积分

　 不定积分 一、基本要求： 1. 理解原函数与不定积分的概念，熟悉它们的性质； 2. 熟记不定积分的基本公式； 3. 熟练掌握不定积分的第一类与第二类换元法； 4. 熟练掌握不定积分的分部积分法； 5. 掌握较简单的有理分式函数与三角函数有理式的积分； 6. 掌握较简单的无理函数的积分； 7. 会查积分表。 二、疑难问： 问题4.1 原函数与不定积分有何区别与联系?                                   问题4.2 原函数存在的条件是什么？                                        问题4.3 怎样理解积分公式中的绝对值？                        问题4.4 不定积分有如下三种解法：       ，       这里是否矛盾？如何解释这种现象？                                     问题4.5 问这个解法对吗？                              问题4.6 求分段函数的原函数时，应当注意什么？                               问题4.7 用凑微分法计算这样做对吗？ 问题4.8 这样做错在哪里?  问题4.9 有理函数的不定积分，有哪些常用？                              问题4.10 是否对所有初等函数都可用通常的方法积出它们的原函数?  答：如果函数和在区间Ｉ上有定义，且， 　     则称是在Ｉ上的一个原函数。而原函数的 　     全体称为的不定积分，记为。 　     不定积分中的任意常数每取定一个值时， 　 就得到了的一个原函数。 答：若在区间Ｉ上连续，则原函数在Ｉ上存在。但要注意： 　     函数的连续性只是原函数存在的充分条件，而非必要条件。 　     例如               在内处处有:               所以在内存在原函数，但在内并不连续， 　  是的一个第二类间断点。 答：是在内的一个原函数，当时，由于，     因此是在内的一个原函数，将两者结合起来， 　     就有，表明公式在区间及内均成立。 答：以上三种解法都是正确的。因为，及 　     都是的原函数，相互之间只相差一个常数。 　     用不同的方法求不定积分时，经常会得到不同形式的原函数。 答：不对。因为，时并不等于被积函数，     实际上，只是函数在上的原函数。正确的解法是：    当时，  当时， 　  由原函数的连续性可知：   故，即。  答：在求分段函数的原函数时，应先分别求函数的各分段在相应区间 　     内的原函数，然后由原函数的连续性确定各分段上的任意常数 　     之间关系。例如：设              　 原函数可导，当然连续，所以有      故，（最后表达式只能一个任意常数）。 答：不对。我们总认为常数１的原函数是，但变元 　     是而非,如果写出换元，就会看得很清楚：    。 答：当一个式子中出现互为异号的不定积分时，消去后并不为零，     而是任意常数Ｃ。因为不定积分表示全体原函数，     而原函数之间相差一个常数。 答：当有理函数分母关于的幂次较高时，将函数分解成部分     分式是相当麻烦的。应当寻找其它的积分方法。例如：求     解法一.  原式     解法二.  原式   答：不是。对初等函数来说，在其定义区间上， 　     它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。     例如：函数 等， 　     它们的原函数不是初等函数。有时我们也称这些函数是“积不出来的”。 三、典型例题： 1．直接积分法： 例4.1 计算不定积分：注：在以下各题中，被积函数的结构及类型均有所不同，     但解题的思路和方法是一致的。都是将被积函数分解成部分项之和，     再逐项积分。这种分项积分的思想方法在以后各种积分法中经常用到。     (1)；                                                (2)；                                                   (3)；                                                        (4)；                                                      (5)。                                                     2. 第一类换元法（凑微分法） 常见的凑微分形式主要有： (1)，；(2)， (3)； (4) (5)； (6) (7)； (8)， (9)； (10) (11) 例4.2 计算不定积分：注：    凑微分法仍然是以基本积分公式为基础，可以说所有的积分方法最后都将归结为基本积分公式。    (1)；                                                      (2)；                                                     (3)；                                                   (4)      例4.3 计算不定积分：注：这组题的解题思路是先将被积函数进行分项,再逐项用凑微分法积分。  (1)；                                                    (2)；                                                        (3)；                                                       (4)    四、专题讨论：不定积分的一题多解     由前面的讨论可以看出，求函数的不定积分要比导数（微分）复杂得多，     解题的技巧性也强得多。因此，只有通过大量的练习才能熟练掌握求不定积分     的各种方法和技巧。此外，一个不定积分往往有多种解法，通过一题多解的练习，     可以开拓我们的思路，培养灵活的思维能力，更好地理解和比较各种方法与技巧，     达到举一反三，触类旁通的学习效果。 例4-20  试用多种方法计算不定积分： (1) ；      (2) 。 (1) 解法一：令，原式；     解法二：令     原式；     解法三：原式；     解法四：原式；     解法五：原式；令  ∴ 原式；  解法六：原式，  令，则  原式；      解法七：令，则      原式。 (2) 解法一：原式；     解法二：原式；     解法三：原式 INCLUDEPICTURE "G:\\网络-高数\\gsbk\\images\\ch4\\4-13.h70.gif" \* MERGEFORMATINET ；     解法四：原式；     解法五：原式；     解法六：原式 INCLUDEPICTURE "G:\\网络课件-高数\\gsbk\\images\\ch4\\4-13.h74.gif" \* MERGEFORMATINET ；     解法七：原式，令：，则             原式 INCLUDEPICTURE "G:\\网络课件-高数\\gsbk\\images\\ch4\\4-13.h79.gif" \* MERGEFORMATINET ；     解法八：令，则：             原式                 。  五、习题选解： 习题4-2 2(40)、。 解：令 原式     。 习题4-3 10、求 解：原式 习题4-4 12、求 解：原式 习题4-4 15、求 解法一：令         原式 解法二：原式 INCLUDEPICTURE "G:\\网络课件-高数\\gsbk\\images\\ch4\\4-14.h95.gif" \* MERGEFORMATINET              习题4-4 22、求 解法一：原式，令：，则，      原式 解法二：令，则，原式。 六、检测试题 检测题（四） 1．选择题：（每小题5分，共20分） (1) 设是正数，函数，则（  D  ）。                            （A）是的不定积分                （B）是的导数     （C）是的原函数                  （D）是的导数 (2) 设是连续函数，是的原函数，则下列结论正确的是（  A  ）            （A）当是奇函数时，必是偶函数     （B）当是偶函数时，必是奇函数     （C）当是周期函数时，必是周期函数     （D）当是单调增函数时，必是单调增函数  (3) 若的导函数是，则有一个原函数为（  B   ）                       (A)    (B)     (C)    (D) (4) 若，则                                                (A)     (B)     (C)    (D) 2．填空题：（每小题5分，共20分）                                            （1）          ；                                                （2）          ；                                                     （3）          ；                                               （4）设，则         。                          3．计算不定积分：（每小题6分，共48分）                                      (1)                                                              INCLUDEPICTURE "G:\\网络课件-高数\\gsbk\\images\\ch4\\4-18.h77.gif" \* MERGEFORMATINET                                                              (3)                                                                 (4)                                                      (5)                                                                (6)                                                               (7)                                                         (8)                                                            4.（6分）设，求。                                     5．(6分) 已知是的一个原函数，且，试求。  中值定理及导数的应用 一、基本要求     1. 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西定理和泰勒定理，会应用罗尔定理及拉格朗日        中值定理；     2. 掌握罗必塔法则的使用范围，并能熟练地运用这个法则；     3. 理解函数的极值概念；     4. 掌握求函数的极值、判断函数的增减性与函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点等方法，能        描绘函数的图形（包括水平和垂直渐近线）；     5. 会解决简单的最大值和最小值的应用问题；     6. 知道曲率和曲率半径的概念，并算曲率和曲率半径；     7. 知道求方程近似解的二分法和切线法。 二、疑难问题 问题3.1 函数在上是否满足罗尔定理的条件？                   问题3.2 如果函数在上满足罗尔定理的三条件，那未在         内至少存在一点，使得。问是否必是的极值点？           问题3.3 若函数在内单调递增，且在内可导，则必有吗？      问题3.4 单调函数的导数是否必为单调函数？                                   问题3.5 若函数的导函数单调，则该函数是否必定单调？                           问题3.6 若函数在区间内仅有一个驻点，则该点一定是函数的极值点吗？     问题3.7 设分别是函数的极大值点和极小值点，则必有成立吗？ 问题3.8 若函数在区间内有（或)，         其中使等号成立的只是有限个孤立点 INCLUDEPICTURE "G:\\网络课件-高数\\gsbk\\images\\ch3\\3-2.ht14.gif" \* MERGEFORMATINET ，         即有=0。问这时能断定在区间内是单调增（或减）吗？      问题3.9 设函数在包含点的开区间内可导，如果>0，由此可以断定         在点的某邻域内单调增吗？                                      问题3.10 任何型的未定式都可以用罗比塔法则求极限吗？                   问题3.11 数列极限可以直接用罗比塔法则求吗？                                 问题3.12 若充分大后函数可导，且( 常数)，则必有吗 三、典型例题 例3.1 设在上连续，在内可导，且，                          求证：存在。    例3.2 设在上，且可导，                                                证明：存在使得： 。 例3.3 试证明。                                例3.4 设在上连续，在内可导，，且≠１，                   证明在内必有唯一的ξ,使 例3.5 设在[0,]上连续，在(0,)内可导，                                       证明至少存在一点ξ∈(0,)，使得= 例3.6 设在上且在内取得最大值，                               试证明：||+||。 例3.7 若可导，试证在的两个零点之间一定有 INCLUDEPICTURE "G:\\网络课件-高数\\gsbk\\images\\ch3\\3-5.ht3.gif" \* MERGEFORMATINET 的零点。         例3.8 设在上连续，在内可导，且，。                      证明：存在，使。 例3.9 设在上二阶可导，且，，                    证明存在，使得。 　 四、专题讨论： 证明不等式的方法很多，这里仅介绍几种常用的方法。 1．利用微分中值定理。 例3.22 试证明：当时，。 证明:设，由拉格朗日中值定理有： ，ξ在0与之间     （1）若，则，即, 于是。     （2）若则， 即。          于是，由于，有即；     （3）若，有；      综上所述，当时，有。 例3.23 设，证明对任意有. 证明：不妨设，因为 INCLUDEPICTURE "G:\\网络课件-高数\\gsbk\\images\\ch3\\3-11.h4.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\网络课件-高数\\gsbk\\images\\ch3\\3-11.h5.gif" \* MERGEFORMATINET       所以。 2.利用函数单调性 例3.24 当时，证明：。 证明：先证，即证, 作函数，，       当时，>0，单调增加，所以。       再证：，即证。 令，         ，单调减少， 所以当时，       综上：当时， 例3.25 当时，证明。 证明：作函数，，             因此，f"(x)单调减少，=0，单调减少，=0,       即f(x)单调减少，, 也就是,       所以。