)/σ, 則過程{X˜(t), t ≥ 0}為一 標準布朗運動, 即可將一任意之布朗運動轉 換為一標準布朗運動, 故我們通常只須考慮 標準布朗運動。 以隨機漫步之極限來解釋布朗運動, 使 我們聯想到 (幾乎所有) 此過程之樣本路 布朗運動簡介 5 徑應該是一 t之連續函數。 另外, 由於為隨 機漫步之極限, 每一樣本路徑永遠是很尖的 (pointy)或說是很糾結的 (kinky) 而到處不 平滑 (smoo- th), 因此X(t)應該 (幾乎) 到 處不可微。 事實上此二猜測都是對的。 由於{X(t), t ≥ 0}具有獨立增量的性 質, 因此亦為一 Markov 過程。 又因X(t)有 常態分佈, 期望值為0, 變異數為t, 其 p.d.f. 為 ft(x) = 1√ 2pit e−x 2/2t。 (12) 再利用定常及獨立增量, 對任意n > 1及0 < t1 < t2 < . . . < tn, 可得到 X(t1), . . . , X(tn)之聯合 p.d.f. 如下。 f(x1, x2, . . . , xn) = ft1(x1)ft2−t1(x2 − x1) · · · ftn−tn−1(xn − xn−1)。 (13) 有了 (13) 基本上我們可算出任何想要之機 率。 例如, 若要求在給定X(t) = a之下 ,X(s)之條件分佈,0 < s < t, 則 fs|t(x|a) = fs(x)ft−s(a− x) ft(a) = √ t√ 2pis(t− s) exp{− x2 2s − (a− x) 2 2(t− s) + a2 2t } = C exp{− t(x− as/t) 2 2s(t− s) }。 (14) 因此對0 < s < t, 給定X(t) = a,X(s)亦有 常態分佈, 期望值及變異數分別為 E(X(s)|X(t) = a) = as/t, (15) V ar(X(s)|X(t) = a) = s(t−s)/t。 (16) 由 (16) 得知給定X(t) = a,X(s)之條 件變異數與a無關。 若令s/t = α, 0 < α < 1, 則給定X(t),X(s)之條件分佈有期 望值為αX(t)變異數為 α(1 − α)t之常態分 佈。 由 (13) 可得X(t1), . . . , X(tn)有多變 量常態分佈, 因此標準布朗運動過程為一高 斯過程 (Gaussian process)。 高斯過程之定 義為 定義2: 設有一隨機過程{X(t), t ≥ 0}, 若對任意n > 1及0 < t1 < · · · < tn,X(t1), . . . , X(tn)有n變量之常態 分佈, 則{X (t), t ≥ 0}稱為高斯過程。 由於多變量常態分佈可由邊際期望值及 共變異數的值所決定, 因此標準布朗運動也 可定義為一高斯過程, 期望值為E(X(t)) = 0, 且對∀s ≤ t Cov(X(s), X(t)) = Cov(X(s), X(s)) +Cov(X(s), X(t)−X(s)) = s, 其中最後一等式用到V ar(X(s)) = s及獨立 增量的性質。 定理2: 一高斯過程 {X(t), t ≥ 0} 為 標準布朗運動, 若且唯若 E(X(t)) = 0且 Cov(X(s),X(t)) = min{s, t},∀s, t ≥ 0。 系理1: 若{X(t), t ≥ 0} 為 偏差為µ, 擴散係數為σ2之布朗運動 , 則Cov(X(s), X(t)) = σ2 min{s, t}。 6 數學傳播 十六卷四期 民81年12月 參考文獻 布朗運動發展至今, 此過程及它的各種推 廣, 在許多領域諸如經濟學、 交換理論 (commu- nication theory)、 生物學、 管理科學、 數理統計 及量子力學中都有廣泛的應用。 Karlin and Taylor (1975) Chapter 7 對布朗運動做了很詳盡的介紹, 本文很多題材取 自該處。 Karlin and Taylor (1980) Chap- ter 15 也有許多關於布朗運動之例子及應用。 Le´vy(1954) 一書中有關布朗運動的章節不論在 觀念及結果方面都非常豐富。 Itoˆ and McKean (1965) 及 Freedman (1971) 是兩本較深但也 很重要的書。 李育嘉 (民國74年) 及謝南瑞 (民 國81年) 也是兩篇值得參考的相關著作。 1. Breiman, L. (1968), Probability, Addison-Wesley, Reading, Mass. 2. Bachelier, L. (1900), The´orie de la spe´cul- ation, Ann. E´c. Norm. Sup. s.3 17, 21-86. 3. Einstein, A. (1905), U¨ber die von der molekularkinetischen Theo- rie der W¨arme geforderte Bewegung von in ruhenden Flu¨ssigkeiten suspendierten Teilchen, Ann. Phys., 17. 4. Itoˆ, K. and McKean, H. P. Jr. (1965), Diffusion Processes and Their Sample Paths, Springer-Verlag, Berlin. 5. Karlin, S. and Taylor, H. M. (1975), A First Course in Stochastic Processes, 2nd ed., Academic Press, New York. 6. Karlin, S. and Taylor, H. M. (1980), A Second Course in Stochastic Pro- cesses, Academic Press, New York. 7. Le´vy, P. (1954), The´orie de l’Addition des Variables Ale´atoires, 2nd ed., Ganthier-Villars, Paris. 8. Paley, R., Wiener, N., and Zygmund, A. (1933), Note on random functions, Math. Zeit., 37, 647-688. 9. Wiener, N. (1923), Differential space, J. Math. Phys., 2, 131-174. 10. Young, G. S. (1958), The linear func- tional equation, Amer. Math. Month. 65, 37-38. 11. 李育嘉 (民國74年), 漫談布朗運動, 數學 傳播, 第9卷第3期,22-31。 12. 謝南瑞 (民國81年), 若干機率論與分析學 的關連與互動, 數學傳播第16卷第4期。 —本文作者任教於國立中山大學 應用數學系—