计算方法_9

nullnull上节课主要讲述了特别是对角占优方程组收敛。以及线性方程组求解两种消去法1. Jordan消去法2. Gauss消去法3. 避免Gauss消去法中除数为零的选主元法。迭代法收敛条件是迭代矩阵G满足 ||G||<1。 null第二节 追赶法1. 三对角方程组考查方程组null它的系数矩阵是称为三对角阵，是稀疏矩阵的一种特殊类型。定理3 若三对角阵为对角占优，那么它是 非奇异的。 （证明略）这个定理说明对应的三对角方程组有唯一解。null2. 追赶法的计算公式 用Gauss消去法解上述方程组。第一步消元过程得到nullnull第二步回代过程是计算量:5n（若考虑重复的计算量，则为4n）null实际编程时，ui、ci可用同一单元，yi、di和xi也可用同一单元。这样追赶法的计算公式可改写为：null据此，追赶法流程图如下: 另外，追赶法实际上是没有选主元的高斯消去法，因此要考虑是否需要选主元的问题。实际上这是完全没有必要的。有理论保证对三对角的对角占优方程组而言，追赶法是行之有效的。null输入n,ai,bi,ci,dic1=c1/b1, d1=d1/b1i=n-1?di=di –ci di+1 i=n-1,n-2,…,1输出d1 ,d2 ,…,dn≠=追赶法框图i=i+1i=2 null表达为 A = LU3. 追赶法的代数基础定理5讲述对角占优的三对角阵可分解为两个二对角阵的积。null那么三对角方程 Ax = d 可以表达为 LUx = d，相当于依次解两个方程组 Ly= d 和 Ux = y。具体的方程形式是这解两个方程组的计算量很小，算法与前面是一致的。null第三节 平方根法平方根法应用于系数矩阵是对称正定方阵的方程组 Ax = b。 1. 平方根法定理6：设 A = (aij)n 是对称正定方阵，那么存 在下三角方阵 L，使得 A = L * LTnull证明:将 A = L*LT 直接展开，比较对应元素得到假设null那么那么方程 Ax = b 可以表达为 LLT x = b，分解成两个三角方程 L y= b 和 LTx = y 的求解。它们的方程组是依次可以解出 l11 , l21 , l22 , l31 , l32 ,…, lnn 。计算公式是null和它们的求解是容易的。但是在计算 L 时开方运算的计算量是比较大的。null2. 改进的平方根法定理7：对称正定方阵 A 可分解为 A = LDLT 的形式。其中null求 L 和 D 的分解公式是计算次序是 d1 , l21 , d2 , l31 , l32 , d3 , …, dn 。方程 Ax = b 改写成 L(DLTx) = b 。方程求解变为两个三角方程 Ly = b , LTx = D-1y 的求解。null和它们的计算公式是这个方法叫Cholesky方法，它的计算量是 n3/6 。最后提醒大家注意数据的误差对解的影响。null和它们的解分别是 x1 = x2 = 1 和 x1 = 2, x2 = 0。例：考查两个线性方程组它们数据差别很小，解的差别很大。这类方程组叫病态的，详细内容见书p188-p190。null这节课主要讲述了两类特殊方程组的解法： 解三对角方程组的追赶法 解系数矩阵是对称正定矩阵的平方根法。作业： 1.追赶法求解 Page198.3 2.用改进的平方根法（Cholesky方法） 求解 Page198.7。