4.2 函数的凸性与拐点

null4.2 函数的凸性与拐点4.2.1 凸（凹）函数的概念定义4.2 函数的凸性与拐点注意： （1）曲线在切线的上方.（2）切线的斜率增加.null注意： （1）曲线在切线的下方.（2）切线的斜率减少.例1.例1.方法一：用定义4.2.2 函数凸性的充分条件和必要条件 定理7(一阶充分条件)4.2.2 函数凸性的充分条件和必要条件 定理7(一阶充分条件)null由拉格朗日中值定理，：定理8(二阶充分条件)定理8(二阶充分条件)方法二：用一阶充分条件（一阶导数的单调性）例1.证明证明：由泰勒公式得:证明两式相加,得null例1.例1.方法三：用二阶充分条件（二阶导数的符号）例2.例2.例3.例3.证明：定理9 函数凸（凹）的必要条件 （注意与定理8的区别）定理9 函数凸（凹）的必要条件 （注意与定理8的区别）证明证明证明（2）：4.2.3 凸函数的性质及其几何意义：4.2.3 凸函数的性质及其几何意义：几何意义：凸函数图形在任一点处切线的上方.几何意义：凹函数处曲线在切线的下方.可用来证明不等式.证明证明证明:由泰勒公式例4.例4.由性质1，当-1