电路方程的求解

null2.3 电路方程的求解 2.3 电路方程的求解 求解方程组的根时，计算方法的优劣直接关 系到是否能求出所需的解，求解过程的快慢及解 的精度，也关系到能否用较少的内存完成较复杂 的计算。 常用的方法有： 直接解法—高斯消去法 迭代法 2.3.1 线性方程组的求解 一 高斯消去法 一 高斯消去法 基本思想： 对一个线性方程组作行变换（交换方程组 任意两行的顺序；方程组任意一行乘于一个非零 数；方程组任意一行减去另一行的倍数），得到 新的方程组与原方程组等价，因此同解。 高斯消去法就是反复运用上述运算，按主对 角线元素逐次消去未知量，将方程组化为上三角 方程组，这个过程称为“消元过程”；然后逐一求 解该上三角方程组，得到方程组的解，这个过程 称为“回代过程”。 null线性代数方程组示为：A的增广矩阵为：消去过程消去过程第一步：首先用 除 中第一行所有元素，使之归一化，然后对下面(n–1)行中的第i行分别用 乘第一行再与第i行相加，以消去第一列中的其余元素，此时 变为： ， , ; 第二步：设 ，则用 除 中第二行所有元素，使之归一化，然后对下面(n–2)行中的第i行分别用 乘第二行再与第i行相加，以消去第二列中的其余元素，此时 变为： 第二步：设 ，则用 除 中第二行所有元素，使之归一化，然后对下面(n–2)行中的第i行分别用 乘第二行再与第i行相加，以消去第二列中的其余元素，此时 变为： 如此，一直进行到第n步。第n步的结果为: 如此，一直进行到第n步。第n步的结果为: 第k步，是对矩阵 进行下列运算： 反向回代过程反向回代过程例1 用高斯消去法求解方程组例1 用高斯消去法求解方程组nullnull由 可得：于是有上述高斯消去法，在实际使用中存在两个问题： 上述高斯消去法，在实际使用中存在两个问题： 一是在上面的讨论中，事实上是假设 ，并以之为主元完成消去过程的。但是，如果出现 的情况，即使原方程存在唯一解，消去过程也会归于失败。显然，只要将方程的次序或变量的排列次序对调一下问题就能得到解决。 二是计算精度问题。即使主元不为0，但 ，用它作除数，会导致其他元素数量级严重增加，从而引起较大的舍入误差，由于这些误差的传播和积累，而使计算精度降低，甚至导致错误的结果。 解决方法：对调方程的次序或变量的排列解决方法：对调方程的次序或变量的排列方法： 列主元消去法 行主元消去法 全主元消去法 例2 用高斯消去法求解方程组例2 用高斯消去法求解方程组解1. 直接消去解得：解2. 选主元消去解得：例3 用高斯消去法求A的逆阵A-1例3 用高斯消去法求A的逆阵A-1解:二. 迭代法 二. 迭代法 基本思想： 对线性方程组 ，当A非奇异， ，则可构造等 价的方程组 。任取 作为X的近似解，使用 迭代公式 。若有 ，则 为方 程组的解。 根据B，f 的不同构造方法，可分为简单迭代（雅可比迭代）、塞德尔迭代、逐次超松弛法等。注：并非所有线性方程组都可采用迭代法求解，只有迭代序列{x(k)}收敛才行。1. 简单迭代法1. 简单迭代法例：解：由以上三式可分别替换出则可得迭代公式：取初始向量X(0)=(0,0,0)T,可得迭代序列：取初始向量X(0)=(0,0,0)T,可得迭代序列：则可得解X=(0.9995, 1.9995, 2.9992)T2. 塞德尔迭代法2. 塞德尔迭代法例：解：采用迭代公式程序图：程序：2.3.2 方程求根 2.3.2 方程求根 求方程f(x)=0的根，当f(x)较为复杂时，无解析解，只能求出方程的近似根。常用的方法有：对分法、迭代法、牛顿法等。一. 区间二分法一. 区间二分法 基本原理 : 若 f(x) 在[a,b]上连续且单调，f(a)·f(b)<0 ，则根据连续 函数的中值定理，f(x)=0在(a,b)有惟一根ξ。 编程过程 : 1. 令x0=(a+b)/2，计算f(x0); 2. 若f(x0)=0，则x0为所求的根，输出ξ=x0； 若f(a)· f(x0)<0，则令a=a, b=x0; 若f(a)· f(x0)>0，则令a=x0, b=b; 3. 若b-a≤ε(ε为预先给定的精度要求)，输出ξ=（a+b）/2。 nullabξx0x1x2xf(x)二 牛顿-拉夫森法（简称N-R法) 二 牛顿-拉夫森法（简称N-R法) 4）若经k+1次修正得到了方程的解 4）若经k+1次修正得到了方程的解 N-R法的几何意义 N-R法的几何意义 2.3.3 一阶微分方程的求解问题2.3.3 一阶微分方程的求解问题 一阶微分方程的求解可归结为在给定初始条件下， 求微分方程的初值问题 当两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商 取代一阶导数 一.前向欧拉法 其近似值为： 前向欧拉法的几何意义：前向欧拉法的几何意义： 例. 应用前向欧拉法解初值问题例. 应用前向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据前向欧拉法又有：微分方程 是一阶线性微分方程， 可求出其通解： 微分方程 是一阶线性微分方程， 可求出其通解： 则方程的解为： 从而有： 计算结果列表（ 为前向欧拉法计算近似值， 为精确值）计算结果列表（ 为前向欧拉法计算近似值， 为精确值）分析：分析：当步长不是很小时，前向欧拉法的精度不 是很高。步长取定后，步数越多，误差越 大。 由于前向欧拉法舍弃一阶导数以后诸项， 造成的截断误差是 的数量级，故称为 二阶精度。二、后向欧拉法二、后向欧拉法用一阶差商近似代替 在一个步长终点的一阶导数，则原微分方程化为：其近似值： 后向欧拉法的几何意义：后向欧拉法的几何意义：在任一步长内，用一段直线 代替函数 的曲线，此直 线段的斜率等于该函数在该 步长终点的斜率。 例. 应用后向欧拉法解初值问题例. 应用后向欧拉法解初值问题取步长h=0.1，并把计算结果与精确解比较解：据后向欧拉法又计算结果列表（ 为后向欧拉法计算近似值， 为精确值）计算结果列表（ 为后向欧拉法计算近似值， 为精确值）三. 梯形法三. 梯形法 求一阶微分方程数值解的前向、后向欧拉法的共 同之处是二者均系一阶近似算法，即在任一步长内， 用一段直线代替未知函数的曲线，此直线段的斜率或 等于该函数曲线在该步长起点的斜率，或等于该函数 曲线在该步长终点的斜率。 不难看出，如果在任一步长内，取函数曲线在该 步长起点和终点的斜率平均值代替未知函数曲线的直 线段的斜率，则待求数值解的误差将显著减小。基于 这一指导思想得到的一阶微分方程的数值解法称为梯 形法。一阶微分方程的求解问题：一阶微分方程的求解问题：用一阶差商近似地代替函数在一个步长起点和终点的 一阶导数的平均值 梯形公式 （欧拉中点公式）近似值：null显然，梯形公式是隐式法，一般求 需要解方程，常采用迭代法，初值由显式的欧拉公式给出：然后将 替代梯形公式等式右边出现的一般迭代公式为：null称梯形公式的预估校正法当步长h足够小，且由前向欧拉法计算的 已是较好的近似，则迭代一、二次即可例 用欧拉公式和梯形公式的预估校正法计算:例 用欧拉公式和梯形公式的预估校正法计算:的数值解，取h=0.1，梯形公式只迭代一次。解：欧拉公式为：梯形公式为：（只校正一次）null梯形递推公式是取泰勒展开式前三项所构成的线性近似 表达式，其截断误差为 数量级。故其精度是三阶的。 四、龙格－库塔法（R－K法）四、龙格－库塔法（R－K法）前向欧拉法为显式的一步法，使用方便，但精度 较低其精度取决于 。如能改变该函数，就 可能提高公式的精度。龙格－库塔法就是对它 的改进null为选择函数以上方法称为p阶R－K法 显然，前向欧拉法为一阶R-K法