求最值问题常见的错误种种

ZI-IONGXUEJIAOXUECANKAO ⋯一⋯⋯⋯⋯一一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．，-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯疑难点击_糊嘲嘲__嘲鳓啊嗣瞄幽—-一 求最值问题常见的错误种种 江苏靖江市第二中学(214500)戴建坤 一、忽视函数定义域致误 【例l】 已知厂(z)=2-+-l093x(1≤≤9)，求函数y =If(x)]2+，(≯)的最大值． 错解：Y=[，(z)]2+，(≯)=(2+logax)2+2+ l093，=lo醋z+6l093z+6=(1093x+3)2--3． 。．。1≤z≤9，．．．O≤l093x≤2． 故当l093x；2即x=9时，y取最大值22 剖析：上面的解法忽视了复合函数厂(，)的定义域， 误以为函数y的定义域仍为厂(z)的定义域，而要使函数 y=叭堋2+，(，)有意义，必须{莲塞卸 l≤≯≤3． ．．．O≤l093x≤1． 故当l093x=l即x=3时，Y取最大值13． 二、忽视题设中或图形中的隐含条件致误 【例2】圆锥的母线长5crn、高4L3"n，过任意两条母 线作一截面，求截面三角形面积的最大值． 错解：如右图，截面为△PAB， 作PD上AB于D，则D为AB 中点． 设AD=z， 则PD=~／25一，． ．．．S△舢一z·／25一≯ =√琢历伊=西亡夏砸F， ．‘．当x=51脚，S。=25／2(cm2)． 剖析：以上解法就数式和图形观察，很难发现毛病． 问题就出在z=5／√2>3(半径)，这是不可能的．应根据 隐含在图形中的条件：O≤≤3。求最值． 当x=3时，‰一12(cm2)，截面为轴截面． 三、忽视含字母系数的讨论致误 ‘ 【例31设吐为实数，记函数厂(z)=寺∥-at-z一口 (xE昕，2-1)的最大值为g(口)，求g(口)． 错解：，(z)5号(z+吉)2一口一菘1· 由z=--I-．_<0知，，(z)在听，2]上单调递增， ．．．g(口)=，(2)=n+2． 剖析：上述解法错在主观认为a>0，并按a>0求最 值，忽视了对字母系数的讨论． 当a=0时，八z)=z，z∈匝，2]，．．．g(口)=2； 当a<0时，函数3，=，(2)，．rE昕，2]的图象是开 口向下的抛物线的一段． 若z=一--“IE[o，同，即口≤～譬，则g(口)----f(,。／2) ：厄； 若z=一丢∈昕，2]，即口∈(一雩，一虿1]，则g(n) =，(一i1)az1三， 若z一一1口E(2，+。o)，即口∈(一虿1，+∞)，则 g(口)----f(2)=口+2． f口+2，当口>一专时； 综上，有g(口)一j一口一去，当一譬<口≤一丢时； 旧当口≤一知． ’ 四、忽视或用错函数单调性致误 【例41若aE(O，1)，bE-(O，1)，且log+a·log+b= 1．求ab的蜃僖． 7：。 错解：设Y=ab，则log+a>0，log+b>0，l094-Y= log+aq-log+6≥2,／log+a·log+b=2． ．．．了≥(丢)2一{，则‰一{，即(口6)嘶={． 剖析：当0<口<1时，Y—logs=是减函数．所以由 log+y≥2，得log+y≥log+{，推得y≤专，lip(口6)。= 土 4‘ 五、误用“和”与“积”的最值定理致误 【例5】求函数y=IsinxI+ICOSTI的最小值． 错解：y=lsinxI+ICOSTI≥2／两面丁_陌可，当 sinxI=IeOSXl，即z=寺h+÷7c(志∈z)时，上式取等 号，此时，IsinxI=IcosJ7l=去厄，故Ym= 2N专妇·专矗=矗． 剖析：只有当几个非负数的积为定值时，这几个非 负数的和才在它们相等时取最小值，而Isinx|．ICOS．Z'J 不是定值，故不能用此定理．使Isin_rI=lCOST|成立的z 只能保证等号成立，不能保证Isinxl+ICO娶7CI取最小值． 事实上，借助于单位圆中的三角函数线，以及三角形任 两边之和大于第三边，可知‰=1． 六、变形不可逆致误 【例6】求y=z+／#可的最小值． 23 ～n：2舭墩@1强1万方数据 中学教学参考 猫黼粗豳嘲_蝴嘲_Ⅲ_鲫嘲疑难点击⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯～ 错解：移项得y—z=以F可，两边平方得，一(2y +1)z+l+，一O， ‘．．z∈R，．．．△=[一(2y+1)]2—4(1+扩)≥0，得 y≥号，．．．‰。萱． 剖析：如果考虑到z≥1，那么／乒可≥0，y=z+ vG-：i>夕z≥1，此时y≥1，而‰=}，仍是错误．但这 种错误往往不易被发现，原因在于两边平方后，z的取值 范围扩大了，两式并不等价． 可令“F可一￡，则z一1=产，z=产+1，故y=z+ √亓=产+￡+1=(￡+吉)2+÷， ·．。t一---／手可≥o，故￡一O时，‰一百1十i3=1． 七、忽视公式成立的条件致误 【例7】 已知2口+卢一兀，求y=co印一6sina的最值． 错解：y=cosfl一6sina=cos(7c一2a)一6sina=2sin2口 一6sina--1。 记sina=t，则y=2t2—6￡一1，．．．‰=Q望茎与蕞掣=一萼，‰不存在． 剖析：上述解法错在进行变量替换时，忽视了新变 量t的范围．由t=sinx及正弦函数定义有t∈[一1，1]， 所以经换元后，原题变为求y=2产一6￡一1在区间[一1， 1]上的最值． ．．‘对称轴f=导硭E-1，1]， ．．．y的最值在闭区间的端点处取得，即当t一一1 时，‰，=7；当￡=一l时，Ym=一5． 八、滥用或错用判别式致误 【例81已知函数y=石5x巧2--j2瓦kx干+磊50伺一最-小,值1，求 实数点． 错解：由题意,。_45一x2一--210kzx++2505一>．① ’．．4≯--lOx+25=4(x--昔)2+等>o， ．．．由①得，一2(是一5)z+25≥O．② ．．+②对于一切实数z均成立， ．’．△=[一2(惫一5)]2—4×25≤o，可得O≤最≤10． 剖析：不等式①中的等号是当且仅当Y取最小值时 成立，所以①的同解变形②也必须注意这一条件．而此 时，≯一2(忌一5)x+25=0成立的充要条件为△=O(不 是△≤O，因为A设计

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