概率积分的几种计算方法

青海师专学报(自然科学) JOURNAL OF QINGHAI JUNIOR TEACHERS� COLLEGE ( Natural Science Edition) � � 2002年第 5 期 No5. 2002� � 收稿日期: 2001- 01- 20 作者简介:李银奎( 1967- ) , 男,陕西宝鸡人,青海民族学院应用系讲师. 概率积分的几种计算方法 李银奎 (青海民族学院 应用数学系, 青海 西宁 810000) � � 摘 � 要:文章给出计算概率积分 !- ! e- x2 dx 的几种简便方法. � � 关键词:重积分; 线积分;面积分; 概率积分 � � 中图分类号: O211. 9 � 文献标识码: B � 文章编号: 1007- 0117( 2002) 05- 0022- 02 � � 概率积分 !- ! e- x2 dx 是很重要的积分之一, 在 数理方程、概率论等方面经常遇到, 且有广泛的应 用.而关于这个积分值的计算问题, 有不少人探讨 过,大多数方法要用到较深的预备知识,本文给出几 种所需预备知识少而又简便的计算方法. 方法一 � 用二重积分. 现有连续函数 f ( x, y ) = e- ( x2 + y2) 在正方形区域 D: ( - a ∀ x ∀ a; - a ∀ y ∀ a) ;园域 R1 : ( x2+ y2 ∀ a2 ) ; 园域: R2 : ( x2+ y2 ∀ 2a2 )上的二重积分分别为 I, I1 , I2 ,即: I = � D e - ( x 2 + y 2 ) dxdy= a- adx a- ae- ( x2+ y2) dy = ( a- ae- x2 dx) 2 I1 = � R 1 e - ( x 2 + y 2 ) dxdy= 2�0 d� a0r. e- r2dr = �( 1- e- a2 ) I2 = � R 2 e - ( x 2 + y 2 ) dxdy= 2�0 d� 2 a0 r. e- r2 dr = �( 1- e- 2a2 ) (用极坐标) 同时又因: I1 ∀ I ∀ I2 ,故有 lim a#+ ! I1 ∀ lima#+ ! I ∀ lima #+ ! I2 ,即有 lim a#+ ! ( a- ae- t 2 dt ) 2 = �,从而 !- ! e- x2 dx= �. 方法二 � 用三重积分. 首先我们把旋转体的体积概念推广到积分限无 穷的情况.再设 XOZ 平面上的曲线 Z= e- x2绕 Z 轴 旋转一周得到的曲面 Z= e- (x2+ y2 )与平面 XOY围成 的体V. 显然,一方面, 该体的体积 V= � v dxdydz= !- ! dx !- ! dy e- ( x2+ y2 )0 dz = ( !- ! e- x2dx) 2 另一方面,根据旋转体的体积公式有: V = 10s( X) dz= � 10x2dz= - � 10 lndz = - �. lim c #0 1clnzdz= � limc# 0 ( z- zlnz) | 1c= � 故有 !- ! e- x2 dx= �. 方法三借用直观的几何意义获解, 体现了数学 方法的多样性. 方法三 � 用线积分知识. 假定曲线 C1 : y= e- x2与 C2 : x 轴相交于无限远 处,设由闭曲线 C1+ C2 围成的闭区域为 G,由格林 公式有:区域 G的面积 s= � G dxdy= 1 2 ∃ c 1 + c 2 xdy- ydx,又面积 s= !- ! e- x2dx,所以有 !- ! e- x2 dx = 12 ( c1xdy- ydx+ c2 xdy- ydx) = 1 2 c 1 xdy- ydx = 1 2 ( !- ! 2x2e- x2dx+ e- x2 dx) 22 ( c1 : y= e - x 2从( + ! , 0)到( - ! , 0) ) 从而有: 1 2 !- ! e- x2 dx= !- ! x2e- x2 dx = 2 !0 x2 e- x2 dx= 2 !0 ue- udu(换元 x2= u) � � = ( 3 2 ) (参变量积分) = 1 2 ( 1 2 ) = 1 2 �(利用 ( 1 2 ) = �) 即有: !- ! e- x2 dx= � 方法三借助线积分, 格林公式及参变量积分等 基本知识,简捷明了,富有新意. 方法四 � 用面积分知识. 假定曲面 S1 : z= e- (x2+ y2 ) 与 S2 : xoy 平面相交于 无限远处, 设闭曲面 S1 + S2 围成闭体 V.由奥高公 式,闭体的体积 V= � v dxdydz= 1 3 S 1 + S 2 xdydz+ ydxdz+ zdxdy 由方法二知 V= ( !- % e- x2 dx) 2 从而有: ( !- % e- x2 dx) 2 = 13 �s 1 xdydz+ ydxdz+ zdxdy � + � S 2 xdydz+ ydxdz+ zdxdy] = 1 3 [ � S 1 xdydz+ ydxdz+ zdxdy 设曲面 S1 在 xy、xz、yz 平面上的投影区域分别 为 D, D1 , D2 , 则有: ( !- ! e- x2 dx) 2 = 1 3 [ 2 � D 1 - lnz- x 2 dxdz+ 2 � D 2 - lnz- y 2 dydz+ � D e - ( x 2 + y 2 ) dxdy] 显然有: � D 1 - lnz- x 2 dxdz = � D 2 - lnz- y 2 dydz 和 � D e - ( x 2 + y 2 ) dxdy= ( !- ! e- x2 dx) 2 故有( !- ! e- x2dx) 2= 2 � D 1 - lnz- x 2 dxdz = 2 10 dy - lnz- - lnz - lnz- x2dx = 4 10dz - lnz0 - lnz- x2 dx 而 - lnz0 - lnz- x2 dx= ( x2 - lnz- x2 + - lnz 2 arcsin x - lnz ) | - lnz 0 = - � 4 lnz 故有( !- ! e- x2dx) 2= 4 10 ( � 4 lnz) dz= � 即: !- ! e- x2 dx= � 以上几种方法既给了我们计算概率积分的具体 方法,同时也从另一角度揭示了微积分知识间的本 质联系,无疑对我们学好课程是大有益处的. 参考文献: [ 1] 刘玉琏,傅沛仁. 数学分析(第 3 版) . [M ] . 北京:高等教育出版社, 1992. [ 2] 四川大学数学系编.高等数学(第 1版) [ M] . 北京:人民教育出版社, 1978. Several Calculated Methods Of the Probability Integral LI Ying- kui ( Qinhai Nationality College, Xining Qinghai 810007, China) Abstract: In this paper, I gove several calculated methods of the probability integral. Key words: double integral; line integral; plane integral; probability integral 23 李银奎: 概率积分的几种计算方法