利用TI图形计算器探究2011年广东高考理科数学试题

- 1 - 利用 TI 图形计算器探究 2011 年广东高考理科数学试题 广州市第二中学数学科 邓军民 Email：gzdjm@qq.com 个人网站：数学驿站 www.maths168.com 2011 年的广东高考数学试题充分贯彻了《考试大纲》和《考试说明》的基本精神，立足现行高中数 学教材，注重基础知识考查,突出能力立意,虽然相比 2010 年广东试题在难度上有所提高，但试题难度仍 然比较适中．试题没有大起大落，有利于高校选拔人才，有利于教学，稳中有新，稳中有进．笔 者利用 TI 图形计算器（机型： TMTI Nspire CX CAS− 中文彩屏机），探究一下 2011 年广东高考理科数 学试题，以进一步挖掘今年考题的价值． 一、方程或不等式的求解 例 1． （2011 年广东理数第 1 题）设复数 z 满足 (1 ) 2i z+ = ，其中 i为虚数单位，则 z = A．1 i+ B．1 i− C．2 2i+ D． 2 2i− 解：按如下步骤操作： S1 按/~1 添加一个计算页面； S2 按 b3C1，在复数范围内解方程，求解 z ． 运算结果如右图．所以此题为 B． 点评：复数代数形式的四则运算，一直是广东高考数学的一 个重要的基础知识点，同时，考生还要了解复数代数形式的加、减运算的几何意义，这也是广东高考数学 的一个重要考点． 例 2． （2011 年广东理数第 9 题）不等式 1 3x x+ − − ≥0 的解集是 ． 解：按如下步骤操作： S1 按/~1 添加一个计算页面； S2 按 b31，求解不等式． 运算结果如右图．所以此题答案为[1, )+∞ ． 点评：绝对值不等式作为指定考试内容，近几年一直为广 东高考理科数学命题组的青睐，这类问题的解决重在代数问题 几何化或者利用分类讨论的数学思想去解决问题． 二、集合的运算 例 3． （2011 年广东理数第 2 题）已知集合 {( , ) | ,A x y x y= 为实数，且 2 2 1}x y+ = ， {( , ) | ,B x y x y= 为实数，且 }y x= ，则 A B∩ 的元素个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 - 2 - 解：按如下步骤操作： S1 按/~2添加一个图形页面； S2 直接输入 2 21( ) ( 1, )f x zeros x y y= + − 作图 2 2 1x y+ = ， 或按 b32，用圆的参数方程形式作图 2 2 1x y+ = ， S3 按 e，再直接输入 2 ( )f x x= ． 显示结果如右图．所以此题答案为 C． 点评：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，这是高考所要求的，在 求解的过程当中，要注意集合的元素是什么，譬如此题，集合的元素是点，最后问题转化为求两个图 像的交点．同时此题也渗透了数形结合的数学思想方法． 三、线性规划求最值 例 4． （2011 年广东理数第 5 题）已知平面直角坐标系 xOy上的区域D由不等式组 0 2 2 2 x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩ ≤ ≤ ≤ ≤ 给 定．若 ( , )M x y 为D上的动点，点 A的坐标为 ( 2,1)，则 z OM OA JJJJG JJJG= ⋅ 的最大值为 A． 4 2 B．3 2 C．4 D．3 解：按如下步骤操作： S1 按/~2添加一个图形页面， 利用．输入不等式，作出可行域； S2 作出直线 2y x= − ； S3 按 b1A插入游标 z ，设定默认范围为0 10∼ ； S4 做出目标函数直线 2y x z= − + ； S5 拖动游标 z ，观察最优解，测量最优解的坐标，并代入目标函数求最大值． 显示结果如右图．所以此题答案为 C． 点评：了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象 出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．这是高考对线性规划的要求．这种问题同时也体现了数 形结合数学思想的重要性．近几年广东高考在这个知识点考察的力度比较大，但是题目难度都不大，掌握 好基础知识即可解决此类问题． - 3 - 四、求函数的单调区间和极值 例 5． （2011 年广东理数第 12 题）函数 3 2( ) 3 1f x x x= − + 在 x = 处取得极小值． 解：按如下步骤操作： S1 按/~1 添加一个计算页面； S2 输入函数 3 2( ) 3 1f x x x= − + ； S3 利用 t键对函数求导； S4 按 b31 求解 '( ) 0f x > 及 '( ) 0f x < ； S5 按照极小值的定义判断结论． 显示结果如右图．所以此题答案为2 ． 点评：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多 项式函数一般不超过三次）；会求闭期间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．这 是广东高考的一个重要考点，对于这种基础题，掌握好极值的定义显得尤为重要． 五、回归分析 例 6． （2011 年广东理数第 13 题）某数学老师身高 176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、 170cm 和 182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm． 解：按如下步骤操作： S1 按/~4 添加一个电子表格页面； S2 按照题意，输入数据及每列的变量名 ,x y； S3 按/~5 添加一个数据统计页， 设置好纵横轴所关联的变量，得到散点图； S4 按b462显示回归直线； S5 按按/~1添加一个计算页面， 再按 b62·，直接查看统计结果． 显示结果如右图．所以此题答案为185． 点评：会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．了解最小二乘法 的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．这个知识点从 2007 年开始，一直是广 东高考数学的重点和热点． - 4 - 六、解析几何 例 7． （2011 年广东理数第 19 题）设圆 C与两圆 2 2( 5) 4x y+ + = ， 2 2( 5) 4x y− + = 中的一个 内切，另一个外切． （1） 求 C的圆心轨迹 L的方程； （2） 已知点 M（ 5 53 ， 5 54 ），F（ 5 ，0），且 P为 L上的动点，求 FPMP − 的最大值及此 时点 P的坐标． 解：由双曲线定义可知： 2 1 1 2|| | | || 4 2 | | 2 5 2CF CF a F F c∴ − = = < = = ， 故 C 的圆心轨迹 L 的方程为 2 2 1 4 x y− = ．按如下步骤操作： S1 按/~2添加一个图形页面； S2 按 b32用参数方程形式画出双曲线； S3 按 b71(输入点M 的坐标再按) ·； S4 用同样的方法作出点 F； S5 按 b72在双曲线上作一点P； S6 按 b75 利用线段功能作出 MFPΔ ； S7 拖动点P，由三角形两边之差小于第三边的原理可知 当点P在 x轴下方且 , ,M F P三点共线时， FPMP − 取到最大值． 显示结果如右图．所以此题答案为 max( ) | | 2MP FP MF− = = ． 点评：此题主要考查求曲线的轨迹方程、两点之间的距离、动点环境下求最值等知识, 考查数形结合、 化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识． 通过利用 TI 图形计算器对 2011 年的广东高考理科数学部分试题的研究，我们发现今年的考题显得更 为基础、生动、有趣，更具直观性．如果我们在教学中要充分发挥现代信息技术的优势，为学生在学习数 学的道路上提供丰富多彩的教育环境和努力学习的工具，优化我们的数学教学模式，这将充分激发学生的 学习兴趣，培养学生的参与意识．利用类似于 TI 图形计算器的手持技术辅助教学，更有利于突破教学难 点，培养学生抽象思维、空间想象能力，更有利于提高我们的课堂效率．