l～p空间的完备性

第 17 卷 　第 6 期 2002 年 12 月 内蒙古民族大学学报 (自然科学版) Journal of Inner Mongolia University for Nationalities Vol. 17 　No. 6 Dec. 2002 　　　 lp 空间的完备性Ξ 王　卓 ,李春龙 (内蒙古民族大学 理工学院 ,内蒙古 通辽　028043) 摘 　要 :给出了 lp 空间完备性的证明. 关键词 : lp 空间 ;线性赋范空间 ;Banach 空间 ;完备性 中图分类号 :O17411 　　文献标识码 :A 　　文章编号 :1671 —0185 (2002) 06 - 0555 - 01 Completeness of lp Space WANG Zhuo ,LI Chun - long (College of Science and Engineering ,Inner Mongolia University for Nationalities ,Tongliao 028043 ,China) Abstract : In this paper ,proof of completeness of lp space is given. Key s : lp space ;Linear norm space ;Banach space ;Completeness 文〔1〕中给出了 lp 空间完备性的结论 ,笔者对该结论加以证明. 定义 1 　设 x = (ξ1 ,ξ2 , ⋯)是实 (或复)数列 ,如果 ∑ ∞ i = 1 |ξi | p < ∞,则称数列 (ξ1 ,ξ2 , ⋯) 是 p 次收敛数 列 , p 次收敛数列全体记为 lp ( p > 0) . 引理 1 　若 p > 1 , 1p + 1 q = 1 ,则对任意 A 、B ≥0 ,有下列不等式成立 : AB ≤A p p + B q q (1) 图 1 　矩形面积与曲边梯形面积比较图 Figure 1 　The comparison of rectangle area and curves belt trapezoid area 证明　不妨设 A > 0 , B > 0 ,否则 ,若 A 、B 中有一个为 零 ,不等式 (1)显然成立. 令α= p - 1 ,β= q - 1 ,则由假设 1 p + 1 q = 1 即 pq = p + q 可知αβ= ( p - 1) ( q - 1) = pq - ( p + q) + 1 = 1 ,即β= 1α. 不妨还假设 Aα ≤B ,否则 ,若 Aα > B ,即 Bβ = B 1 α < A , 则将 A 、B 位置对调即可. 考察图 1 ,将以 OA 、OB 为边的矩 形面积与两个曲边梯形面积 S1 与 S2 进行比较可得 : AB ≤ S1 + S2 ,但 S1 与 S2 可分别为 S1 =∫ A 0 x αd x = A α+ 1 α+ 1 = Ap p ; S2 =∫ B 0 y 1 ααy =∫ B 0 yB dy = B β+ 1 β+ 1 = B q q 因此有 AB ≤A p p + B q q 引理 2 (霍尔德 (HÊlder)不等式的级数形式) 　若 p > 1 , 1p + 1q = 1 ,则有不等式Ξ 收稿日期 :2002 - 05 - 25 作者简介 :王卓 (1946 - ) ,男 ,副教授 ,从事函数方面的教学与研究. ∑ ∞ k = 1 | ξkηk | ≤ ∑ ∞ k = 1 | ξk | p 1 p ∑ ∞ k = 1 | ηk | q 1 q 成立. 证明　在引理 1 的不等式 (1)中 ,令 A = | ξk | ∑ ∞ k = 1 | ξk | p 1 p 　B = | ηk | ∑ ∞ k = 1 | ηk | q 1 q 则有 | ξk | | ηk | ∑ ∞ k = 1 | ξk | p 1 p ∑ ∞ k = 1 | ηk | q 1 q ≤ | ξk | p p ∑ ∞ k = 1 | ξk | p + | ηk | q q ∑ ∞ k = 1 | ηk | q ( k = 1 ,2 , ⋯) 即 ∑ ∞ k = 1 | ξkηk | ∑ ∞ k = 1 | ξk | p 1 p ∑ ∞ k = 1 | ηk | q 1 q ≤1p + 1 q = 1 亦即 ∑ ∞ k = 1 |ξkηk | ≤ ∑ ∞ k = 1 |ξk | p 1 p ∑ ∞ k = 1 |ηk | q 1 q 引理 3 (闵可夫斯基 (Minkowski)不等式的级数形式) 　若 p ≥1 ,则有不等式 ∑ ∞ k = 1 | ξk + ηk | p 1 p ≤ ∑ ∞ k = 1 | ξk | p 1 p + ∑ ∞ k = 1 | ηk | p 1 p 成立. 证明　因为 | ξk + ηk | p ≤(| ξk | +| ηk | ) p ≤〔2max(| ξk | , | ηk | )〕p = 2 p〔max(| ξk | , | ηk | )〕p ≤2 p (| ξk | p +| ηk | p ) 由此不等式及定义 1 知 : ∑ ∞ k = 1 |ξk +ηk | p < + ∞ 又由 ( p - 1) q = p 有〔∑ ∞ k = 1 (|ξk +ηk | p - 1 ) q〕 1 q < + ∞ ∑ ∞ k = 1 | ξk + ηk | p ≤ ∑ ∞ k = 1 | ξk + ηk | p- 1 | ξk | + ∑ ∞ k = 1 | ξk + ηk | p- 1 | ηk | 对上面不等式右端的两项分别用引理 2 的不等式 : ∑ ∞ k = 1 | ξk + ηk | p ≤ ∑ ∞ k = 1 (| ξk + ηk | p- 1 ) q 1 q ∑ ∞ k = 1 | ξk | p 1 p + ∑ ∞ k = 1 | ηk | p 1 p = ∑ ∞ k = 1 | ξk + ηk | p 1 q ∑ ∞ k = 1 | ξk | p 1 p + ∑ ∞ k = 1 | ηk | p 1 p 即 　 ∑ ∞ k = 1 | ξk + ηk | p 1 p ≤ ∑ ∞ k = 1 | ξk | p 1 p + ∑ ∞ k = 1 | ηk | p 1 p 定理 1 　设 X1 、X2 、⋯是一列线性赋范空间 , x = { x1 , x2 , ⋯, xn , ⋯}是一列元素 ,其中 xn ∈Xn , n = 1 , 2 , ⋯,且有 ∑ ∞ n = 1 ‖xn ‖p < + ∞( p ≥1) ,这种元素列全体记为 X ,又令 ‖x ‖= ∑ ∞ n = 1 ‖xn ‖p 1 p , ( p ≥1) 则 X 为线性赋范空间. 证明　先证 X 是线性的. 设 x = { x1 , x2 , ⋯, xn , ⋯} ∈X , y = { y1 , y2 , ⋯, yn , ⋯} ∈X ,则有 xn ∈Xn ( n = 1 ,2 , ⋯)且 ∑ ∞ n = 1 ‖xn ‖p < + ∞; yn ∈Xn ( n = 1 ,2 , ⋯)且 ∑ ∞ n = 1 ‖yn ‖p < + ∞. 下证 x + y = { x1 + y1 , x2 + y2 , ⋯, xn + yn , ⋯} ∈X ,αx = {αx1 , ⋯,αxn , ⋯} ∈X . 由 Xn 为线性空间知 xn + yn ∈Xn ,αxn ∈Xn ( n = 1 ,2 , ⋯) . 655　　　　　　　　　　　内 　蒙 　古 　民 　族 　大 　学 　学 　报 　　　　　　　　　　　2002 年 再由不等式 ∑ ∞ n = 1 ‖xn + yn ‖p ≤ ∑ ∞ n = 1 ( ‖xn ‖+ ‖yn ‖) p ≤ ∑ ∞ n = 1 (2max( ‖xn ‖、‖yn ‖) ) p ≤2 p ∑ ∞ n = 1 ( ‖xn ‖p + ‖yn ‖p ) = 2 p ∑ ∞ n = 1 ‖xn ‖p + ∑ ∞ n = 1 ‖yn ‖p < + ∞ 及 ∑ ∞ n = 1 ‖αxn ‖p = ∑ ∞ n = 1 |α| p ‖xn ‖p = |α| p ∑ ∞ n = 1 ‖xn ‖p < + ∞ 即知 X 是线性的. 次证 X 是赋范的. 显然下面的式子是成立的 : ‖x ‖= ∑ ∞ n = 1 ‖xn ‖p 1 p ≥0 , ‖x ‖= 0 Ζ ‖xn ‖= 0 ( n = 1 ,2 , ⋯) Ζ xn =θn ( n = 1 ,2 , ⋯) Ζ x =θ. ‖αx ‖ = ∑ ∞ n = 1 ‖αxn ‖p 1 p = ∑ ∞ n = 1 | α| p ‖xn ‖p 1 p = | α| ∑ ∞ n = 1 ‖xn ‖p 1 p = | α| ‖x ‖ 再由闵可夫斯基不等式有 ‖x + y ‖ = ∑ ∞ n = 1 ‖xn + yn ‖p 1 p ≤ ∑ ∞ n = 1 ( ‖xn ‖+ ‖yn ‖) p 1 p ≤ ∑ ∞ n = 1 ‖xn ‖p 1 p + ∑ ∞ n = 1 ‖yn ‖p 1 p = ‖x ‖+ ‖y ‖ 即证得了 X 是赋范的. 定理 2 　设 X1 , X2 , ⋯是一列 Banach 空间 , x = { x1 , x2 , ⋯, xn , ⋯}是一列元素 ,其中 xn ∈Xn , n = 1 ,2 , ⋯,并且 ∑ ∞ n = 1 ‖xn ‖p < ∞,这种元素全体记成 X ,其它条件同定理 1 ,则 X 是 Banach 空间 ( p ≥1) . 证明　设{ x ( i) } ∞i = 1是 X 中的 Cauchy 点列 , x ( i) = ( x ( i)1 , ⋯, x ( i)n , ⋯) ,对任给的ε> 0 ,存在 i0 > 0 ,当 i , j > i0 时 ,有 ‖x ( i) - x ( j) ‖<ε,从而 ∑ ∞ n = 1 ‖x ( i)n - x ( j)n ‖p 1 p <ε,于是 ‖x ( i)n - x ( j)n ‖<ε,即{ x ( i)n } ∞k = 1是 Xn 中的 Cauchy 点列. 设 x ( i)n xn ( n ϖ ∞) ,令 x = ( x1 , x2 , ⋯) ,由 ∑ ∞ n = 1 ‖x ( i)n - x ( j)n ‖p 1 p < ε 对任意 k ,有 ∑ ∞ n = 1 ‖x ( i)n - x ( j)n ‖<εp ,令 j ∞,则 ∑ k n = 1 ‖x ( i)n - xn ‖p ≤εp ,再令 k ϖ ∞,有 ∑ ∞ n = 1 ‖x ( i)n - xn ‖p ≤εp < ∞, 因此 x ( i) - x ∈X ,又 X 是线性空间 ,所以 x = x ( i) - ( x ( i) - x) ∈X ,且由 ∑ ∞ n = 1 ‖x ( i)n - xn ‖p 1 p ≤ε 知 : x ( i) 按范数收敛于 x . 因此 X 是 Banach 空间 ,从而 lp 是 Banach 空间 ( p ≥1) . 参 　考 　文 　献 〔1〕　程其襄. 实变函数与泛函分析基础〔M〕. 北京 :高等教育出版社 ,1983. 〔2〕　张一鸣. 实变函数与泛函分析〔M〕. 上海 :上海科学技术出版社 ,1988. 〔3〕　王卓. 范数函数对空间性质的影响〔J〕. 内蒙古民族大学学报 ,2001 ,16(3) :316. 〔责任编辑 　郑 　瑛〕 755第 6 期 　　　　　　　　　　　　　　　王 　卓等 : lp 空间的完备性