计算方法_6

nullnull上次课主要讲述了1. Gauss公式和Legendre多项式两点Gauss公式一点Guass公式（中矩形公式）null2.数值微分的中点方法以及Richardson外推法三点Gauss公式null第四章 方程求根的迭代法的根。的根。许多实际工作中常常会遇到求非线性方程的问题。求n 次代数方程：求超越方程的根，如求这些都现为求方程 f (x)=0 的根，或称为求函数 f (x) 的零点。null方程的根可能是实数，也可能是复数。根的个数有的是有限多个，有的是无限多个。我们主要讨论方程在某个范围内的一个实根，使用的方法是迭代法。迭代法分两步: 提供根的某个猜测值，即迭代初值。 将迭代初值逐步加工成满足精度要求的根。null第一节 迭代原理我们称 为迭代函数，例如我们可以取 当 x0 给定以后，用上述公式可以算出 x1 ，再由 x1 算出 x2 …，这样计算出一个数列 { xn}。1. 迭代法的基本思想若给定方程 f (x)=0 以后，我们改写成下面等价形式迭代公式为null则有表明它是方程 f (x)=0 的根。如果数列 { xn} 收敛，设迭代的基本思想是将隐式方程 的求根问题归结为计算一组显式公式 迭代过程是一个逐步显式化的过程。 例1：求 的唯一的正根。 解： 因为多项式是连续函数，用1和2代入左边 得到 -1 和 5 ，显然区间[1,2]含有方程的一个根。 我们将方程改写成 null 初值可以从区间[1,2]中任意选取，通常取中点 x0=1.5。迭代结果如下表所示nully=x x2 x1 x0左边收敛的，右边是发散的。显然收敛性是问题的关键。y=x x0 x1 null假设 x* 是方程 的根，则由微分中值定理有其中 是 x* 和 xk 之间的某一点。2. 迭代过程的收敛性如果存在正数 L<1，使得则有故 ，迭代收敛。因此，对迭代误差 ek= | x*-xk | 有 ek Lk e0，null则迭代过程 对任意的初值 均收敛于方程 的根 x*。在上述推理中，还要求 ，因此 假设 在 [a,b] 上有连续的一阶导数, 而且1)2)定理1null并且有下列估计式nullC语言程序的主体是： int xxxxxx(double x0, double e, int N, double (*F)( ), double *x ) { double x1; int k; for (k=1; k<=N; k++, x0=x1) { x1=F(x0); if (fabs(x1-x0)流程

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