计算方法-0

null计算方法引论计算方法引论 提问：计算方法是做什么用的？一.计算方法概况一.计算方法概况1）概念 计算方法是研究用计算机解决各种数学问题的数值计算方法及其理论，又称数值分析。 2）研究对象 计算方法的内容包括数值逼近，数值积分与数值微分，非线性方程（组）数值解，数值线性代数，微分方程数值解等。3.计算方法这门学科的特点3.计算方法这门学科的特点面向计算机。 有可靠的理论分析。 要有好的计算复杂性。 要有数值实验。 算法算法定义 算法就是对一些数据按照某种规定的顺序进行数学运算及逻辑运算的一个运行序列。算法优劣的评判精度工作量（时间花费）占用计算机的存储量（空间花费）逻辑结构是否简单能否充分利用问题本身的特点null算法的重要性线性方程组解法（n阶）A、克莱姆法则 计算行列式相除 每个行列式需要n!(n-1)次乘法 总共要计算(n+1)n!(n-1)次乘法不可行null多项式求值 一般算法：令：则：需2n次乘法null 秦九韶（宋代数学家）算法令：则：需n次乘法null1、误差的来源与分类 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 ) 机器字长有限 —— 舍入误差 二、误差模型误差例题模型误差例题例1　我们用 ，（ 为重力加速度） 来描述物体自由下落时距离与时间的关系．设自由落体在时间 时的实际下落距离为 ，则 　　　　 就是 “模型误差”。观测误差例题观测误差例题例2 设一根铝棒在温度 t 时的实际长度为 ，在 t=0时实际长度为 , 用 来表示铝棒在温度为 t 时的长度计算值，并建立数学模型： ， 其中 是实验观测到的常数： 则称 为“模型误差”, 是 的“观测误差”。 null由泰勒(Taylor)余项定理，截断误差为截断误差截断误差例题舍入误差例题舍入误差例题例4 ， ， 等，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果取小数点后4位数字，则 就是“舍入误差”。误差理论误差理论误差、误差限、有效数字 相对误差与有效数字的联系 算术运算的误差和相对误差 1.误差的概念1.误差的概念 定义1.1 设 为准确值， 为 的一个近似值,称 为 近似值的绝对误差，简称误差。 误差是有量纲的量，量纲同 ，它可正可负，当绝对误差为正时，近似值偏大，叫强近似值；当绝对误差为负时，近似值偏小，则称弱近似值。nullx-x*无法得到，但是若有简称误差限，或精度。定义1.2 绝对误差限：x-----精确值 x*-----近似值绝对误差限例题绝对误差限例题例5 我们用一把毫米刻度的米尺来测量桌子的长度 ，读出的长度 ， 是 的近似值，由于米尺的精度知道，它的误差限为0.5mm，则有 相对误差限相对误差限相对误差也不能准确计算，而是用相对误差限来估计的： 就是相对误差限．当 较小时，可以忽略不 计，所以以后我们就用 表示相对误差限。 相对误差限例题相对误差限例题　　　称两堆苹果，第一堆 10kg ，误差为1kg ；第二堆为 100kg ，误差为 2kg ，虽然后者的误差限比前者大，但不能简单地认为前者精确，还必须注意到该数本身的大小。 相对误差分别为： 　　　显然，称第一堆苹果的相对误差大。null如通常可取3.14，3.1416等，其误差限 为最后一位的半个单位。 如果近似值的误差限是它的某一 位的半个单位，则称从这一位起直到 前面第一个非零数字为止的所有数字 均为有效数字，或称该值“准确”到这 一位。2.有效数字（准确程度） 定义1：若近似数 的误差限不超过某一位的半个单位，且该位直到 的第一位非零数字一共有n位，则称 共有n位有效数字。 定义2：设 的近似数 的标准形式为 其中 ， ， ，且m为整数，即 为十进制规格化浮点数。如果 ， 则称 是 的具有n位有效数字的近似数。 例6 设数x=3.14158265为精确数,问 3.14, 3.14159, 3.141592, 3.1415926, 3.1415927, 3.14159265, 3.1415926500 各具有几位有效数字？ 解：各具有3,6,6,8,8,9,11位有效数字。null相对误差限：若绝对误差限不能反映误差相对近似值 的大小3、相对误差限与有效数字的联系nullnullnull证明：由于故x有n位有效数字。误差限例题分析误差限例题分析例　若 是 的具有六位有效数字的近似值，那么它的误差限是： 若 是 的具有五位有效数字的近似值，则误差限是： null 1、避免两个相近的数相减； 2、避免除数绝对值远小于被除数绝对值 的除法； 3、要防止大数“吃掉”小数； 4、尽可能减少运算次数； 5、要设法控制误差的传播。在近似计算中应该注意的事项第一讲完！ 谢谢大家！ 再见！第一讲完！ 谢谢大家！ 再见！