20
ߎഎ⚍ M 1 ( 2 , 2 )Ϣ⚍ M 2 ( 3 , 7 )໘ⱘẃᑺⶶ䞣ˈⳟ݊ᰃ৺ヺড়ϟ䴶џᅲ˖
˄1˅ẃᑺㄝؐ㒓䕗ᆚ໘ⱘ䕗ˈ䕗⿔໘ⱘ䕗ᇣ˗
˄2˅↣ϔ⚍໘ˈẃᑺൖⳈѢ䖛䆹⚍ⱘㄝؐ㒓ˈᑊᣛ uⱘᮍDŽ
2. ⫼ҹϟѠ⊩∖᭄䞣എ u൜ xyൕ yzൕ zx⚍ P ( 1 , 2 ,3 )໘⊓݊ⶶᕘᮍⱘᮍᇐ᭄DŽ
˄1˅Ⳉᑨ⫼ᮍᇐ᭄݀ᓣ˗
˄2˅Ўẃᑺ䆹ᮍϞⱘᡩᕅDŽ
3. ∖᭄䞣എ u൜ x2 ൕ 2y2 ൕ 3z2 ൕ xyൕ 3xൖ 2yൖ 6z ⚍ O˄0ˈ0ˈ0˅Ϣ A˄1 1ˈ 1ˈ˅໘ẃᑺ
ⱘᇣᮍԭᓺDŽজ䯂ાѯ⚍ϞⱘẃᑺЎ�0˛
4. 䅵ㅫϟ䴶᭄䞣എⱘ u˖
˄1˅ u൜ x2y3z4˗ ˄2˅ u൜ 3x2ൖ 2y2ൕ 3z2
5. 䆒 r൜ xiൕ y jൕൕ zkˈr൜ r ˈnЎℷᭈ᭄
˄1˅∖ r2ˈrnˈf ( r )
˄2˅䆕ᯢ ( aڅr )൜ aˈ˄aЎᐌⶶ˅
6. 䆕ᯢ grad uЎᐌⶶⱘᖙ㽕ܙߚᴵӊᰃ uЎ㒓ᗻߑ᭄
u൜ axൕ byൕ czൕ d ˄a , b , c , d Ўᐌ᭄˅
ϝ㡖��ⶶ䞣എⱘ䗮䞣ঞᬷᑺ
䖭䞠៥Ӏܜҟ㒡ϸϾᐌ⫼ᴃ䇁˖˄�˅�᳝䖲㓁䕀ࡼߛ㒓ⱘ᳆㒓ˈ⿄Ўܝ⒥᳆㒓˗
˄�˅�᳝䖲㓁䕀ࡼ⊩㒓ⱘ᳆䴶ˈ⿄Ўܝ⒥᳆䴶DŽЎњㅔ֓䍋㾕ˈ៥Ӏᡞ⬅᳝䰤↉ϡⳌ
Ѹⱘܝ⒥᳆㒓䖲៤᳆㒓ˈিخㅔऩ᳆㒓˗㗠⬅᳝䰤ഫϡⳌѸⱘܝ⒥᳆䴶䖲៤ⱘ᳆䴶ˈি
خㅔऩ᳆䴶DŽᑊЎњ䅼䆎ᮍ֓ˈ៥Ӏ؛ᅮ˖ҹৢ᠔䆆ࠄⱘ᳆㒓䛑ᰃㅔऩ᳆㒓˗᠔䆆ࠄⱘ᳆
䴶ˈ䛑ᰃㅔऩ᳆䴶DŽ
� � ℸˈЎњऎߚ᳆䴶ⱘϸջˈᐌᐌপᅮ݊ЁⱘϔջЎ᳆䴶ⱘℷջˈᑊ㾘ᅮ᳆䴶ⱘ⊩
ⶶ nᰃᣛℷջⱘ˗བᵰ᳆䴶ᰃᇕ䯁ⱘˈ߭ᣝдᛃᘏᰃপ݊ջЎℷջDŽ䖭⾡পᅮњℷջ
ⱘ᳆䴶ˈিخ᳝᳆䴶DŽ
���䗮䞣
ܜⳟϔϾ՟ᄤˈ䆒᳝⌕䗳എ v ( M )ˈ݊Ё⌕ԧⶶϡৃय़㓽ⱘ˄े⌕ԧПᆚᑺᰃϡব
ⱘ˅ˈЎњㅔ֓ˈϡོ؛ᅮ݊ᆚᑺЎ 1γDŽ䆒 S ЎഎЁϔ᳝᳆䴶ˈ៥Ӏᴹ∖ऩԡᯊ䯈
ݙ⌕ԧℷջこ䖛 S ⱘ⌕䞣 Q DŽ
Ўℸˈ S Ϟপϔ᳆䴶ܗ㋴ dSˈৠᯊজҹ dS 㸼݊䴶⿃ˈ
M Ў dS Ϟӏϔ⚍ˈ⬅Ѣ dS ⫮ᇣˈৃҹᇚ݊Ϟ↣ϔ⚍໘ⱘ⌕
䗳ⶶ䞣 vϢ⊩ⶶ n䛑䖥ԐഄⳟϡবˈϨ䛑Ϣ M ⚍໘ⱘ vϢ
nⳌৠDŽ䖭ḋˈ⌕ԧこ䖛 dS ⱘ⌕䞣 dQˈህ䖥ԐഄㄝѢҹ dS
Ўᑩ䴶⿃ˈvnЎ催ⱘ᷅ԧԧ⿃˄ 2ൖ 7˅ˈे
dQ൜ vndS ( 3.1 )
dQ൜ vڅdS ( 3.2 ) 2ൖ7
S
vn
M
dS
v
n
* ҹৢˈᦤࠄ⌕䗳എП໘ˈഛЎℸ؛ᅮˈ㗠ϡݡ䇈ᯢDŽ
Administrator
高亮
21
݊Ё dS Ў⚍ M ໘ⱘ䖭ḋϔϾⶶ䞣ˈ݊ᮍϢ nϔ㟈,݊
ㄝѢ䴶⿃ dSˈབ˄2ൖ 8˅DŽℸˈऩԡᯊ䯈ݙℷջこ䖛
᳆䴶 S ⱘ⌕䞣ˈህৃ⫼᳆䴶⿃ߚ㸼⼎Ў
� � � � � Q൜ vndS
S
൜ vڅdS
S
Ǥ������������������������������������������ ( 3.3 )
џᅲϞˈ䖭⾡ᔶᓣⱘ᳆䴶⿃ߚˈ݊Ҫⱘⶶ䞣എЁгᐌᐌ
⺄ࠄDŽ՟བ˖⬉ԡ⿏ⶶ䞣 DߚᏗⱘ⬉എЁˈこ䖛᳆䴶 S ⱘ⬉
䗮䞣
Ȱe ൜ DndS
S
൜ DڅdS
S
Ǥ������������������������������������������������������������������������������ ( 3.4 )
⺕ᛳᑨᔎᑺⶶ䞣 BߚᏗⱘ⺕എЁˈこ䖛᳆䴶 S ⱘ⺕䗮䞣
Ȱ൜ BndS
S
൜ BڅdS
S
���������������������������������������������������������������������������������� ( 3.5 )
Ўњ֓Ѣⷨおˈ᭄ᄺϞህᡞᔶབϞ䗄ⱘϔ㉏᳆䴶⿃ߚˈὖᣀ៤Ў䗮䞣ⱘὖᗉˈ݊ᅮНབ
ϟDŽ
� � ˄�˅䗮䞣ⱘᅮН˖䆒᳝ⶶ䞣എ A ( M )ˈ⊓݊Ёᶤϔᮍ᳆䴶 S ⱘ᳆䴶⿃ߚ
Ȱ൜ AndS
S
൜ AڅdS
S
������������������������������������������ ( 3.6 )
িخⶶ䞣എ A ( M )ℷջこ䖛᳆䴶 S ⱘ䗮䞣DŽ
㢹 A൜A1ൕA2ൕĂൕAn൜¦ Ai
i൜1
n
���᳝߭
� � � � � � � � � � � � � � � � � � �Ȱ൜ AڅdS
S
൜
§
¨¨
¨
©
·
¸¸
¸
¹
¦ Ai
i൜1
n
څdS
S
൜¦ AiڅdS
Si൜1
n
൜¦Ȱ i
i൜1
n
������������� ( 3.7 )
ℸᓣ㸼ᯢˈ䗮䞣ᰃৃҹࡴⱘDŽ
Ⳉ㾦തᷛ㋏Ёˈ䆒
� � � � � � � � � A൜P ( x , y , z ) iൕQ ( x , y , z ) jൕR ( x , y , z ) k
জ dS൜ dScos ( n , x ) iൕ dScos ( n , y ) jൕ dScos ( n , z ) k
൜ dydz iൕ dxdz jൕ dxdy k
߭䗮䞣ৃҹݭ៤
Ȱ൜ AڅdS
S
൜ PdydzൕQdxdzൕRdxdy
S
�������������������������������������������������� ( 3.8 )
՟ �� 䆒⬅ⶶᕘ r൜ xiൕ yjൕ zk ᵘ៤ⱘⶶ䞣എЁˈ᳝ϔ⬅䫹䴶 x 2 ൕ y 2 ൜ z 2 ঞᑇ䴶
z൜H ( H>0 )᠔ೈ៤ⱘᇕ䯁᳆䴶 Sˈབ˄2ൖ 9˅DŽ䆩∖Ң S ݙこߎ S ⱘ䗮䞣ȰDŽ
� � � �㾷˖ҹ S1㸼⼎᳆䴶 S ⱘᑇ䴶䚼ߚˈҹ S 2㸼݊䫹䴶䚼ߚˈ߭
Ȱ൜ ױ rڅdS
S
൜ rڅdS
S 1
ൕ rڅdS
S 2
݊Ё� � � � � rڅdS
S 1
൜ xdydzൕ ydxdyൕ zdxdy
S 1
� � � � � � � � � � � � � ൜ Hdxdy
ɐ 1
൜H dxdy
ɐ 1
൜HڅɎ�H 2 ൜Ɏ�H 3
ɐ 1Ў S1 xOyϞⱘᡩᕅऎඳ S 2 Ϟ r٤ nˈᬙ᳝
� 2ൖ8
n
M dS
dS v
H
z
O
x
y
� 2ൖ9
Administrator
高亮
Administrator
高亮
Administrator
高亮
Administrator
高亮
22
rڅdS
S 2
൜ rndS
S 2
൜ 0
᠔ҹ Ȱ൜ ױ rڅdS
S 1
൜ rڅdS
S 1
൜Ɏ�H 3
� � � �䗮䞣ЎℷˈЎ䋳ˈЎ䳊ᯊⱘ⠽⧚ᛣНDŽ� ៥Ӏҡ⫼⌕䗳എ v ( M )ᴹ䇈ᯢ˖
� � ࠡ䴶䇈䖛ˈऩԡᯊ䯈ݙℷջこ䖛᳆䴶ܗ㋴ dS ⱘℷջᯊˈv Ϣ nⳌѸ៤䫤㾦ˈℸ
ᯊ dS ⱘ⌕䞣Ў
dQ൜ vڅdS.
䖭ᅲ䰙ϞᰃϔϾҷ᭄ؐDŽЎˈᔧ v ᰃҢ dS ⱘ䋳ջこࠄ dS ⱘℷջᯊˈv Ϣ n ⳌѸ៤䫤
㾦ˈℸᯊ dQ൜ vڅdS >0Ўℷ⌕䞣[ 2ൖ 10˄a˅ ]˗ডПˈབ v ᰃҢ dS ⱘℷջこࠄ dS ⱘ
䋳ջᯊˈvϢ nⳌѸ៤䩱㾦ˈℸᯊ dQ൜ vڅdS <0Ў䋳⌕䞣[ 2ൖ 10˄b˅ ]DŽ
ℸˈᇍѢᘏ⌕䞣 vڅdS
S
ϔ㠀ᑨ⧚㾷Ў˖ऩԡᯊ䯈ݙ⌕ԧℷջこ䖛᳆䴶 S ⱘℷ⌕䞣Ϣ䋳⌕䞣ⱘҷ᭄DŽ᠔ҹˈ
ᔧ Q >0ᯊˈህ㸼⼎ℷջこ䖛 S ⱘ⌕䞣Ѣ⊓Ⳍডᮍこ䖛 S ⱘ⌕䞣˗ৠ⧚ˈᔧ Q <0
Q൜ 0ᯊˈ߭㸼⼎ℷջこ䖛 S ⱘ⌕䞣ᇥѢㄝѢ⊓Ⳍডᮍこ䖛 S ⱘ⌕䞣DŽ
བᵰ S Ўϔᇕ䯁᳆䴶ˈ߭⌕䞣
Q൜ ױvڅdS
S
㸼⼎Ңݙこߎ S ⱘℷ⌕䞣ϢҢこܹ S ⱘ䋳⌕䞣ⱘҷ᭄DŽҢ㗠ᔧ Q >0ᯊˈህ㸼⼎⌕ߎ
Ѣ⌕ܹˈℸᯊ S ݙᖙ᳝ѻ⫳⌕ԧⱘ⊝⑤DŽᔧ✊ˈгৃ㛑䖬᳝ᥦ⊘⌕ԧⱘⓣ⋲ˈԚ᠔ѻ
⫳ⱘ⌕ԧᖙᅮѢᥦ⊘ⱘ⌕ԧDŽℸˈ Q >0ᯊˈϡ䆎 S ݙ᳝᮴ⓣ⋲ˈ៥Ӏᘏ䇈 S ݙ᳝
ℷ⑤˗ৠ⧚ˈᔧ Q <0ᯊˈ៥Ӏህ䇈 S ݙ᳝䋳⑤DŽ
ձℸˈϔ㠀ⱘⶶ䞣എ A ( M )ЁˈᇍѢこߎᇕ䯁᳆䴶 S ⱘ䗮䞣 Ȱˈ៥Ӏг㾚݊Ўℷ
Ў䋳㗠䇈 S ݙ᳝ℷ⑤䋳⑤DŽ㟇Ѣ݊⑤ⱘᅲ䰙ᛣНЎԩˈᑨ㾚ԧⱘ⠽⧚എ㗠ᅮDŽ
�՟����⚍⬉㥋 q᠔ѻ⫳ⱘ⬉എЁˈӏԩϔ⚍ M ໘ⱘ⬉ԡ⿏ⶶ䞣Ў
� � � � � � � � � � � � � D൜ q
4Ɏ �r2
rι
2ൖ10
v
n
dS
( a )
v
n
dS
( b )
Administrator
高亮
Administrator
高亮
Administrator
高亮
Administrator
高亮
23
݊Ё r ᰃ⚍⬉㥋 qࠄ⚍ M ⱘ䎱⾏ˈrιᰃҢ⚍⬉㥋 qᣛ⚍ M ⱘऩԡⶶ䞣DŽ䆒 S Ўҹ⚍⬉
㥋ЎЁᖗˈRЎञᕘⱘ⧗䴶ˈ∖Ңݙこߎ S ⱘ⬉䗮䞣 ȰeDŽ
� � � �㾷˖བ˄2ൖ 11˅ˈ⧗䴶 S Ϟᘦ᳝ r൜RˈϨ rιϢ
⊩ⶶ nⱘᮍϔ㟈DŽ᠔ҹ
Ȱe ൜ ױDڅdS
S
൜ q
4ɎR2 ױ rιڅdSS
� � � � � � � � ൜ q
4ɎR2 ױdSS ൜
q
4ɎR2
څ4ɎR2൜ q
ৃ㾕ˈ⧗䴶 S ݙѻ⫳⬉䗮䞣 Ȱeⱘ⑤ˈЗᰃ⬉എЁⱘ⬉㥋 q.
ᔧ qЎℷ⬉㥋ᯊЎℷ⑤˗ᔧ qЎ䋳⬉㥋ᯊेЎ䋳⑤DŽ
� � ���ᬷᑺ
⬅Ϟ䗄ৃⶹˈⶶ䞣എ A ( M )ЁˈᇍѢこߎ䯁᳆䴶 S ⱘ䗮䞣 Ȱˈ៥Ӏৃҹ㾚݊Ўℷ
Ў䋳ᕫⶹ S ݙ᳝ℷ⑤䋳⑤DŽԚҙℸ䖬ϡ㛑њ㾷⑤ⱘ S ݙⱘߚᏗᚙމҹঞ⑤ⱘᔎᔅᑺㄝ
䯂乬DŽЎњⷨおℸ䯂乬ˈ៥Ӏᓩܹⶶ䞣എⱘᬷᑺὖᗉDŽ
� � ˄�˅ᬷᑺⱘᅮН˖䆒᳝ⶶ䞣എ A ( M )ˈѢഎЁϔ⚍ M ໘ϔࣙ M ⚍ݙⱘӏϔ
䯁᳆䴶 Sˈ䆒݊᠔ࣙೈⱘぎ䯈ऎඳЎ πˈҹοV 㸼݊ԧ⿃ˈҹοȰ㸼Ң݊ݙこߎ S ⱘ䗮䞣DŽ
㢹ᔧ� πҹӏᛣᮍᓣ㓽 M ⚍ᯊˈ↨ᓣ
οȰ
οV
൜
ױAڅdS
S
οV
Пᵕ䰤ᄬˈ߭⿄ℸᵕ䰤Ўⶶ䞣എ A ( M )⚍ M ໘ⱘᬷᑺˈ䆄 div Aˈे
div A൜ lim
π՜M
οȰ
οV
൜ lim
π՜M
ױAڅdS
S
οV
����������������������������������������������� ( 3.9 )
⬅ℸᅮНৃ㾕ˈᬷᑺ div AЎϔ᭄䞣ˈ㸼⼎എЁϔ⚍໘ⱘ䗮䞣ᇍԧ⿃ⱘব࣪⥛ˈгህ
ᰃ䆹⚍໘ᇍϔϾऩԡԧ⿃ᴹ䇈᠔こߎП䗮䞣ˈ⿄Ў䆹⚍໘⑤ⱘᔎᑺDŽℸˈᔧ div AП
ؐϡЎ䳊ᯊˈ݊ヺোЎℷЎ䋳ˈህ乎㸼⼎䆹⚍໘᳝ᬷথ䗮䞣Пℷ⑤᳝ᬊ䗮䞣ⱘ
䋳⑤ˈ݊㒱ᇍؐ div A ህⳌᑨഄ㸼⼎䆹⚍໘ᬷথ䗮䞣ᬊ䗮䞣ⱘᔎᑺ˗㗠ᔧ div AП
ؐЎ䳊ᯊˈህ㸼⼎䆹⚍໘᮴⑤DŽ⬅ℸˈ⿄ div Aء 0ⱘഎЎ᮴⑤എDŽ
� � ˄2˅ᬷᑺⳈ㾦തᷛ㋏Ёⱘ㸼⼎ᓣDŽᬷᑺⱘᅮНᰃϢതᷛ㋏᮴݇ⱘDŽϟ䴶ⱘᅮ⧚ˈ㒭
ߎњᅗⳈ㾦തᷛ㋏Ёⱘ㸼⼎ᓣDŽ
ᅮ⧚��Ⳉ㾦തᷛ㋏Ёˈⶶ䞣എ A൜P ( x , y , z ) iൕQ ( x , y , z ) jൕR ( x , y , z ) k ӏϔ
⚍ M ( x , y , z )໘ⱘᬷᑺЎ
div A൜ μP
μx
ൕ μQ
μy
ൕ μR
μz
������������������������������������������������������������� ( 3.10 )
䆕˖οȰ൜ ױAڅdS
S
൜ ױPdydzൕQdxdzൕRdxdy
S
� � � � � � � � � � � ൜ׯ
§
¨¨
¨
©
·
¸¸
¸
¹
μP
μx
ൕ μQ
μy
ൕ μR
μz
dV
D
����������������������������������������������������� (⬅༹⇣݀ᓣ )
q rι
� 2ൖ11
M
n
S
Administrator
高亮
Administrator
高亮
Administrator
高亮
Administrator
高亮
Administrator
高亮
Administrator
高亮
Administrator
高亮
Administrator
高亮
24
൜ μP
μx
ൕ μQ
μy
ൕ μR
μz
Mγ
οV (⬅Ёؐᅮ⧚ )
݊Ё MγЎ� πݙⱘᶤϔ⚍DŽ⬅ℸ
� � � � � � �����������������������������div A൜ lim
π՜M
οȰ
οV
൜ lim
π՜M
μP
μx
ൕ μQ
μy
ൕ μR
μz
Mγ
ᔧ π�㓽 M ⚍ᯊˈMγህ䍟Ѣ⚍ MDŽ᠔ҹ
div A൜ μP
μx
ൕ μQ
μy
ൕ μR
μz
� � � �⬅ℸᅮ⧚ˈ៥Ӏৃҹᕫࠄϟ䴶ⱘ䆎˖
� � 䆎����div A൜څA. ˄㾕 �ㅫᄤⱘ䖤ㅫ㾘߭˅
� � � �䆎 ���༹⇣݀ᓣৃҹݭ៤བϟⱘⶶ䞣ᔶᓣ˖
� � � � � � � � � ױAڅdS
S
൜ׯdiv AdV
π
�������������������������������������������������������� ( 3.11 )
䆎 ����⬅䆎 2ৃⶹ˖㢹ᇕ䯁᳆䴶 S ݙ໘໘᳝ div A൜ 0ˈ߭
ױAڅdS
S
൜ 0
䆎 �� 㢹എݙᶤϔ⚍˄ऎඳϞ˅᳝ div A൝ 0 div Aϡᄬˈ㗠݊Ҫⱘ⚍Ϟ
䛑᳝ div A൜ 0 DŽ߭こߎࣙೈ䖭ѯ⚍˄ऎඳ˅ⱘӏϔᇕ䯁
᳆䴶ⱘ䗮䞣䛑ⳌㄝˈेЎϔᐌ᭄DŽ
䆕˖བ˄2ൖ 12˅ˈ䆒 div A൝ 0 div AϡᄬП⚍
ऎඳ RݙDŽӏϸᓴࣙೈ RݙԚѦϡⳌѸⱘᇕ䯁᳆
䴶 S1Ϣ S 2ˈߚ߿ҹ n1 , n2Ў݊⊩ⶶ䞣DŽ߭ S1Ϣ S 2
᠔ࣙೈⱘऎඳ π�Ϟˈ໘໘᳝ div A൜ 0 DŽձℸˈ⬅༹⇣݀ᓣ᳝
ױ AڅdS൜ׯdiv AdV
DS 1ൕ S 2
൜ 0
े᳝
ױ AndS
S 1ൕ S 2
൜ 0
݊Ё An㸼⼎ⶶ䞣 A π�ⱘ䖍⬠᳆䴶Ϟⱘ⊩ⶶ nⱘᮍϞⱘᡩᕅ˗㗠 n S1ϞϢ n1
ⳌৠˈԚ S 2Ϟ߭Ϣ n2 ⱘᣛⳌডˈℸˈ⬅Ϟᓣ᳝
� � � � � � � � � �ױAn1dS
S 1
ൖ ױAn2 dS
S 2
൜ 0
⿏乍ेᕫ
�ױAn1dS
S 1
൜ ױ An2 dS
S 2
� � ����՟ �� ⚍⬉㥋 q ᠔ѻ⫳ⱘ䴭⬉എЁˈ∖⬉ԡ⿏ⶶ䞣 D ӏԩϔ⚍ M ໘ⱘᬷᑺ div
DDŽ
� � 㾷˖প⚍⬉㥋᠔П⚍Ўതᷛॳ⚍DŽℸᯊ
� � � � � � � D൜ q
4Ɏ �r3
rˈ݊Ё r൜ xiൕ yjൕ zkˈr൜ r
2ൖ12
π
R
n2
S2
n1
S1
Administrator
高亮
Administrator
高亮
Administrator
附注
???????????
25
ℸ Dx ൜
qx
4Ɏ �r3
ˈDy ൜
qy
4Ɏ �r3
ˈDz ൜
qz
4Ɏ �r3
Ѣᰃ᳝� � � � � � �
μDx
μx
൜ q
4Ɏ
r2ൖ3x2
r5
ˈ
μDy
μy
൜ q
4Ɏ
r2ൖ3y2
r5
ˈ
μDz
μz
൜ q
4Ɏ
r2ൖ3z2
r5
᠔ҹ div D൜
μDx
μx
ൕ
μDy
μy
ൕ
μDz
μz
൜ q
4Ɏ
3r2ൖ3( x2ൕ y2ൕ z2 )
r5
൜ 0 ( r൝ 0 )
ৃ㾕ˈ䰸⚍⬉㥋 q ᠔ⱘॳ⚍˄r൜ 0 )ˈ⬉എⱘᬷᑺ໘໘Ў䳊ˈेЎϔ᮴⑤എDŽℸˈ
ḍ䆎 4՟ 2ⱘ㒧ᵰˈৃⶹ⬉എこ䖛ӏԩࣙ⚍⬉㥋 qݙⱘᇕ䯁᳆䴶 S ⱘ⬉䗮䞣䛑
ㄝѢ qˈे
Ȱe ൜ ױDڅdS
S
൜ q
ࠡ䴶䆆䖛ˈ䗮䞣ᰃৃҹࡴⱘDŽᬙ㢹᳝ nϾ⚍⬉㥋 q1, q2,Ăˈqn ߚᏗϡৠⱘ nϾ⚍
Ϟˈ߭こߎࣙೈ䖭 mϾ⚍⬉㥋ݙⱘӏϔᇕ䯁᳆䴶 S ⱘ⬉䗮䞣 Ȱeˈህৃҹⳟ៤ᰃ⬅ S ݙ
↣ϔ⚍⬉㥋 qi ( i൜ 1, 2Ăˈn )᠔ѻ⫳ᑊこߎ S ⱘ⬉䗮䞣� Ȱi ൜ qiⱘҷ᭄ˈे᳝
Ȱe ൜¦Ȱi
i൜1
n
൜¦qi
i൜1
n
൜Q ( 3.12 )
ℸ㒧ᵰ䇈ᯢ˖こߎӏϔᇕ䯁᳆䴶 S ⱘ⬉䗮䞣ˈㄝѢ݊ݙ⚍⬉㥋ⱘҷ᭄DŽ䖭ህᰃ⬉ᄺϞ
ⱘ催ᮃᅮ⧚DŽ
� � ḍ催ᮃᅮ⧚ˈ⬉㥋䖲㓁ߚᏗⱘ⬉എЁˈ⬉ԡ⿏ⶶ䞣 DⱘᬷᑺЎ
div D൜ lim
π՜M
οȰe
οV
൜ lim
π՜M
οQ
οV
൜ɏ�������������������������������������������������� ( 3.13 )
݊ЁɏЎ⬉㥋ߚᏗⱘԧᆚᑺDŽ
� � � �˄3˅ᬷᑺ䖤ㅫⱘᴀ݀ᓣDŽ
� � � 1˅div ( cA )൜ c div A ˄cЎᐌ᭄˅
2˅div ( AൗB )൜ div Aൗ div B
3 ) div ( uA )൜ u div AൕAڅgrad u ˄uЎ᭄ᗻߑ᭄˅
д乬���
1. 䆒 S ЎϞञ⧗䴶 x2 ൕ y2 ൕ z2 ൜ a2 ( z ൢ 0 )ˈ݊⊩ⶶ nϢ Oz 䕈ⱘ།㾦Ў䫤㾦ˈ∖ⶶ䞣
എ r൜ xiൕ yjൕ zk n᠔ᣛⱘϔջこ䖛 S ⱘ䗮䞣DŽ[ᦤ⼎˖⊼ᛣ r Ϣ nৠᣛ ]
2. ∖⌕䗳എ v൜ ( xൕ yൕ x ) k ऩԡᯊ䯈ݙ⊩ⶶ n᠔ᣛⱘϔջ˄བ᠔⼎˅こ䖛᳆
䴶 x2 ൕ y2൜ z ( 0 ൡ z ൡ h )ⱘ⌕䞣DŽ
3. ∖ div A㒭ᅮ⚍໘ⱘؐ˖
˄1˅A൜ x3iൕ y3jൕ z3k M˄1ˈ0ˈൖ 1˅໘˗
˄2˅A൜ 4xiൖ 2xyjൕ z2k M˄1 1ˈˈ3˅໘˗
˄3˅A൜ xyzr ( r൜ xiൕ yjൕ zk ) M˄1ˈ3ˈ2˅໘˗
4. ∖ⶶ䞣എ AҢݙこߎ᠔㒭䯁᳆䴶 Sⱘ䗮䞣˖
˄1˅A=x3iൕ y3jൕ z3k. S Ў⧗䴶 x2ൕ y2 ൕ z2൜ a2
˄2˅A൜ ( xൖ yൕ z ) iൕ ( yൖ zൕ x ) jൕ ( zൖ xൕ y ) k . 2 乬
n
n
h
O
x
y
z
Administrator
高亮