实验五 连续系统频分析

36 实验五 连续系统的频域分析及连续信号的采样与重构 一、目的 （1）掌握连续系统频率响应概念 （2）掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法 （3）掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法 二、系统的频率响应 设 LTI系统的冲激响应为 )(th ，该系统的激励信号为 )(tf ，则此系统的零状态 )(ty 响 应为 )(*)()( tfthty = （5-1） 又设 )(tf ， )(th ， )(ty 的傅立叶变换分别为 )( wjF ， )( wjH ， )( wjY ，根据时域卷 积定理，与式（5-1）对应的频域关系为： )()()( www jFjHjY = （5-2） 一般地，连续系统的频率响应定义为系统的零状态响应 )(ty 的傅立叶变换 )( wjY 与 激励信号 )(tf 的傅立叶变换 )( wjF 之比，即 )( )( )( w w w jF jY jH = （5-3） 通常， )( wjH 是w的复函数，因此，又可将其写为： )()()( wjww jejHjH = （5-4） 如果令 )()()( wjww yjejYjY = ， )()()( wjww fjejFjF = 则应有： )( )( )( w w w jF jY jH = （5-5） )()()( wjwjwj fy -= （5-6） 称 )( wjH 为系统的幅频特性， )(wj 为系统的相频特性。 需要注意的是， )( wjH 是系统的固有属性，它与激励信号 )(tf 的具体形式无关。求 系统的 )( wjH ，当然可以按照式（5-3）的定义求，但在实际工程中往往是给出具体的 系统图（如具体电路形式），通过电路分析的方法直接求出 )( wjH 。 通常， )( wjH 可示成两个有利多项式 )( wjB 与 )( wjA 的商，即 nn nn mm mm ajajaja bjbjbjb jA jB jH ++++ ++++ == - - - - )()()( )()()( )( )( )( 1 1 21 1 1 21 www www w w w L L （5-7） 二、利用 MATLAB分析系统频响特性 1、分析方法 MATLAB 提供了专门用于连续系统频响 )( wjH 分析的函数 freqs()。该函数可以求 出系统频响的数值解，并可绘出系统的幅频及相频响应曲线。函数 freqs()有如下四种调 用格式： （1）h=freqs(b,a,w) 该调用格式中， b为对应于式（5-7）的向量 ],,,[ 21 mbbb L ，a为对应于式（5-7）的 向量 ],,,[ 21 naaa L ，w为形如 2::1 wpw 的冒号运算定义的系统频率响应的频率范围， 1w 为起始频率， 2w 为终止频率， p为频率取样间隔。向量 h则返回在向量 w所定义的频 率点上系统频响的样值。 37 例如，运行如下命令 a=[1 2 1]; b=[0 1]; h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi) %计算 p2~0 频率范围内的频响样值 则运行结果为： h = Columns 1 through 6 1.0000 0.4800 - 0.6400i 0 - 0.5000i -0.1183 - 0.2840i -0.1200 - 0.1600i -0.0999 - 0.0951i Columns 7 through 12 -0.0800 - 0.0600i -0.0641 - 0.0399i -0.0519 - 0.0277i -0.0426 - 0.0199i -0.0355 - 0.0148i -0.0300 - 0.0113i Column 13 -0.0256 - 0.0088i （2）[h,w]=freqs(b,a) 该调用格式将计算默认频率范围内 200个频率点的系统频率响应的样值，并赋值给 返回变量h，200个频率点记录在w中。 （3）[h,w]=freqs(b,a,n) 该调用格式将计算默认频率范围内n个频率点的系统频率响应的样值，并赋值给返 回变量h，n个频率点记录在w中。 （4）freqs(b,a) 该调用格式并不返回系统频率响应样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响 应和相频响应。例如运行如下命令： a=[1 0.4 1]; b=[1 0 0]; freqs(b,a) 运行结果如图 5-1所示。 图 5-1 对数坐标的系统幅频及相频响应曲线 38 下面通过具体例子说明函数 freqs()求解系统频响的方法 例 5-1：理想低通滤波器在物理上是不可实现的，但传输特性近似于理想特性的电路却 能找到。图 5-2是常见的用 RLC元件构成的二阶低通滤波器（一般说来，阶数越高，实 际滤波器的特性越能接近于理想特性）。设 HL 8.0= ， FC 1.0= ， W= 2R ， 试 用 MATLAB 的 freqs()函数求解该系统频率响 应并绘图。 解：根据原理图，容易写出系统的频率响应 为： R L jLC jH ww w +- = 21 1 )( ，将 L，C， R的 值代入 )( wjH 的表达式，得 )( 2 )( 14.0)(08.0 1 )( wjw ww w jejH jj jH = ++ = 其中： 4208.01 1 )( w w + =jH úû ù êë é - -= 208.01 4.0 arctan)( w w wj 实现求解该系统响应的程序为： b=[0 0 1]; %生成向量 b a=[0.08 0.4 1]; %生成向量 a [h,w]=freqs(b,a,100); %求系统频响特性 h1=abs(h); %求幅频响应 h2=angle(h); %求相频响应 subplot(211); plot(w,h1); grid xlabel('角频率(W)'); ylabel('幅度'); title('H(jw)的幅频特性'); subplot(212); plot(w,h2*180/pi); grid xlabel('角频率(w)'); ylabel('相位(度)'); title('H(jw)的相频特性'); 运行结果如图 5-3所示。 由图 5-3可见，当w从 0开始增大时，该低通滤波器幅度从 1降到 0， cw 约为 3.5； 而 )(wj 从 0°降到-180°，与理论分析结果一致。 L C Re(t) V0(t) 图 5-2 RLC二阶低通滤波器电路图 39 2、实验 图 5-4 所示的电路为最平坦幅度型二阶低通滤波器。试用 MATLAB程序画出系统 响应 )(1 )(2 )( w w w jU jU jH = 的幅度响应及相频响应，并与理论分析的结果进行比较。 )( wjH 的 截止频率 ?0 =w 三、连续信号的采样与重构 1、信号采样 图 5-5给出信号采样原理图 图 5-3 RLC二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性 2 F U1(t) 1Ω 1Ω U2(t) 2 H 图 5-4 二阶低通滤波器电路图 )(tf s )(t sT d )(tf 相乘 图 5-5 信号采样原理图 40 由图 5-5可见， )()()( ttftf sTs d×= ，其中，冲激采样信号 )(t sT d 的表达式为： å ¥ -¥= -= n ssT nTtt )()( dd （5-8） 其傅立叶变换为 å ¥ -¥= - n ss n )( wwdw ，其中 s s T p w 2 = 。设 )( wjF ， )( wjFs 分别为 )(tf ， )(tf s 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得 åå ¥ -¥= ¥ -¥= -=-= n s s n sss njFT njFjF )]([ 1 )(*)( 2 1 )( wwwwdww p w （5-9） 若设 )(tf 是带限信号，带宽为 mw ，由式（5-9）可见， )(tf 经过采样后的频谱 )( wjFs 就是将 )( wjF 在频率轴上搬移至 LL ,,,,,0 2 nsss www ±±± 处（幅度为原频谱的 sT1 倍）。因此， 当 ms ww 2³ 时，频谱不发生混叠；而当 ms ww 2< 时，频谱发生混叠。 应该指出的是，实际信号中，绝大多数都不是严格意义上的带限信号，这时根据实 际精度来确定信号的带宽 mw 。 例 5-2：当采样频率 ms ww 2= 时，称为临界采样，取 mc ww = 。下列程序实现对信号 )(tSa 的采样及由采样信号恢复 )(tSa （见信号恢复小节）。 wm=1; wc=wm; Ts=pi/wm; ws=2*pi/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi); Dt=0.005;t=-15:Dt:15; fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); t1=-15:0.5:15; f1=sinc(t1/pi); subplot(211); stem(t1,f1); xlabel('kTs'); ylabel('f(kTs)'); title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号'); subplot(212); plot(t,fa) xlabel('t'); ylabel('fa(t)'); title('由 sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构 sa(t)'); grid; 程序运行结果如图 5-6所示。 [注意]Sa(t)=sinc(t/pi) 41 2、信号重构 设信号 )(tf 被采样后形成的采样信号为 )(tf s ，信号的重构是指由 )(tf s 经过内插处 理后，恢复出原来信号 )(tf 的过程。又称为信号恢复。 若设 )(tf 是带限信号，带宽为 mw ，经采样后的频谱为 )( wjFs 。设采样频率 ms ww 2³ ， 则 由 式 （ 5-9 ） 知 )( wjFs 是 以 sw 为 周 期 的 谱 线 。 现 选 取 一 个 频 率 特 性 ïî ï í ì > < = c csT jH ww ww w 0 )( （其中截止频率 cw 满足 2 s cm w ww ££ ）的理想低通滤波器与 )( wjFs 相乘，得到的频谱即为原信号的频谱 )( wjF 。 显然， )()()( www jHjFjF s= ，与之对应的时域表达式为 )(*)()( tfthtf s= （5-10） 而 åå ¥ -¥= ¥ -¥= -=-= n ss n ss nTtnTfnTttftf )()()()()( dd )()]([)( 1 tSaTjHFth c c s wp w w == - 将 )(th 及 )(tf s 代入式（5-10）得 图 5-6 临界采样信号及信号恢复 42 å ¥ -¥= -== n scs cs c c ss nTtSanTf T tSaTtftf )]([)()(*)()( w p w w p w （5-11） 式（5-11）即为用 )( snTf 求解 )(tf 的表达式，是利用 MATLAB 实现信号重构的基本关 系式，抽样函数 )( tSa cw 在此起着内插函数的作用。 例 5-3：设 t t tSatf sin )()( == ，其 )( wjF 为： ïî ï í ì > < = 10 1 )( w wp wjF 即 )(tf 的带宽为 1=mw ，为了由 )(tf 的采样信号 )(tf s 不失真地重构 )(tf ，由时域采样定 理知采样间隔 p w p =< m sT ，取 p7.0=sT （过采样）。利用 MATLAB 的抽样函数 t t tSinc p p )sin( )( = 来表示 )(tSa ，有 )/()( ptSinctSa = 。据此可知： å ¥ -¥= -== n s c s cs c c ss nTtSincnTf T tSaTtftf )]([)()(*)()( p w p w w p w （5-12） 为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，计算两信号的绝对误差。 MATLAB实现此过程的程序如下： wm=1; wc=1.1*wm; Ts=0.7*pi/wm; ws=2*pi/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi); Dt=0.005;t=-15:Dt:15; fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); error=abs(fa-sinc(t/pi)); t1=-15:0.5:15; f1=sinc(t1/pi); subplot(311); stem(t1,f1); ylabel('f(kTs)'); title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号'); subplot(312); plot(t,fa) ylabel('fa(t)'); title('由 sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构 sa(t)'); grid; subplot(313); plot(t,error); ylabel('error(t)'); title('过采样信号与原信号的误差 error(t)'); 结果如图 5-7所示，由图 5-7可知，两信号的绝对误差 error已在 10-6数量级，说明 重构信号的精度已经很高。 43 将上述程序稍加改动，令 1=mw ， mc ww = ， p5.1=sT （欠采样），其余不变。改动后 程序运行结果如图 5-8所示。 由图 5-8可见，绝对误差 error已大为增加，其原因是因采样信号的频谱混叠，使得 在 cww < 区域内的频谱相互“干扰”所致。 图 5-7 过采样信号、重构信号及两信号的绝对误差 图 5-8 欠采样信号、重构信号及两信号的绝对误差 44 3、实验内容 设 tetf 1000)( -= ，由于不是严格的带限信号，但其带宽 mw 可根据一定的精度要求做一 近似。试根据以下三种情况用MATLAB实现由 )(tf 采样信号 )(tf s 重构 )(tf 并求出两者 误差，分析三种情况下的结果。 （1） pw 5000=m ， mc ww = ， msT wp /= ； （2） pw 10000=m ， mc ww 1.1= ， msT wp /= ； （3） pw 2500=m ， mc ww 9.0= ， msT wp /= ；