2013考研数学高数中值定理公开课讲义（汤家凤）

北京世纪文都教育科技发展有限公司 课程配套讲义说明 1、配套课程名称 2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程是2013考研数学高数部分的公开课，主要讲授中值定理部分的重难点。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 5页（电子版） 文都网校 2011年5月27日 中值定理及应用 一、预备知识 1、极值点与极值—设连续 ，其中 。若存在 ，当 时，有 ，称 为 的极大点；若存在 ，当 时，有 ，称 为 的极小点，极大点和极小点称为极值点。 2、极限的保号性定理 定理 设 ，则存在 ，当 时， ，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。 【证明】设 ，取 ，因为 ，由极限的定义，存在 ，当 时， ，于是 。 3、极限保号性的应用 【例题1】设 ，讨论 是否是极值点。 【例题2】（1）设 ，讨论 是否是 的极值点； （2）设 ，讨论 是否是 的极值点。 【解答】（1）设 ，即 ，由极限的保号性，存在 ，当 时，有 。 当 时， ；当 时， 。 显然 不是 的极值点。 （2）设 ，即 ，由极限的保号性，存在 ，当 时，有 。 当 时， ；当 时， 。 显然 不是 的极值点。 【结论1】设连续函数 在 处取极值，则 或 不存在。 【结论2】设可导函数 在 处取极值，则 。 二、一阶中值定理 定理1（罗尔中值定理）设函数 满足：（1） ；（2） 在 内可导；（3） ，则存在 ，使得 。 定理2（Lagrange中值定理）设 满足：（1） ；（2） 在 内可导，则存在 ，使得 。 【注解】 （1）中值定理的等价形式为： ，其中 ； ，其中 。 （2） 对端点 有依赖性。 （3）端点 可以是变量，如 ，其中 是介于 与 之间的 的函数。 定理3（Cauchy中值定理）设 满足：（1） ；（2） 在 内可导；（3） ，则存在 ，使得 。 题型一：证明 【例题1】设 ， ，证明：存在 使得 。 【例题2】设曲线 EMBED Equation.3 ， ，在 内二阶可导，连接端点 与 的直线与曲线 交于内部一点 ，证明：存在 ，使得 。 【例题3】设 ，在 内可导，且 ，证明：存在 ，使得 。 题型二：结论中含一个中值 ，不含 ，且导出之间差距为一阶 【例题1】设 ，在 内可导， ，证明：存在 ，使得 。 【例题2】设 ，在 内可导， ，证明：存在 ，使得 。 【例题3】设 ，在 内二阶可导，且 ，证明：存在 ，使得 。 题型三：含中值 情形一：含中值 的项复杂度不同 【例题1】设 ，在 内可导，且 ，证明：存在 ，使得 。 【例题2】设 ，在 内可导 ，证明：存在 ，使得 。 情形二：含中值 的项复杂度相同 【例题1】设 ，在 内可导，且 。 （1）证明：存在 ，使得 。 （2）证明：存在 ，使得 。 【例题2】设 ，在 内可导，且 ，证明：存在 ，使得 。 三、高阶中值定理—泰勒中值定理 背景：求极限 。 定理4（泰勒中值定理）设函数 在 的邻域内有直到 阶导数，则有 ， 且 ，其中 介于 与 之间，称此种形式的余项为拉格郎日型余项，若 ，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。 特别地，若 ，则称 ， 为马克劳林公式，其中 。 【注解】常见函数的马克劳林公式 1、 。 2、 。 3、 。 4、 。 5、 。 6、 。 专题一：泰勒公式在极限中的应用 【例题】求极限 。 专题二：二阶保号性问题 设函数 的二阶导数 ，这类问题主要有两个思路： 思路一：设 ，则 单调增加 【例题1】设 在 上满足 且 ，证明：对任意的 有 。 【例题2】设 在 上满足 且 ，证明： 在 内有且仅有一个零点。 思路二：重要不等式 设 ，因为 ， 所以有 ， 其中等号成立当且仅当 。 【例题1】设 ， ，且 ，证明： 。 【例题2】设 ，证明：对任意的 及 且 ，证明： 。 【例题3】设 且 ，证明： 。 │官网：www.wenduedu.com 售后热线：010-88820095转 822/851/627 _1364111150.unknown _1364111851.unknown _1364112305.unknown _1364112617.unknown _1364114817.unknown _1364114940.unknown _1364115078.unknown _1364115413.unknown _1364115463.unknown 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