光的偏振描述

光偏振态几种描述方式内在联系的直观处理 盛新志 刘琦 高凯强 张建亮 缪萍 陈春桢 (发光与信息技术教育部重点实验室，北京交通大学物理系，北京 100044) 摘要：本文结合当前先进的偏振态实验测量技术，分析光偏振态的教学难点，给出偏振光几 种常用描述方式并揭示它们的内在联系，从而简化数学描述，增加教学直观性，以期解决工 科物理光学教学中光偏振态部分内容陈旧、与当前工程技术脱节、学生有畏难情绪等问题。 关键词：偏振光、琼斯矢量、斯托克斯矢量、邦加球 1 引言 光偏振是光学教学中的重点，也是难点。目前，大学物理的光学教学中，对光偏振态部 分的内容，处理已显陈旧，尤其是对偏振光的描述方式，与当前实验测试技术脱节。大多数 物理教材[1,2,3]从波动方程出发，给出偏振光概念和相关描述方法，与导波光学[4]以及光偏振测 量等后续课程中使用的偏振态描述方式有所脱节，缺乏过渡，不利于工科学生的进一步学习。 本文分析偏振态教学难点，结合光偏振的现代应用技术，给出偏振光几种常用描述方式并揭 示它们的内在联系，增加教学直观性，以期在大学物理与工程技术之间架设桥梁。 2 偏振光的数学描述 偏振光定义基于光波的电场分量。只含单一光电场振动方向的光为线偏振光，在其波 面内电场矢量端点描绘的轨迹为一直线；电场矢量端点描绘轨迹为圆的为圆偏振光，轨迹为 椭圆的是椭圆偏振光[1,2,3]。圆和椭圆偏振光可看成由两个电场矢量正交的、有恒定相位差的 同频率线偏振光波的叠加，另一方面，线偏振光和圆偏振光都可看成是椭圆偏振光的特例。 所以，对椭圆偏振光的研究，代了对所有完全偏振光的研究。 国内大多数教材使用椭圆方程： 22 22 cos sinϕ ϕ       ∆ = ∆            + − x y x y x y x y E E E E A A A A （1） 基于振幅概念来描述椭圆偏振光。式中，Ex和 Ey分别为一束 z轴方向传输的偏振光波在 x方 向和 y 方向的电场分量，Ax和 Ay分别为对应电场分量的谐振动振幅，∆ϕ=ϕx-ϕy是对应电场 分量的相位差。另外，椭率角β(tanβ=b/a，a是椭圆长轴，b是椭圆短轴)和方位角θ(椭圆长 轴与 x轴的夹角)这组辅助参量也用来描述椭圆偏振光。如图 1所示。 大学物理实验对偏振光的验证，“将椭圆偏振光正入射到一个偏振片上，旋转偏振片时， 光强与偏振片旋转的角度曲线是椭圆形，圆偏振光入射时，曲线是圆形。”基于光强测试。而 椭圆方程是基于振幅的,二者的不一致影响了学生对偏振光的直观理解。而且，与当前工程技 术上的描述脱节，致使学生对这一部分的学习有畏难情绪。 图 1椭圆偏振光参量示意图 3 偏振光的琼斯矢量描述 建立坐标系，可将任一偏振光的光电场矢量分解为两个正交轴上的分量，并以一列矩阵 来表示： ϕ ϕ    =         vv v x y i x i y E eE E E E e x y = （2） 光电场矢量的表示列矩阵称为琼斯矢量。利用辅助参量，琼斯矢量简化为： cos sin sin cos cos cos sin sin θ β θ β θ β θ β + −     =      x y E E （3） 引入矩阵形式，极大地简化了偏振光演变分析。例如，偏振态的叠加，只需将对应琼斯 矢量矩阵相加即可。另外，对偏振光琼斯矢量进行简单处理还可以得到复矢量与复平面描述 方式[4]。尤其是涉及到偏振光在不同介质、光器件中传输时，只需与器件的琼斯矩阵进行矩 阵相乘即可得到偏振终态。大大方便了偏振光传输情况的分析，使得琼斯矢量、琼斯矩阵方 法成为科研和工程设计中一种广泛使用的工具。 当然，琼斯矢量仍然是关于光电场振幅而不是光强的描述，琼斯矢量描述也只适用于完 全偏振光，对于非完全偏振光的描述须采用斯托克斯矢量[2]。 4 偏振光的斯托克斯矢量描述和邦加球描述 工程技术中，考虑到偏振光的实际可测量，定义以下四个物理量： 2 2 0 2 2 1 2 3 2 c o s 2 s in ϕ ϕ = + = − = ∆ = ∆ x y x y x y x y S E E S E E S E E S E E （4） 称之为斯托克斯矢量。 将(3)式代入(4)式，并做光强归一化处理可得： 0 1 2 3 1 c o s 2 c o s 2 s i n 2 c o s 2 s i n 2 S S S S θ β θ β β = = = = （5） 其物理意义如表 1所示，非常直观。 表 1. 斯托克斯矢量的取值范围和描述对象[5] 斯托克斯矢量 取值范围 描述对象 0S 00 1S≤ ≤ 光的总光强 1S 11 1S− ≤ ≤ 水平和竖直方向的 2S 21 1S− ≤ ≤ 045± 方向上的光强 3S 31 1S− ≤ ≤ 描述左右旋光 由式（6）可知： 2 2 2 2 1 2 3 0 1+ + = =S S S S （6） 以 S1、S2、S3为坐标轴，这就是一个单位球，称之为邦加球。偏振态分析仪器通常使用邦加 球显示测试结果。邦加球上一点代表一个偏振态，如图 2所示。 2 3 1 a r c t a n 2 θ = S S （7） 3 2 2 1 2 t a n β = + S S S （8） 可见，方位角表示在邦加球上的经度，椭圆率表示纬度。所以，邦加球赤道上点表示线偏振 光，上下极点分别对应右旋圆偏振光和左旋圆偏振光，球面上其他各个点对应椭圆偏振光， 其中上半球为右旋椭圆偏振光、下半球左旋椭圆偏振光。球面上表示的是完全偏振光。球心 表示的是自然光，球体内其他点表示的是部分偏振光。 至此，就逐步由大学物理对偏振光的描述，扩展到工程技术中常用的斯托克斯矢量描述 和邦加球描述。实际上，斯托克斯矢量和邦加球应用实例的讲解，又能加深学生对光偏振态 的理解。 图 2 邦加球 5 邦加球应用举例 5.1对偏振光的测量 图 3 邦加球上光的分解 斯托克斯矢量不同于一般空间矢量，不满足一般矢量的叠加方式。 如图 3所示，(a)图中 S1、S2是两个垂直的方向，S3是一个线偏振光，设 S3的光强为 I3，分 解在 S1、S2方向上的的光强分别记为 I1、I2，由马吕斯定律知： 2 2 3 c o s θ=I I （9） 同样在邦加球上分解，(b)图是邦加球的赤道圆，显然 S1与 S2是两个互相垂直的偏振方向， 将 S3分解在两个方向上，满足： 1 2 1 2 = S A A S I I （10） 由(10)式可以得到与马吕斯定律同样的结果（9）式。这即是斯托克斯矢量的叠加方式。 由（9）式可知只要测量出在四个偏振方向上的光强就可以得到其斯托克斯矢量，然后就可以 在邦加球上将其描绘出来。如图 4所示，自然光经过偏振片 P1后成为线偏振光，然后经过四 分之一波片成为椭圆偏振光，调节偏振片和波片的光轴方向，可以得到任意的椭圆偏振光， 再通过调整偏振片 P2的光轴方向，可以由探测器 D测量光强。选择 0°、45°、90°和 135°四 个方向测量得到其光强 I1、I2、I3、I4。则由斯托克斯矢量定义式可得[6]： 0 1 3 2 4 2 4 1 3 2 2 1 3 2 4 0 t a n 2 ( ) ( ) c o s 2 θ β = + = + − = − − + − = I I I I I I I I I I I I I I （11） 这样就可以在邦加球上描绘出待测光的对应点，形象地表示出待测光的偏振态。 图 4 偏振光测量示意图 5.2 利用斯托克斯矢量定义偏振度 大部分物理光学教材中都使用： m a x m i n m a x m i n I IP I I − = + （12） 定义偏振度，Imin和 Imax分别是一束光在两个垂直两个垂直偏振方向上的最小和最大光强。显 然，该定义在表示圆偏振光或者椭圆偏振光的偏振度时有局限性，不能将它们与部分偏振光 和自然光有效地区分开来。 利用斯托克斯矢量定义偏振度[5]： 2 2 2 1 2 3 0 S S S P S + + = （13） 邦加球内对应部分偏振光， 2 2 2 21 2 3 0S S S S+ + < ，所以，偏振度 P小于 1；邦加球面 上是全偏振光，这包括圆偏振光和椭圆偏振光，有 2 2 2 21 2 3 0S S S S+ + = ，对应偏振度 P等于 1。可见利用斯托克斯矢量定义的偏振度，与目前大学物理光学教材中普遍使用的偏振 度定义，具有明显的优越性。 5.3偏振光的演化 一个水平线偏振光变化成竖直方向的线偏振光，是方位角逐渐变化还是椭圆率逐渐变化 呢？利用邦加球可以直观的演示这个问题。如图 5 所示，在邦加球上，至少有两个路径实现 水平线偏振光变化成竖直方向的线偏振光[5]。例如，路径 1沿赤道旋转，路径 2沿经线转动。 在光学中，分析旋光晶体与双折射晶体的工作原理时常使用很复杂的方法。实际上，由 于椭圆偏振光通过旋光晶体前后椭率角不发生变化，旋转方向也不发生变化。利用邦加球分 析可以知道，伴随着旋光器件厚度的连续变化，椭圆偏振光态的变化在邦加球上沿绕 S3轴作 旋转运动，沿纬线旋转，是为上面讨论过的路径１。而通过双折射晶体前后，伴随着双折射 晶体厚度的连续变化，椭圆偏振光态的变化是沿经线旋转，即路径２。可见，利用邦加球演 示光偏振态的变化，非常直观。 图 5偏振光的演化 6 结束语 光偏振态的其他几种描述方式在一般的普通物理光学书籍中很少有涉及，但是在光纤通 信等现代光信息处理工程技术领域有广泛的应用，基本原理以及描述方式与一般大学物理光 学教材中讲解的数学描述方式是相通的，具有普通物理光学基础者均可理解。对此部分知识 的介绍对于拓展视野，可以加深对许多偏振问题的理解，对提高分析与解决问题的能力都是 有益的。 参考文献： [1] 张三慧，大学物理 4. 第二版．北京：清华大学出版社，2002．215-245. [2] 姚启钧．光学教程．第二版．北京：高等教育出版社，1989．364-372. [3] 程守洙，江之水．普通物理学３．第五版．北京：高等教育出版社，1998．245-276. [4] 吴重庆．光波导理论．北京：清华大学出版社，2000．125-128. [5] Thomas F.Drouillard II,Paul A.Searcy,Knowing the math aids measurement of polarization,Laser Focus World, January, 2004, v40, 123-127. [6] Grant Nicholson, Douglas J.Temple. Polarization Fluctuation Measurements on Installed