大学数学微积分模拟试题

课程编号：MTH17005 北京理工大学2010-2011学年第一学期 2010级《微积分A》期中试卷 班级 学号 姓名 成绩 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 总分 得分 一、填空（每小题2分，共10分） 1． 当 时，无穷小0→x 13110 6 −+ x 的阶为 . 2．已知 则极限,3)0(,0)0( =′= ff =−→ x xxf x cos1 )tan(lim 0 . 3．设 x xy x 1sinlntan += ，则 =′y . 4. 设函数 由方程 确定，则)(xyy = 0sin =−+ xye yx =dy . 5． x xxf += 1)( 3 的五阶麦克劳林展式为（皮亚诺余项） . 二、（9分）设 且01 >> ax ),,2,1(1 L==+ naxx nn 证明 存在，并求此极限值. nn x∞→lim 三、（9分）证明：当 时， . 1>x xxx ln212 +> 四、（9分）设 ，求⎩⎨ ⎧ −= −= tty tx sin cos1 ., 2 2 dx yd dx dy 五、（9分）设 , 2 1sin2 ++= xxxy 求 . )10(y 第 页 （共 2 页） 1 第 页 （共 2 页） 2 在六、（9分）设函数 y xbxxa ++= 2ln 11 =x 与 22 =x 都取得极值，求a, 值；并 判断 (f 1,x 取极大值还是极小值. 时 的 在 b )x 2x 是 七、（9分）设 具有一阶连续导数，且)(xf 2)0(,0)0(,0)0( =′′=′= fff ， 函数 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠= 0, 0,)()( xa x x xf xg ， （1） 确定 a的值，使 处处连续； )(xg （2） 对上面所确定的 a，证明 具有一阶连续导数. )(xg 八、（9分）求曲线 1 2 3 5 3 3 2 3 5 +−= xxy 的凹凸区间及拐点. 九、（9分）过椭圆 1 49 22 =+ yx 上第一象限的点 做椭圆的切线，该切线与两坐 标轴分别交于 两点，求点 使 ),( 00 yx OABBA, ),( 00 yx Δ 的面积最小. 十、（9分）求数列极限 ).11tan(lim 2 −∞→ nnnn 十一、（9分）设 在 上二阶可导，且)(xf ],[ ba 0)(,0)( <′′>′ xfxf ，证明在 内， 方程 ),( ba x af )( b xf )(xf − −=′ )( 有惟一的实根.