数列求解策略数列通项的几种求法

数列通项的几种求法 王波 我们学过等差、等比数列的通项公式，等差数列通项 ，其中 为公差，等比数列 ， 为公比。然而我们经常遇到一些递推公式，它们的求解并非等比等差那么容易，而且方法十分灵活，难以掌握，怎样求解一直困惑着我们。这里我介绍几种常见的方法，它们在解题中往往能起到一针见血的作用，希望能对读者有所帮助。 先看两个问题： eq \o\ac(○,1) 数列 的递推公式为： ，是否存在一个首项 使得通过上面递推公式产生的数列是常数列？ eq \o\ac(○,2)若 呢？是否存在这样的首项 ？显然问题的回答都是肯定的，在 eq \o\ac(○,1)中，只需 ，在 eq \o\ac(○,2)中可取 或 。既然这样的首项产生的数列 如此简单，那么我们在解题中是否能利用它们呢？ 我们先给出几个定义： 定义1：若存在 使 ，我们称 为函数 的一个不动点。 定义2：我们规定： ,即把复合函数定义为圈运算。我们记： ， ， ，为方便起见我们 。 圈运算的几个性质： ， ， ，即圈运算满足结合率，但一般不满足交换率， 一般来说 。 显然地： eq \o\ac(○,1)若 ，则 ； eq \o\ac(○,2)若 ，则 。 一、迭代方程与不动点方法 定理1：若 ，则 为公比是 的等比数列，其中 为 的不动点，即： ，而 。 定理2：若 时， ， 初始条件 时，则： eq \o\ac(○,1)若 有两个相异不动点 ，有 ， 即： 为等比数列。 eq \o\ac(○,2)若 只有一个不动点 则： ， 。 注：以上定理的证明只需直接验证即可。 现在我们用以上定理来求解数列通项： 例1：数列 中， ，求通项 解：设 ，不动点 ， 例2：数列 中， ，求通项 解：设 ，不动点 习题： eq \o\ac(○,1)（2006重庆高考）数列 中， ，求通项 eq \o\ac(○,2)数列 中， ，求通项 eq \o\ac(○,3)数列 中， ，求通项 二、线性递推的特征方程与特征值方法 定义3：若数列 从第 项以后任一项都是前 项的线性组合，即： ,( 都是常数)，称 为 阶线性递推数列，称 为其特征方程，方程的根称为其对应方程的特征值。 定理3：若2阶递推数列 的特征方程有两个相异实根 ，则数列通项有 的形式，其中 为待定系数。 若其特征方程有唯一实根 ，则数列通项有 的形式 为待定系数。 例3：数列 中， 且 ，求通项 解1：特征方程为： ，特征值为： ， 为待定系数 而 解2： 知 即： 同理： ，带入数据得： 例4：（2006山东高考）数列 中， ，点 在直线 上，求通项 解：由题意知： ， 特征方程为： ， 为待定系数 而 ， 注：若注意到 问题就更简单了。 例5：数列 中 求通项 解： EMBED Equation.DSMT4 为待定系数 而 带入得知： 注：若注意到 问题就更简单了。 习题： eq \o\ac(○,4)（2006福建高考）数列 中 求通项 eq \o\ac(○,5)用特征方程求数列 的通项，其中 ，并通过观察，寻求另一种方法 eq \o\ac(○,6)用特征方程求数列 的通项，其中 三、桥函数相似法 定义4：若存在可逆映射 使 成立，则称 与 相似，记为： ，我们把 称为桥函数。 相似的几个性质： 1、 自反性： ，只需取 2、 对称性：若 则 （因为 有 , 为可逆映射） 3、 传递性： ， ，则 （因为存在可逆映射 使 ， ，所以 ， ） 由圈运算的结合性及 知：若 ，则有 下面我们用桥函数来求解数列通项，先从例1、例2，开始： 例1：数列 中， ，求通项 解：令 ，（2为函数 的不动点） 则 例2：数列 中， ，求通项 解： 的不动点为： 设 例6：（2005江西高考）已知数列 的各项都是正数，且 求通项 解：令 且让 得： 例7：已知数列 中 ，求通项 解：设 ，其不动点为 令 习题： eq \o\ac(○,7)用桥函数相似法求数列 的通项，其中 eq \o\ac(○,8)求数列 的通项，其中 并判断 取什么值时，数列 为周期函数？ _1324035195.unknown _1324038538.unknown _1324039702.unknown _1324042210.unknown _1324043195.unknown _1324043902.unknown _1324044761.unknown _1339984061.unknown _1339984234.unknown _1339984236.unknown _1339984237.unknown _1339984235.unknown _1339984232.unknown _1339984233.unknown _1339984119.unknown _1339984231.unknown _1324047912.unknown _1324048205.unknown _1324048529.unknown _1324048544.unknown _1324048689.unknown _1324048258.unknown _1324048028.unknown _1324048075.unknown _1324047984.unknown _1324044810.unknown _1324044851.unknown _1324044777.unknown _1324044277.unknown _1324044582.unknown _1324044654.unknown _1324044319.unknown _1324044103.unknown _1324044158.unknown _1324044030.unknown _1324043440.unknown _1324043834.unknown _1324043877.unknown _1324043643.unknown _1324043352.unknown _1324043391.unknown _1324043323.unknown _1324042372.unknown _1324042880.unknown _1324043077.unknown _1324043158.unknown _1324042899.unknown _1324042627.unknown _1324042808.unknown _1324042824.unknown _1324042415.unknown _1324042504.unknown _1324042300.unknown _1324042324.unknown _1324042255.unknown _1324040241.unknown _1324041838.unknown _1324042112.unknown _1324042197.unknown _1324042082.unknown _1324042081.unknown _1324041281.unknown _1324041294.unknown _1324040330.unknown _1324039936.unknown _1324040019.unknown _1324040236.unknown _1324039960.unknown _1324039826.unknown _1324039835.unknown _1324039742.unknown _1324039045.unknown _1324039369.unknown _1324039584.unknown _1324039667.unknown _1324039583.unknown _1324039236.unknown _1324039266.unknown _1324039146.unknown _1324038853.unknown _1324038960.unknown _1324039009.unknown _1324038662.unknown _1324038686.unknown _1324038809.unknown _1324038592.unknown _1324036485.unknown _1324037204.unknown _1324037925.unknown _1324038044.unknown _1324038469.unknown _1324037946.unknown _1324037426.unknown _1324037645.unknown _1324037673.unknown _1324037262.unknown _1324036740.unknown _1324036833.unknown _1324036985.unknown _1324036761.unknown _1324036569.unknown _1324036677.unknown _1324036513.unknown _1324035814.unknown _1324036028.unknown _1324036378.unknown _1324036441.unknown _1324036154.unknown _1324036354.unknown _1324036153.unknown _1324035970.unknown _1324035841.unknown _1324035514.unknown _1324035569.unknown _1324035653.unknown _1324035773.unknown _1324035531.unknown _1324035258.unknown _1324035274.unknown _1324035232.unknown _1323879118.unknown _1323970458.unknown _1323970758.unknown _1323970810.unknown _1324035160.unknown _1323970800.unknown _1323970661.unknown _1323970733.unknown _1323970503.unknown _1323970136.unknown _1323970300.unknown _1323970355.unknown _1323970168.unknown _1323879236.unknown _1323970091.unknown _1323879130.unknown _1323878593.unknown _1323878894.unknown _1323879062.unknown _1323879085.unknown _1323878944.unknown _1323878740.unknown _1323878869.unknown _1323878619.unknown _1323878250.unknown _1323878546.unknown _1323878169.unknown _1323878189.unknown _1323878131.unknown