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运用向量内积求函数最值第19卷第3期 2006年9月伊犁教育学院学报 J删AL0FⅧEDUCAll0NCOUEGE V01．19．N0．3 sep．2006 运用向量内积求函数最值张大学 (浦江职业技术学校，浙江浦江322200) 摘要：条件最值问题在竞赛中频繁出现，处理方法往往比较复杂。构造向量，利用向量内积进行求解，为函数最值问题的解决，开辟了一种新的思路和方法。关键词：构造向量；函数最值；解决中图分类号：G633．6文献标识码：B 文章编号：100州87(2006)03—0094珈3 TheEvalution...

第19卷第3期 2006年9月伊犁教育学院学报 J删AL0FⅧEDUCAll0NCOUEGE V01．19．N0．3 sep．2006 运用向量内积求函数最值张大学 (浦江职业技术学校，浙江浦江322200) 摘要：条件最值问

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在竞赛中频繁出现，处理方法往往比较复杂。构造向量，利用向量内积进行求解，为函数最值问题的解决，开辟了一种新的思路和方法。关键词：构造向量；函数最值；解决中图分类号：G633．6文献标识码：B 文章编号：100州87(2006)03—0094珈3 TheEvalutionofConmtionMaxim啪 zHANGDa一舭 (neV0cationaland7I＆hnicalSch00l0fPujiang，Pujiang孙ejiaIlg322200，China) 觚蛔ct：neevalutionofconditi伽max岫印pearsf融Ⅳendyinnlathsco瑚炉tition．Andt}let州itionwayof s01utionisalwaysquitec伽叩licated．Butt}leau‰rexploIedanewwaytosolve出ispmblem，whichistowakeupvector and眦keus0ftheintemalpIDducttogoonsolution． Keywords：stmcturevector；conditionma五m啪；solution 最值问题形式繁多，解法一直是中学数学研究的重要课题。常见方法就有二次函数法、判别式法、三角换元法、基本不等式法和数形结合法。本文就一类特殊的、满足一定条件的函数的最值问题，用向量内积进行求解。向量是数与形的结合体，运用向量解题，直接把数与形统一起来，缩小了数与形之间的思维跨度，避免了许多拼凑技巧，从而简化了解题过程，学生容易接受。利用向量内积求解函数最值问题，就是利用向量内积的两种不同形式，把代数式转化为三角式，再通过讨论夹角来实现函数最值计算。一、已知两个或多个变量的平方和。求这组变量的线性代数和的最值问题定理1[柯西(cauchy)不等式]若；萋。《=p(p >0)川籼I≤厣尚一；／善(i：1，√iF一1’ n ， n 2，3⋯n)时，；善k)【i有最大值√P善碍；当xi_一k12J l 12l 厍忙∽≯．．n吣舶卧值一辱收稿日期：2006—04—03 作者简介：张大学(1965一)，浙江浦江人，浦江职业技术学校中学一级数学教师。 94 万方数据万方数据第19卷第3期 2006年9月张大学：运用向量内积求函数最值证明：构造n维

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正交基下的向量而={X1， x2，⋯)【Il}，五={h，k，⋯k}，则 i萎k)【i=盂·盂=l而1．I五I．c。s<盂，五> =√P· ’COS， i弘xi≤ 当<盂，i>=o，即盂∥五且同向时，、毫k】【i)最大，这时寻=卺=⋯斋^1^，～《+《+⋯《=p，解得)【；=k 当<盂，五>=丌，即而∥五且反向时，、蚤k墨)最小，这时同理可得 xi2一^i 例l 已知X2+y2=4，求3x+4y的最值。解：构造向量磊={3，4}，五={x，y}， 0=，则 3x+4v：五·五：l磊|．I五I．cos<盂，五>=10cose，当{{}2亨．，即{x2{时，c3x+4y，最大：·。ox2+y2=4【y=詈当x：一要，y：一等时，(3x+4y)最小：一10 例2已知a，b，c，d，e为实数，且满足a+b+c +d+e：8。a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值。解：设矗={a，b，c，d}声={l，1，1，l} 则＆·B：a“+c+d=靠■瓦了订·再· cose≤2以K可i五可 a+b+c+d：8一e孑+b2+c2+d?=16一孑．·．8一e≤2以再了即64—16e+e2≤4×16—4e2，解得，o≤e≤萼，当a=b=c=d=导时，e最大=警二、已知两个或多个变量的线性和，求这组变量的平方和的最小值定理2若i∑1kx2p时，则；蚤碍《≥ 当x；= I入l ‘k1’ (i=1，2，⋯n)， (i耋㈣最／J、=羔 i刍k2 证明：构造向量鬲={k。x，，k2X2，⋯k。xn}，五= 蔓⋯立}一一 k2’ k。h”一，则p=i豁xi_面·五= 所以i耋k2《≥矗。i=1 三^： i刍谗 k1xl k2X2 l(11)(II 百2i一“百 k1 k2 k (；∑1碍哥)最小= 厨·僳．cos。 2龚月峨2蕊吨i刍培 qi刍《例3已知a+b+c=l，a，b，c∈R+，求矛+2b2 +3c2的最小值。解：构造向量盂={a’压b，压c}，五={1，去，去) 则a2+2b2+3c2=I盂l2≥ (鬲·五)2 当a=各'b=吾，c=吾时， (f+2b2+3c2)最，j、=斋例4设a1，a2，⋯，‰∈R+ n 6 —11 ，试证二次函数“x，， x2，⋯)【11)=al焉+a2遥+⋯+an)【|12，在条件xI+X2+x2，⋯)【11)=a1xi+a2砭+⋯+an)【|I‘，仕：，汆1午xI+X2+ ⋯+]【lI=1，x1≥0，x2≥0，⋯)【rI≥0所确定的区域内的证明：a。，a2，⋯，aTl∈R+，可设n维标准正交量 95 旦臻一口竺nK业一。∑㈦一《工龄 !擀，，吖生洼为值小最万方数据万方数据第19卷第3期 2006年9月张大学：运用向量内积求函数最值下的向量d={_√a，x。，~／a2X2，⋯~／‰Kj，8= {去，去，⋯去)，e-<那> 则矗·声=x1+x2+⋯K=I矗1．1Bl cose(o≤e≤ 90。) 又x1+x2+⋯+)【Il21．。小俪碱·(仁ii)础 ···钆《+地遽+⋯an《。{_圭：磊．’．当0=O时，即alxl=a2x2=⋯alI】(1l时，眠2采吼 “x。，№，⋯xn)卧=击V1 三、隐含条件的函数最值问题例5讨论f(x)=k瓜+k扁(入。>O，沁>0，a分析

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：此函数隐含条件(瓜)2+(扁)2= b—a，a≤x≤b，发现了这点，同样可以用向量内积求解。解：设丽=(入。，k)，丽=(以i，^i) 则I丽I=~／碍+砣，I丽I=瓜入。>0，沁>0，故点A、B均在第一象限内(B可以在轴上)当丽，丽同向时，丽，丽最大。即当h／沁=们i可而时，也即x=(蠲+蛹)／(砖+走)时“x)最大=丽·丽=以雨碡而讨论最小值丽，丽=~／(碍+建)(b—a)cos么AoB 1．若h≥k即A在直线y=x下方，故取B在y 轴上时么AOB最大，这时x=bcos么AOB =k，√(砰+砣)(b—a) ．·．f(x)最小=~／(《+砭)(b—a)·k／~／(碍+醚)= k／瓜 2．若h≥k，即A在直线y=x上方，故取B在 96 x轴上时么AOB最大，这时x=a， cos么AOB=沁／、何丽f(x)最小=、亿再≮而i百·入．／抓丽= 入。一历四、多次运用向量内积求最值问题例6已知x，y，z是正实数，a，b，c是正常数，且 a囊+b声+e茹：l，求x+y+z的最大值。解：构造向量而：{石0，拓l，托0)， l 1 1 一『x百yizi1 n。1石’孺’石j’ 贝0 x+y+z=面·五≤=I而I·I五I= ~／=f瓦嘲每+誓+每所以(x+y+z)2≤坚+竿+迎(当且仅当fx：’ a D C b2y=c2z时等号成立)。又即＆={辰，6，拓}，日={{，亡，丢) 则(譬+譬+譬)2=(矗·B)2≤㈦2·唧2=(x+y +z)(÷+吉+÷) 同样，当且仅当a2x=b2y=c2z时等号成立。所以有(x+y+z)4≤(x+y+z)(÷+专+÷) 所以当a2x=b2y=c2z时 cx+y+z，最小=(÷+毒+÷)了。由上述可知，运用向量内积求最值问题，关健在于构造适当的两个向量。构造向量时，应考虑到向量模和它们的内积这三个量中，必须有两个向量是确定的量，而另一个恰为所求的函数式，这样就可以直接求出函数的最值。由于这种向量构造有很强的规律性，因此只要细心观察，还是很容易构造的。熟练掌握这种解题方法，不仅可以简化解答过程，还可以收到化难为易、出奇制胜的效果。向量法的应用为研究

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数学输入了新的血．液。增添了新的活力。审稿：张文远万方数据万方数据运用向量内积求函数最值作者：张大学， ZHANG Da-xue 作者单位：浦江职业技术学校,浙江,浦江,322200 刊名：伊犁教育学院学报英文刊名： JOURNAL OF YILI EDUCATION COLLEGE 年，卷(期)： 2006,19(3) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_yljyxyxb200603026.aspx

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