计算方法-3

nullnullAitken插值递推算法其中pn1(x)是由节点x0,x1,…, xn-1, xn构造的 Lagrange插值公式。pn2(x)是由节点x0,x1,…, xn-1, xn+1构造的Lagrange插值公式。等式右 边是由节点x0,x1,…,xn,xn+1得到的Lagrange插 值公式。上次课介绍Aitken插值递推算法、Newton、 Hermite插值公式。nullNewton插值公式是 Hermite插值公式是其中 和 龙格现象在[5, 5]上考察 的 。取大家观察Lagrange插值公式的误差公式想一想：怎样才能减小误差？null n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象分段插值法分段插值法如果在每个子段 上插值多项式都是 k次式，用 表示并称 为具有分划 的分段k次式。所谓分段插值是将插值函数逐段多项式化。 分段插值分两步进行，首先将区间[a,b]作一 分划并在每个子段 上构造插值多项式，然后将它们拼接在一起，作为整个区间[a,b]上的插值函数。我们称它为分段多项式。分段线性插值分段线性插值 从几何上讲，分段线性插值就是用连接插值节点的折线来逼近f(x)。 分段三次Hermite插值分段三次Hermite插值 Lagrange插值逐步线性插值Newton插值龙格现象分段低次插值样条插值样条插值三次样条函数 null 但要保证每个节点处连续且连续的一阶导数和二阶导数，必须附加3(n-1)个约束条件，再加上n+1个插值条件，因此S3(x)的自由度为 4n-3(n-1)-(n+1)=2。 由于它在每个子段都是三次式，所以有4n个待定系数。 我们主要研究三次样条函数。首先分析三次样条函数的自由度，也就是决定三次样条函数所需要的参数个数。 例：null曲线拟合的最小二乘法 插值函数要求每个节点的函数值具有一定的精度。如果个别数据误差很大，插值效果将很不理想。本节处理的问题是已知一批函数值的近似值，构造一条曲线反映数据点的趋势，不一定过这些点。null1. 直线拟合问题：对于给定的数据(xi,yi)，i=1,2,...,N，求一次式y=a+bx，使得误差平方和由微积分中求多元函数极值的方法可知应 满足条件最小。这里需要确定a,b。null通过求偏导得到解二元一次方程组，得到a , b。(42)null解：数据代入上式(42)，得到方程组例： i 1 2 3 4 5 xi 165 123 150 123 141 yi 187 126 172 125 148 求拟合的直线方程。解得a=-60.9392，b=1.5138。要求的直线 方程是 y= - 60.9392+1.5138xnull2. 多项式拟合问题：对于给定的数据(xi,yi)，i=1,2,...,N， 求m次多项式其中m<内容

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