模糊集与模糊系统

： 针对上述描述的6种隶属函数进行设计。M为隶属函数的类型，其中M=1为高斯型隶属函数，M=2为广义钟形隶属函数，M=3为S形隶属函数，M=4为梯形隶属函数，M=5为三角形隶属函数，M=6为Z形隶属函数。如图1至图6所示。null*图1 高斯型隶属函数（M=1）null*图2 广义钟形隶属函数（M=2）null*图3 S形隶属函数（M=3）null*图4 梯形隶属函数（M=4）null*图5 三角形隶属函数（M=5）null*图6 Z形隶属函数（M=6）null*例2 设计评价一个学生成绩的隶属函数，在[0，100]之内按A、B、C、D、E分为五个等级，即{不及格，及格，中，良，优}。分别采用五个高斯型隶属函数来表示，建立一个模糊系统，仿真结果如图7所示。null*图7 高斯型隶属函数曲线四、模糊集运算*四、模糊集运算 U上所有模糊集的全体记为δ(U)，即： δ(U)={ A | μA: U→[0，1] } null*1、包含运算 设A,B∈δ(U)，若对任意u∈U，都有： μB(u)≤μA(u) 则称A包含B，记为：B A null*2、并、交、补运算 设A,B∈δ(U)，分别称A∪B, A∩B为A与B的并集、交集，称 A为A的补集。null* 它们的隶属函数分别为： μA∪B (u)= max {μA (u), μB(u) } u∈U   μA∩B (u)= min {μA (u), μB(u) } u∈U μ A (u)= 1-μA (u) null*例5、设U={ u1,u2,u3 } A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3 B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3 求：A∩B, A∪B及 A null*解： A∩B =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u3 =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3 A∪B =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u3 =0.6 / u1+0.8 / u2+0.7 / u3 A=(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3 =0.7 / u1+0.2 / u2+0.4 / u3 null*平衡算子当隶属函数取大、取小运算时，不可避免地要丢失部分信息，采用一种平衡算子可起到补偿作用。 设C=AoB，则 γ取值为[0，1]。当γ=0时， ，相当于A∩B时的算子。null*当γ=1时， 相当于A∪B时的算子。 平衡算子目前已经应用于德国Inform公司研制的著名模糊控制软件Fuzzy-Tech中。在模糊系统推理中，通常规则前提之间采用交运算中的代数积算子，规则前提与结论之间采用交运算中的代数积算子，规则之间采用模糊并运算算子。最后的结果再进行反模糊化。null* 模糊理论（2） 一、模糊集的λ水平截集*一、模糊集的λ水平截集1、λ水平截集 设A∈δ(U)，λ∈[0, 1], 且 Aλ={ u | u∈U, μA(u)≥λ} 则称Aλ为A的一个λ水平截集，λ称为阈值或置信水平。 null*2、λ水平截集性质 （1）设A,B∈δ(U)，则有： (A∪B)λ= Aλ∪Bλ (A∩B) λ= Aλ∩Bλ （2）若λ1，λ2∈[0, 1], 且λ1<λ2, 则 Aλ1 Aλ2 null28*3、核、支集 设A∈δ(U)，且 Ker A={ u | u∈U, μA(u)=1} Supp A={ u | u∈U, μA(u)>0} 则称Ker A为模糊集A的核，Supp A为模糊集A的支集。 null*4、正规模糊集 若KerA≠Φ，则称A为正规模糊集。 null*例1、设有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5 且λ分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的λ水平截集、核及支集。 null*解： （1）λ水平截集 A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 } A0.5={ u2,u3,u4,u5 } A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }二、模糊度*二、模糊度1、模糊度定义 设A∈δ(U)，d是定义在δ(U)上的一个实函数，如果它满足如下条件： （1）对任意A∈δ(U)， 有d(A)∈[0,1]； （2）当且仅当A是一个普通集合时，d(A)=0； （3）若A的隶属函数μA(u)≡0.5，则d(A)=1； null*（4）若A,B∈δ(U)，且对任意u∈U, 满足 uB(u)≤μA(u)≤0.5 或 uB(u)≥μA(u)≥0.5 则有 d(B)≤d(A) （5）对任意A∈δ(U)，有 d(A)=d( A) 则称d为定义在δ(U)上的一个模糊度，d(A)称为A的模糊度。 null*2、模糊度计算公式 （1）海明(haming)模糊度 其中，n是论域U中元素的个数， 1 μA (ui)≥0.5 μA 0.5(ui)= 0 μA (ui)＜0.5null*（2）欧几里德(Euclid)模糊度 null*（3）明可夫斯基(Minkowski)模糊度 null*例2、设U={ u1,u2,u3,u4 } A= 0.8/u1+0.9/u2+0.1/u3+0.6/u4 求A的模糊度 null*解： （1）海明模糊度 d(A)=2/4(| 0.8-1|+|0.9-1|+ |0.1-0|+|0.6-1|) =(0.2+0.1+0.1+0.4)/2 =0.4 null*（2）欧几里德(Euclid)模糊度 =0.47 三、模糊关系*三、模糊关系1、模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数μA (u)在R上连续，且具有如下性质： （1）A是凸模糊集，即对任意λ∈[0，1]，A的λ水平截集Aλ是闭区间； （2）A是正规模糊集，即存在u∈R，使 μA (u)=1 则称A为一个模糊数。null*2、笛卡尔乘积与关系 设U与V是两个集合，则称 U×V={ (u,v) | u∈U, v∈V } 为U与V的笛卡尔乘积。 若R属于U×V，则称R为从U到V的一个关系。记为： null*例3、设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 } V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J, Q, K } 求U×V 解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（梅花, K） } null*3、模糊关系 设Ui是（i=1,2,…n）论域，R是 U1×U2×…×Un上的一个模糊子集，则称R为U1×U2×…×Un上的一个n元模糊关系，记为： R= ∫ μR(u1, u2, …, un ) / (u1, u2, …, un) U1×U2×…×Un μR(u1, u2, …, un )是模糊关系R的隶属函数 null*例4、设有一组学生U: U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V: V={ 篮球，排球，足球，乒乓球 } 有不同的爱好，其爱好程度可以用下面的模糊关系来表示： null*null*4、模糊关系的合成 设R1与R2分别是U×V及V×W上的两个模糊关系，则R1与R2的合成是指从U到W的一个模糊关系，记为：R1·R2 其隶属函数为 μR1·R2 (u,w)= { μR1 (u,v) μR2 (v,w) } null*例5、设有如下两个模糊关系： 0.4 0.5 0.1 R1= 0.2 0.6 0.2 0.5 0.3 0.2 0.2 0.8 R2= 0.4 0.6 0.6 0.4 求 R1·R2 null*解： 0.4 0.5 R1·R2= 0.4 0.6 0.3 0.5 null*模糊系统的设计(1) 模糊系统的结构 单变量二维模糊系统是最常见的形式。 (2) 定义输入输出模糊集 例如,对误差E、误差变化EC的模糊集及其论域定义如下： E、EC的模糊集均为： E、EC的论域均为：{-3，-2，-1，0，1，2，3}null*(3) 定义输入输出隶属函数 模糊变量误差E、误差变化EC的模糊集和论域确定后，需对模糊语言变量确定隶属函数，确定论域内元素对模糊语言变量的隶属度。 (4) 建立模糊规则 根据人的经验，根据系统输出的误差及误差的变化趋势来设计模糊规则。模糊规则语句构成了描述众多被控过程的模糊模型。null*(5) 建立模糊控制表 模糊系统规则可采用模糊规则表来描述，共49条模糊规则，各个模糊语句之间是或的关系，由第一条语句所确定的控制规则可以计算出u1。同理，可以由其余各条语句分别求出控制量u2,…,u49，则系统输出为模糊集合U可表示为 null*表1 模糊规则表null*(6) 模糊推理 模糊推理是模糊系统的核心，它利用某种模糊推理算法和模糊规则进行推理，得出最终的控制量。 (7) 反模糊化 通过模糊推理得到的结果是一个模糊集合。常用的反模糊化为重心法.重心法 为了获得准确的控制量，就要求模糊方法能够很好的表达输出隶属度函数的计算结果。重心法是取隶属度函数曲线与横坐标围成面积的重心为模糊推理的最终输出值，即 *重心法 为了获得准确的控制量，就要求模糊方法能够很好的表达输出隶属度函数的计算结果。重心法是取隶属度函数曲线与横坐标围成面积的重心为模糊推理的最终输出值，即 null*对于具有m个输出量化级数的离散域情况null*1 模糊逼近设二维模糊系统 为集合 上的一个函数，其解析式形式未知。假设对任意一 个 ,都能得到 则可设计一个逼近的模糊系统。模糊系统的设计步骤为： 步骤1：在 上定义 个的、一致的和完备的模糊集。 模糊系统建模null* 步骤2：组建 条模糊集IF-THEN规则： ：如果 为 且 为 ，则 为 其中， 将模糊集 的中心（用 表示）选择为 (1)步骤3：采用乘机推理机，单值模糊器和中心平均解模糊器，根据 条规则来构造模糊系统 *步骤3：采用乘机推理机，单值模糊器和中心平均解模糊器，根据 条规则来构造模糊系统 (2)null* 在上述模糊系统推理中,规则前提之间采用交运算中的代数积算子,规则前提与结论之间采用交运算中的代数积算子,规则之间采用模糊并算子运算。最后的结果再进行反模糊化。null*下图为二维模糊系统示意图:null* 万能逼近定理表明模糊系统是除多项函数逼近器、神经网络之外的一个新的万能逼近器。模糊系统较之其它逼近器的优势在于它能够有效地利用语言信息的能力。万能逼近定理是模糊逻辑系统用于非线性系统建模的理论基础，同时也从根本上解释了模糊系统在实际中得到成功应用的原因。万能逼近定理null* 万能逼近定理 令 为式（2）中的二维模糊系统， 为式（1）中的未知函数，如果 在 上是连续可微的，模糊系统的逼近精度为： 式中，无穷维范数 定义为 。 (3)(4)null* 由(4)式可知：假设 的模糊集的个数为 ，其变化范围的长度为 ，则模糊系统的逼近精度满足即：null*由该定理可得到以下结论： （1）形如式（2）的模糊系统是万能逼近器，对任意给定的 ，都可将 和 选得足够小，使 成立。从而保证 （2）通过对每个 定义更多的模糊集可以得到更为准确的逼近器，即规则越多，所产生的模糊系统越有效。null（3）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道 关于 和 的导数边界，即 和 。同时，在设计过程中，还必须知道 在 处的值。null3 仿真实例 实例1 针对一维函数 ，设计一个模糊系统 ，使之一致的逼近定义在 上的连续函数 ，所需精度为 ，即 。 null 由于 ，由式（5.3）可知， ，故取 满足精度要求。取 ，则模糊集的个数为 。在 上定义31个具有三角形隶属函数的模糊集 ，如图1所示。所设计的模糊系统为： null 图1 隶属函数 null 一维函数逼近仿真程序见iden_fuzz1.m。逼近效果如图2和3所示 ： 图2 模糊逼近 null 图3 逼近误差 null实例2 针对二维函数 ，设计一个模糊系统 ，使之一致的逼近定义在 上的连续函数 所需精度为 。 null由于 由式（5.3）可知，取 ， 时，有 满足精度要求。由于 ，此时模糊集的个数为 即 和 分别在 上定义11个具有三角形隶属函数的模糊集 。 null所设计的模糊系统为： (5.6) 该模糊系统由 条规则来逼近函数 null 二维函数逼近仿真程序见iden_fuzz2.m 。 和 的隶属函数及 的逼近效果如图4至7所示 null图4 的隶属函数null 图5 的隶属函数 null 图6 模糊逼近 null图7 逼近误差nullTS Fuzzy rule base:The output of the fuzzy system:null*式中 即为无条件满足。在前提中 可不必列出。在线性的情况下，规则可以写成：Ri:这是Takagi—Sugeno一阶模型。要辨识的内容有：1）前件变量 的数目，决定系统的阶次，属于结构辨识2）隶属函数 — 前件参数 3）后件参数在前件中，如果 等于 的整个论域，（即 ），此项可略去， 无限定，成为无条件。譬如：null*R2R3R1 在输入空间已划分的情况下，模糊辨识的实质就是在所定义 的空间下，给出规则的集合。XY举例：用3条规则逼近原函数（如 右图)。输入-输出对的数据已知，这里假定只有1个输入变量,它被划分为3个模糊集合,即大、中、小。可描述的规则如下： R1R2R3If x 是If x 是If x 是bigsmallmiddle41007478.5Then y = 0.2x + 9Then y = 0.6x + 0.2 Then y = 1.2x - 3null*与传统的辨识方法相比，模糊辨识的特点在于： 1）可以用较少的规则来逼近函数； 2）可以用语言变量来表达。模糊辨识的一种方法及步骤针对Takagi—Sugeno（T—S）模型，辨识步骤： ⑴ 选择前件变量 ⑵ 前件参数辨识 ⑶ 后件参数辨识 非线性规划法最小二乘法算法的框架smallmiddlebig分层模糊系统*分层模糊系统 Tasks: (1) Determination of the hierarchical structure (2) Determination of the type of submodels (2) Parameter identification (3) Input/feature selection for each sub-models.Incremental or cascade architectureAggregated architecturenull* Our Ideas: Tree-structure based encoding The specific function operators Tree-structure based EA for hierarchical structure optimization Parameter optimization