高数 求导法则

null第二节第二节二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章 思路:思路:( 构造性定义 )求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了 两个重要极限初等函数求导问题本节内容机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则 一、四则运算求导法则 定理1.的和、差、积、商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 证: 此法则可推广到任意有限项的情形.设, 则故结论成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,(2)(2)证: 设则有故结论成立.推论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )例1. 例1. 解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)(3)证: 设则有故结论成立.推论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )例2. 求证例2. 求证证: 类似可证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、反函数的求导法则 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求反三角函数及指数函数的导数.例3. 求反三角函数及指数函数的导数.解: 1) 设则类似可求得利用, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 设2) 设则小结:机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则在点 x 可导,定理3.在点可导复合函数且在点 x 可导,证:在点 u 可导,故故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求下列导数:例4. 求下列导数:解: (1)(2)(3)说明: 类似可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 设例5. 设求解:思考: 若存在 , 如何求的导数?练习: 设机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 设例6. 设解:记则(反双曲正弦)的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、初等函数的求导问题 四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P63)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则2. 有限次四则运算的求导法则( C为常数 )3. 复合函数求导法则4. 初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明: 最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 例7. 求解:例8.设解:求机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 例9. 求解:关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10. 设例10. 设求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P 66 1 (2) , (4) , (7), (11) , (12) ; 2 (1) ,(4) ,(9) ; 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结求导公式及求导法则 (见 P63)注意: 1)2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .1.思考与练习对吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设2. 设其中在因故正确解法:时, 下列做法是否正确?在求处连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 求下列函数的导数3. 求下列函数的导数解: (1)(2)或机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 设4. 设求解: 1 利用导数定义.方法2 利用求导公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 设备用题 1. 设解：2 . 设解:求机动 目录 上页 下页 返回 结束