平面向量：向量在高中数学中的运用

学术研究 2011 年第 12 期 中高考聚焦 向量是课本中新增知识的一部 分， 它作为现代数学重要标志之一引入了中 学数学。 但由于向量概念的抽象，公式的相对 孤立， 特别是讲完向量后大部分同学在做题 目时很少会用到向量， 从而使向量成为一个 十分有限的解题工具。 平面向量具有几何形 式和代数形式的双重身份， 能够把向量的非 坐标公式和坐标公式进行有机结合， 在解题 时我们特别需要注意 “数 ”与 “形 ”的相互转 换。 而纵观近几年的高考我们发现有许多高 考题都会用到向量， 并且应用向量还能简化 解题步骤，不失为一种简单、实用的方法。 下 面我们就举例说明， 向量在数学的不同领域 的应用。 一、向量在不等式中的运用 例1：已知：x+y+z=1，求x2+y2+z2≥ 13 。 解 ： 设m軖=（1，1，1）， n軋=（x，y，z）， 则 |m軖 |= 3姨 ，|n軋|= x2+y2+z2姨 ，m軖·n軋≤|m軖||n軋|，即m軖·n軋=x+ y+z≤ 3姨 x2+y2+z2姨 ，又x+y+z=1，故得x2+y2+ z2≥ 13 。 例2：已知x1，x2，y1，y2∈R，求证(x1x2+y1y2)2≤ (x12+y12)(x22+y22)。 解 ：设m軖=（x1,y1），n軋=（x2,y2），则m軖·n軋=x1x2+ y1y2，由 |m軖·n軋 |≤|m軖 ||n軋 |，得 (x1x2+y1y2)≤ x12+y12姨 x22+y22姨 ，即(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)。 例3：已知m，n，x，y∈R，a，b∈R＋且m2+n2= a，x2+y2=b，求mx+ny的最大值。 解：设S軋=（m，n），L軋=（x，y），则|S軋|= a姨 ，|L軋|= b姨 ， 由S軋·L軋=mx+ny= a姨 b姨 cosθ≤ ab姨 ， 得mx+ny的最大值为 ab姨 。 二、向量构造法求值域 例1：已知 f(x)= 1-x姨 + 1+x姨 ，求 f (x)的 值域。 解：设m軖=( 1-x姨 , 1+x姨 )，n軋=（1，1），-1≤ x≤1，则|m軖|= 2姨 ，|n軋|= 2姨 ，设θ为m軖，n軋所成的 夹角，0≤θ≤ π4 ，则m軖·n軋= 1-x姨 + 1+x姨 =|m軖||n軋| cosθ，即 1-x姨 + 1+x姨 =2cosθ，θ∈[0, π4 ] ，又因 为 cosθ∈[ 2姨2 ,1] ， 故 得 2姨 ≤ 1-x姨 + 1+x姨 ≤2。 例2：已知y= 3x姨 + 1-x姨 ，求f(x)的值域。 解 ：设m軖=( x姨 , 1-x姨 )，n軋=（ 3姨 ，1）， 则 |m軖|=1，|n軋 |=2，设θ为m軖，n軋所成的夹角，0≤θ≤ π 3 ，则m軖·n軋= 3x姨 + 1-x姨 =|m軖||n軋|cosθ，得 3x姨 + 1-x姨 =2cosθ， 因为 12 ≤cosθ≤1 ， 所以1≤ 3x姨 + 1-x姨 ≤2。 三、向量在三角中的运用 例1：求证：cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ。 证明：设a軆=(cosα，sinα)，b軋=(cosβ，sinβ)，|a軆 |= |b軋|=1，a軆与b軋的夹角(α-β)，则a軆·b軋=cosα cosβ+sinα sinβ=|a軆 ||b軋|cos(α-β)=cos(α-β)。 例2： 已知 cosA-cosB= 12 ，sinA-sinB=- 1 3 ，求cos（A-B）。 解：因为cos（A-B）=cosAcosB+ sinAsinB， 故可设m軖=（cosA，sinA），n軋=（cosB，sinB），则|m軖|= 1，|n軋|=1，m軖-n軋=（cosA-cosB，sinA-sinB）=（ 12 ，- 1 3 ），|m軖-n軋|2= 14 + 1 9 =1+1-2m 軖·n軋= 1336 ，解得m軖·n軋 = 5972 ，故cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=m軖·n軋= 59 72 。 四、向量在平面几何中的应用 求证：三角形的三条高交于一点。 A B C D EH 证明：已知三角形ABC，且有AD⊥BC于D， BE⊥AC于E，AD、BE交于H， 由AMOH·BOC=0，得 (COH-COA)·BOC=0 ，COH·BOC-COA·BOC=0 ①，由BOH ⊥AOC，得(COH-COB)·AOC=0，COH·AOC-COB·AOC=0②， 由①-②得， COH·(BOC-AOC)=0， 即COH·AOB=0，故 CH⊥AB，三角形ABC的三条高交于一点。 五、向量在解析几何的运用 例1：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆 上一点M（x0,y0）的切线方程。 解析：设P(x，y)是切线上任意一点，圆心为 O（0，0），则OMOM⊥MMOP，OMOM·MMOP=0即有 （x0,y0）· (x-x0,y-y0)=0，x0(x-x0)+y0(y-y0)=0，亦即x0x+y0y= x02+y02，因为点（x0,y0）在x2+y2=r2上，所以x0x+y0y= r2， 即过圆x2+y2=r2上一点M（x0,y0）的切线方程 为x0x+y0y=r2。 例2：过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线 与抛物线相交于A、B两点，自A、B两准线作垂 线，垂足分别为A′、B′，求证：∠A′FB′=90°。 解析：易知抛物线的焦点F( p2 ,0) ，设A、B 两点的纵坐标分别为y1,y2， 由结论知y1y2=-p2， 又A′(- p2 ,y1),B′(- p 2 ,y2) ，则FAMO′=(-p,y1)，FBMO′=(-p，y2） 故FAMO′·FBMO′=p2+y1y2=p2-p2=0， 则FAMO′⊥FBMO′，即 ∠A′FB′=90°。 例3：已知椭圆 x 2 9 + y2 4 =1 的焦点为F1、F2，点 P为其上动点。问：当∠F1PF2为钝角时，点P横坐 标的取值范围？ 解：易知椭圆的焦点坐标为F1(- 5姨 ,0)、 F2( 5姨 ,0)。设点P（x，y），则由向量内积的定义 知，∠F1PF2为钝角的充要条件是PF1MO·PF2MO＜0。 ∵PF1MO=（- 5姨 -x，0-y）,PF2MO=（ 5姨 -x，0-y）， ∴（- 5姨 -x)（ 5姨 -x)+(-y)(-y)＜0， ∴x2-5+y2＜0。 又∵ x 2 9 + y2 4 =1 ，代入上式， 解得- 3 5姨 ＜x＜ 3 5姨 。 例4：已知点C坐标为 (0，1)，A、B是抛物线 y=x2上不同于原点O点的相异的两个动点，且 OOA·OOB=0，求证：AC∥AB。 解：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，其中x1≠0，x2≠0， x1≠x2，由OOA·OOB=0，得x1x2+x12x22=0，x1≠0，x2≠ 0，x1x2=-1。 因为AOC=(-x1，1-x12)， BOC=(-x2，1- x22)，得(-x1)(1-x22)-(-x2)(1-x12)=(x2-x1)+x1x2(x2-x1) =(x2-x1)-(x2-x1)=0，所以AOC∥BOC，即AC∥AB。 综上所述，向量作为一种既有大小，又有 方向的量，既具有形的特性，又有数的特性，因 而成为联系数和形的有力纽带。 我们发现，向 量已经成为函数、三角、数列、不等式许多重要 内容的交汇点，在解题时，我们可以通过构造 向量处理许多代数问题。 （责编 张晶晶） 向量在高中数学中的运用 郭士华 （江西省白鹭洲中学 343000） 184