关于积分上限函数的小结

对积分上限函数的理解 积分上限函数（或变上限定积分） 的自变量是上限变量 ，在求导时，是关于 求导，但在求积分时，则把 看作常数，积分变量 在积分区间 上变动。弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。变上限积分函数是关于上限中x的函数；积分变量是被积函数的自变量，但不是变上限积分的自变量 计算定积分时，积分变量用另一个变量替换后结果不会变化，换不换都是一样，如∫(1,2)tdt=∫(1,2)xdx=3/2 （括号内代积分区间）但换了可以更清楚上限中的x和积分变量的x意义的不同 1． 关于积分上限函数的理论 定理1 如果 在 上可积，则 在 上连续. 定理2 如果 在 上连续，则 在 上可导，且 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数 经过求导后，其导函数 甚至不一定是连续的。 （Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。 推论1 推论2 推论3 2． 积分限函数的几种变式 （1） 比如 (被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.) 在求 时，先将右端化为 的形式，再对 求导。 （2）比如 ( f 的自变量中含x, 可通过变量代换将x 置换到f 的外面来) 在求 时，先对右端的定积分做变量代换 （把 看作常数），此时， ， 时， ； 时， ，这样， 就化成了以 作为积分变量的积分下限函数： ，然后再对x求导。 ( 3 ) 比如 (这是含参数x的定积分, 可通过变量代换将x 变换到积分限的位置上去) 在求 时，先对右端的定积分做变量代换 （把 看作常数），此时， ， 时， ； 时， ，于是， 就化成了以 作为积分变量的积分上限函数： ，然后再对x求导。 PAGE 1 _1321600908.unknown _1321606114.unknown _1321606785.unknown _1321607125.unknown _1322030291.unknown _1322030305.unknown _1321607187.unknown _1321607235.unknown _1321607382.unknown _1321607211.unknown _1321607168.unknown _1321607095.unknown _1321606433.unknown _1321606492.unknown _1321606553.unknown _1321606598.unknown _1321606510.unknown _1321606462.unknown _1321606414.unknown _1321606132.unknown _1321606335.unknown _1321603936.unknown _1321605648.unknown _1321605660.unknown _1321605373.unknown _1321605094.unknown _1321603858.unknown _1321603904.unknown _1321598876.unknown _1321599150.unknown _1321600745.unknown _1321600832.unknown _1321600658.unknown _1321599109.unknown _1321598358.unknown _1321598435.unknown _1321597578.unknown _1321598265.unknown _1321598290.unknown _1321597805.unknown _1321598038.unknown _1321597465.unknown