利用定积分定义求解极限问题小议

利用定积分定义求解极限问题小议 利用定积分定义求解极限问题小议 60 高等数学研究 S'I,UDIESINC()IIEGEMATHEMATICS V01.11,No.6 NOV..2008 利用定积分定义求解极限问题小议 陈,卜蕾(西北农林科技大学理学院陕西杨凌712100) 摘要和式的极限求解具有一定难度.在具体求解过程中很难套用常规的基本方法.根据其结构的特殊性, 通过对几个典型例题的具体讨论.发现可以利用定积分的定义来求解这一类和式的极限.对这种基本方法进行归 纳,从而可获求此类型极限问题的针对性解决. 关键词和式;积分;极限中图分类号0172 利用定积分定义求极限的方法.有一定的针对性和局限性,在复习总结中常常被忽略掉?,很 有必要对这种方法进行讨论归纳. 例l求极限lim(,//=.『+,==_+…,二_=_r).c r/. 解lim(v/_二二_『十,+…,r二;『二T)一,…一 i曼[骞一一号. 根据定积分定义,只要所求极限为特定的和式结构(由Ea,区间等分的每个小区间上任 一 点的函数值.厂(,)与该小区间长度乘积之和).就可以考虑将其转化为定积分来进行求解. 例2求极限n Ii , msin吉[十(一")](p>0,"<6) 解因一.c时.sin~+,f二\,所以:t/IJ … limsinl ni=1[删+i(b--a)]一)川砉[御+i(b--a)]一n +吾c…?b--a一1一赢. 这里取/(z)一,区问为["?,极限转化为Jd?若取厂(.'):Ea+(b一")z],区间为[0,1], 极限转化为j_:[n+(厶一a)-Id.后者较前者稍显复杂.恰当的选择积分限可以简化运 算. 例3求极I~lim'. "一一十十l 解螨一一lira骞南一!imE1~一'T覃il+], * 收稿El期:2008—0,1一l7;修改稿:2008,07一lO 第ll卷第6期陈小蕾:利用定积分定义求解极限问题4,议 这里需要注意 i=O i.上 是将区问,+l等分.先将表达式表示成区间的等分和另一部分的 和的形式,对其不易直接确定所使用的连续函数的形式,但由不等式 乓<l,j 知存在?(三,],使g一,于是 lim 例4 解 ?一 0南一[去萎1+ 求极限lim limln lim —o. ^,/'!' 1H 一,-..-.,-—-—-—----_二 "!一limIn 十n—t_ 一 +南一号. li … ra-- 1 n. nc十善,一J.:nd:2-n2一,."Jl !一lime'"{浮一limIn{:~21n2--1:4e. 可见某些乘积形式的极限问题,可采用取对数转化为和式的极限,进而利用定积分 的定义求解. 在历年的考研数学中也曾多次出现过利用定积分来求解极限和的形式,下例就是 在考研数一 复习中经常被作为典型代表出现的题. 例5c.] 解 求极限lira . 7r./不 Sln——s1n—— 翌-L翌 +1'.1 "—f 南(n,不)sin--+Sill--十..叶sinrr 利用夹逼原理,两端同时取极限有 所以 7『..27r 一—ThSln—— ", li~1(sin吾+sin十…十sin1一, +sinTr\., i … ta ly--sin詈一in舣d一2——?不 … lira(sin吾n+-'"+sinTr)一…lim:n?骞sin誓一. 1im "—?.. .7r.27r SlIl—SIIl一 上型 +1'1 "十— 9 不 利用定积分定义求解一类和式极限时,要注意和其他求解极限方法结合. 参考文献 E13同济大学应用数学系.高等数学[M].第五版.北京:高等教育出版社2005. [2]华东师范大学数学系.数学[M].北京:高等教育出版社2001. [3]陈文灯.数学复习[M].西安:世界图出版社.2006. 1H