渐变折射率波导表面折射率的确定

文章编号 : 025322239 (2005) 02216124 渐变折射率波导表面折射率的确定 3 付国兰1 ,2 　曹庄琪1 　丁 　渊1 　朱海东1 　沈启舜1 　刘三秋3 1 上海交通大学物理系 , 上海 200240 2 江西师范大学物理与通信电子学院 , 南昌 330027 3 南昌大学理学院 , 南昌 330047 摘要 : 　单调变化的渐变折射率波导的表面折射率大于波导基模的有效折射率 ,因而不能用传统的 m2线方法测 量。利用分析转移矩阵 (A TM)方法研究了渐变折射率波导中的表面等离子波 ,提出了一种确定波导近表面折射 率的实验技术 ,在波导折射率分布的拟合中 ,得到了比传统逆 W KB 方法更为合理的结果。 关键词 : 　导波光学 ; 折射率分布 ; 分析转移矩阵方法 ; 表面等离子波 ; 渐变折射率波导 中图分类号 : TN491 　　　文献标识码 : A 　3 国家自然科学基金 (60237010)资助课题。 作者简介 : 付国兰 (1978～) ,女 ,江西樟树人 ,硕士研究生 ,主要从事导波光学的研究。E2mail : guolanfu @yahoo . com. cn。 收稿日期 : 2004204213 ; 收到修改稿日期 : 2004206224 Det e r mi n a t i o n of S u rf ace I n dex of Gr a ded2I n dex Wa veg ui des Fu Guolan1 ,2 　Cao Zhuangqi1 　Ding Yuan1 　Zhu Haidong1 　Shen Qishun1 　Liu Sanqiu3 1 Dep a r t men t of Physics , S ha nghai J i aotong U niversi t y , S ha nghai 200240 2 Ins t i t u te of Physics a n d Com m u nica t ion a n d Elect ronics , J i a ngxi Nor m al U niversi t y , Na ncha ng 330027 3 School of Science , Na ncha ng U niversi t y , Na ncha ng 330047 Abs t r act : 　Surface ref ractive index of a monotonously graded2index waveguide , which is greater than the effective index of the fundamental mode and cannot be measured in conventional m2line spect roscopy , is experimentally dete rmined by employing the surface plasma wave (SPW) resonance technique based on analytical t ransfe r mat rix (A TM) method. The index p rofiles p redicted are more accurate than those obtained by the conventional inverse WKB (Wentzel , Kramers , Brillouin) method. Key w or ds : 　guided wave op tics ; ref ractive index p rofile ; analytical t ransfer mat rix (A TM) method ; surface plasma wave ; graded2index waveguides 1 　引　　言 渐变折射率平板波导由于其低成本和低损耗的 特性 ,在光电子器件和集成光学中具有日益重要的 应用前景[1 ] 。由于光波导的折射率分布决定了波导 器件的传输特性 ,并对波导器件的设计有着重要的 指导意义 ,因此精确确定波导的折射率分布始终是 导波光学的重要任务之一。确定波导折射分布的主 要技术是逆 W KB ( Wentzel , Kramers , Brillouin)方 法[2 ] ,由于其具有物理意义清晰、分析简单的特点 , 该方法获得了广泛的应用。但由 m2线技术测到的 波导基模的有效折射率所对应的位置 ,通常离波导 表面还有相当的距离。如何确定波导表面的折射率 对折射率分布的确定具有关键的作用。在逆 W KB 方法中 ,有光滑过渡法及最小三角形面积法[2 ] 。也 有用有效折射率和模序数的连续函数外推来得到波 导表面的折射率[ 3 ] 。由于没有实验基础 ,这些数学 方法得到的结果有相对高的自由度。因而影响了折 射率分布的精确测定。 本文提出在波导表面蒸镀一层金属薄膜 (金或 银) ,通过激发金属波导界面上的表面等离子波 (SPW) [4 ] 来获取波导近表面折射率的信息。利用 分析转移矩阵[ 5 ,6 ] 计算了指数、慢变费米和快变费 米三类典型分布的波导 ,表明这种方法是十分有效 的。在此基础上 ,用银离子交换波导进行了实验 ,并 第 25 卷 　第 2 期 2005 年 2 月 　 　　　　　　　　　　　 光 　学 　学 　报 AC TA OP TICA SIN ICA 　　　　　　　 　 　　　　 Vol. 25 ,No. 2 February , 2005 用逆分析转移矩阵方法[7 ] 和逆 W KB 方法对其折射 率进行了拟合。实验结果表明 :逆 W KB 方法对表 面折射率的确定有很大的偏差。 2 　渐变折射率波导的近表面折射率 考虑如图 1 所示的金属覆盖渐变折射率光波 导。其中ε0 和ε∞ 分别是波导表面和衬底的介电系 数 ,εc 是金属 (金或银) 覆盖层介电系数的实部。在可 见与近红外波段 ,金或银介电系数的虚部远小于其 实部的绝对值 ,因此 ,表面等离子波的共振角仅与金 属介电系数的实部有关 ,虚部只影响波导的损耗特 性 ,所以在计算中我们忽略了金属介电系数的虚部。 一般来说 ,表面等离子波的有效折射率大于波导的 表面折射率 ,所以在波导内部没有转折点。为利用矩 阵方法分析 ,我们把 (0 , x s ) 区域分成厚度为 h的 l 层 薄膜 ,其中 x s 为截断点 ,并假设ε( x ≥xs ) =εs 。截断 点的选取由所要求的精确度决定 ,精确度要求高 ,截 断点则尽量远离表面 ,反之 ,则可离表面近些。 图 1 渐变波导介电常量分布示意图 Fig. 1 Plot of a graded2index waveguide′s dielect ric constant p rofile 根据分析转移矩阵方法 ,表面等离子波的色散 方程为 - Pc εc 1 ∏ l i = 0 M i 1 - Ps /εs = 0 , (1) 式中 Pc , Ps 分别为 ( x < 0) 和 ( x > x s ) 区域迅衰场 的衰减系数。 Pc = (β2 - k20εc ) 1/ 2 , 　Ps = (β2 - k20εs ) 1/ 2 , (2) M i = co sh (αi h) - εiαi sinh (αi h) - αi εi sinh (αi h) cosh (αi h) , αi = [β2 - k20ε( x i ) ]1/ 2 , (3) β为表面等离子波的传播常量 , k0 = 2π/λ为真空波 数 ,λ为真空中的光波长。 (1) 式通过化简可得 - Pc εc 1 1 - Pt /ε0 = 0 , (4) 等效衰减系数 Pt 可通过下式求出 Pt = P0 , Pi =αi εi εi+1 Pi+1 αi cosh (αi h) + sinh (αi h) εi εi+1 Pi+1 αi sinh (αi h) + cosh (αi h) , 　　( i = 0 ,1 ,2 , ⋯, l) Pl+1 = Ps , (5) Pt 可由一个等效介电系数εeq 来表征 ,其定义式为 Pt = (β2 - k20εeq ) 1/ 2 , (6) (4) 式可进一步化简为 ε0 Pc +εc Pt = 0 , (7) 把 (2)式和 (6)式代入 (7)式 ,我们可得到 β k0 = ε2cεeq - εcε20 ε2c - ε20 . (8) 　　如果已知波导的折射率分布 n( x) 和金属介电 系数的实部εc ,从 (5) 式、(6) 式和 (8) 式中就可以获 得渐变折射率波导的等效折射率 neq = εeq 。 下面我们以一些实例来计算波导的等效折射 率 ,在计算过程中 ,采用的波长为832 nm ,金属介电 系数的实部为 - 30 , x 的单位为μm。考虑以下几种 折射率分布 : 1) 指数折射率分布 n( x) = 1. 512000 + 0. 1exp ( - x/ 3 . 0) 2) 慢变费米折射率分布 n( x) = 1 . 512000 + 0 . 1 1 - exp ( - 2. 0) + exp [ ( x - 3 . 0) / 1 . 5 ] 　　3) 快变费米折射率分布 n( x) = 1 . 512000 + 0 . 100 1 - exp ( - 10. 0) + exp [ ( x - 4 . 0) / 0 . 4 ] . 　　上述三种分布的表面折射率相同 , 都为 1. 612000 ,计算所得的波导等效折射率分别为 : 1. 607011 ,1. 610483 和 1. 611997 ,如图 2 所示。从 图 2可以看出 ,等效折射率比任何导模的有效折射 率都更接近于波导的表面折射率。这三种典型折射 率分布的等效折射率距离表面的深度都为0. 2个波 长左右 ,而基模有效折射率的深度一般都在 2 个波 长以上。因此 ,利用表面等离子波采集波导表面附 近的信息是有效的。 261 　　　　　　光 　　　学 　　　学 　　　报 　　　　　　　　　　　　　　　　　　25 卷 　 图 2 指数分布波导 (a) ,慢变费米分布波导 (b) ,快变费米分布波导 (c)的等效折射率与导模有效折射率的比较 Fig. 2 Comparison of the obtained equivalent ref ractive index with the guided modes′effective indexes in exponential index profile (a) , slow changing Fermi index profile (b) and fast changing Fermi index profile (c) 　　而在实际的计算中 ,由于波导的折射率分布是 不知道的 ,不能直接运用 (8) 式。但根据上面的例 子 ,可令 ε0 =εeq , (9) 代入 (8)式 ,可得 β k0 = εcεeq εc +εeq , (10) 上式为处于介电系数分别为εc 和εeq 的金属层与介 质界面处的表面等离子波的色散方程。也就是说 ,在 计算过程中 ,渐变折射率波导是看作有着等效介电 系数εeq 的均匀介质。 这种近似的精确度很高。对于上述三个例子 ,用 方程 (10) 计算得到的等效折射率分别为1 . 606992 , 1 . 610481 和1 . 611997。可见近似 (9) 式引起的误差 很小 ,与实验测量误差相比可以忽略不计。 因此 ,在实际的计算中 ,如果表面等离子波的传 播常数β和金属介电系数的实部εc 已知 ,由 (10) 式 就可以很方便地确定波导的等效折射率。 3 　确定波导的表面折射率 由于波导等效折射率与表面折射率非常接近 , 所以对确定波导折射率分布是十分有用的。下面我 们用等效折射率和导模的有效折射率来确定波导的 表面折射率和波导的折射率分布。主要步骤如下 : 1) 测量在波导中激发的表面等离子波和导模 的有效折射率。 2) 利用表面等离子波的有效折射率 ,由 (10) 式 得到等效折射率 neq 。 3) 在 neq的基础上假定一个初始的表面折射率 n0 ( n0 > neq ) ,通过逆 W KB 方法确定折射率分布 n( x) 。 4) 把 n( x) 代入 (5) 式、(6) 式、(10) 式中 ,计算 得到一个新的近表面折射率 ′n eq 并计算 δ = ( neq - ′n eq) 。 5) 令 n0 = n0 +δ重复步骤 2) ,可以得到新的折 射率分布 n( x) 。 6) 重复步骤 4) 和步骤 5) ,直到δ→0 ,这时就得 到了波导的表面折射率 n0 和波导的折射率分布 n( x) 。 在这种方法中 ,表面折射率 n0 是由实验上来确 定的并且是唯一的。而在逆 W KB 方法中 , n0 是由 数学方法决定的 ,并且会由于标准的不同而不同。 在那些近表面附近的折射率分布变化不是很快的渐 变波导中 ,我们完全可以令 n0 = neq ,这样 ,在确定波 导的折射率分布时 ,只需前面三个步骤即可。 4 　实　　验 为了从实验上验证上述方法 ,我们在 342 ℃的 温度下用 B K27 玻璃制备了两个 Ag + - Na + 离子交 换波导。因为金属的介电系数会随着温度、压力以 及厚度等条件的变化而变化[8 ] ,而等效折射率很大 程度上取决于金属介电系数的实部。所以为了得到 波导的等效折射率 ,用溅射的方法同时在两个波导 表面和一个玻璃片表面镀上了厚度为51 nm的金 膜。使用832 nm的波长 ,首先测量玻璃片中激发的 表面等离子波的传播常量 ,从中可以计算得到金属 的介电系数[9 ] ,εc = - 27. 47170。然后再测量两波 导的表面等离子波以及两波导 TE 模的有效折射 率 ,第一个波导有 4 个 TE 导模 ,标记为 A ,而第二 个波导有 3 个 TE 导模 ,标记为 B。再利用方程 (10)计算波导的近表面折射率 ,采用上述步骤计算 了波导的表面折射率及其折射率分布。所有的数据 都列在表 1 中。图 3 是根据本文提出的方法和传统 逆 W KB 方法得到的波导的折射率分布 ,从中可以 3612 期 　　　　　　　　　　　　　　付国兰等 : 　渐变折射率波导表面折射率的确定 　　　　 看出 ,两种方法得到近表面区域的折射率分布的差 别比较大 ,而在远离表面时却相差不大。对于逆 W KB 方法 ,使用两种不同的数学标准得到的折射 率分布在表面附近的结果是不一样的。而用本文提 出的方法可通过实验测定波导的等效折射率 ,所以 可以避免这种不确定性。 表 1 两波导的等效折射率和导模的有效折射率及算得的表面折射率 Table 1 The measured equivalent indexes and the guided mode′s effective indexes and the calculated surface indexes of the two waveguides Waveguide A Waveguide B n0 neq TE0 TE1 TE2 TE3 n0 neq TE0 TE1 TE2 1. 54906 1. 54775 1. 54354 1. 53296 1. 52249 1. 51914 1. 54398 1. 54238 1. 53612 1. 52294 1. 51098 图 3 本文方法和传统逆 W KB 方法得到的波导 A (a)和 B (b)的折射率分布图 Fig. 3 The index profile of the waveguide A (a) and B (b) constructed by our method and by the conventional inverse WKB 5 　结　　论 本文介绍了一种从实验上确定渐变折射率平板 波导的近表面折射率的方法 ,以及利用近表面折射 率来确定波导的表面折射率以及波导的折射率分布 的方法 ,这个方法能有效地解决传统逆 W KB 方法 在确定波导表面折射率时存在的高自由度问题 ,因 而可以得到更为精确的结果。 参 考 文 献 1 Ramaswamy R. 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