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null第四节 空间曲面与空间曲线第四节 空间曲面与空间曲线 一 曲面方程的概念 二 曲线方程的概念 三 二次曲面的截痕法 一 曲面方程的概念一 曲面方程的概念水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面方程的定义：曲面的实例：1 曲面方程的定义null解根据题意有所求方程为例1 求与原点及的距离之比为的点的全体所组成的曲面方程.null根据题意有化简得所求方程解例2 已知求线段面的方程.的垂直平分null根据题意有图形上不封顶，下封底．解例3 方程 的图形是怎样的？null以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．null(1) 球面根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为2 几种常见的曲面(球面方程的式)null将方程（1）展开得由此可见球面方程的特点(球面方程的一般式)null定义(2) 柱面null下面建立母线平行于轴，准线为平面曲线的柱面方程。null从柱面方程看柱面的特征：null柱面举例null轴的双曲柱面母线平行于null定义 一条平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.(3) 旋转曲面旋转轴null求由平面曲线绕轴旋转一周所得的旋转面方程。则null同理：null 例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双曲面null旋转椭球面旋转抛物面2）绕轴；面上椭圆null4）面上直线圆锥面绕轴；null(4) 锥面null例5 建立以椭圆为准线，坐标原点为顶点的锥面方程。解椭圆锥面 二 曲线方程的概念 二 曲线方程的概念空间曲线的一般方程 曲线上点的坐标都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上点的坐标不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：1 空间曲线的一般方程null例1 方程组解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.表示怎样的曲线？null空间曲线的参数方程2 空间曲线的参数方程随着参数的变化可得到曲线上的全部点.null螺旋线的参数方程取时间t为参数，解例2 如果空间一点在圆柱面出发，以角速度绕轴旋转，沿平行轴的正方向上升（其中都是常数），构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．同时又以线速度于那么点上从点null螺旋线的参数方程还可以写为解参数式方程为null以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：3 空间曲线在坐标面上的投影null类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影null例4 求曲线解在坐标面上的投影.null（2）因为曲线在平面上，面上的投影为在null截线方程为解例5 求抛物面与平面 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.null例6解半球面和锥面的交线为一个圆,三 二次曲面的截痕法三 二次曲面的截痕法二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之二次曲面． 相应地三元一次方程所表示的曲面（平面）被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．null1 椭球面椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.null椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面与椭球面的区别：球面null2 抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：null双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：图形如下：null3 双曲面单叶双曲面双叶双曲面