奥数相似题

一、解答（共12小题，满分120分） 1、如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 考点：平行线分线段成比例． 专题：计算题． 分析：由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF． 解答：解：在△ABC中，因为EF∥AB， 所以EF：AB=CF：CB①， 同样，在△DBC中有EF：CD=BF：CB②， ①+②得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1③． 设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得 x：6+x：9=1， 解得x= ． 故EF= 厘米． 点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算． 2、如图所示．▱ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE． 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 专题：计算题． 分析：本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解． 解答：解：过O作OG∥BC，交AB于G． 显然，OG是△ABC的中位线， ∴OG= BC= ，GB= AB= ． 在△FOG中，由于GO∥EB， ∴△FOG∽△FEB， = ， ∴BE= •OG= • = ． 答：BE的长为 ． 点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，构造出△FEB∽△FOG． 3、如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证： ． 考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定． 专题：证明题． 分析：过D引DE∥AB，交AC于E，因为AD平分∠BAC（=120°），所以∠BAD=∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标． 解答：证明：过D引DE∥AB，交AC于E． ∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°， ∴∠BAD=∠CAD=60°． 又∠BAD=∠EDA=60°， 所以∴△ADE是正三角形， ∴EA=ED=AD．① 由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB， ∴ = = =1- ．② 由①，②得 =1- ， 从而 + = ． 点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证△CED∽△CAB是解题的关键． 4、如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证： ． 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 专题：证明题． 分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证． 解答：证明：延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH， ∴ = ． ∵IH=AB，∴ = ， 从而， - = - = = =1+ ．① 在△OED与△OBH中， ∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB， ∴△OED≌△OBH（AAS）． 从而DE=BH=AI， ∴ =1．② 由①，②得 - =2． 点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题． 5、一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）． 求证： 考点：平行线分线段成比例． 专题：证明题． 分析：过B引BG∥EF，交AC于G，将求证中所述线段“集中”到同一线段AC上进行求证． 解答：证明：过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知 = ， = ， ∴ × × = × × =1． 点评：考查了平行线分线段成比例定理，本题也可过C引CG∥EF交AB延长线于G，将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上 6、如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质． 专题：计算题． 分析：由FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易证四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△IHB∽△AFG∽△ABC，于是 = ， = ，再结合 = ，先计算式子右边的和，易求 + + = =2，从而有 + + =2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可． 解答：解：∵FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB， ∴四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形， ∴△IHB∽△AFG∽△ABC， ∴ = ， = ， ∴ + + = ， 又∵DE=PE+PD=AI+FB， AF=AI+FI， BI=IF+FB， ∴DE+AF+BI=2×（AI+IF+FB）=2AB， ∴ + + = =2， ∵DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425， ∴ + + = + + =2， ∴ + + =2， 解得d=306． 点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质． 7、如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF． 考点：平行线分线段成比例． 分析：由平行线的性质可得 = = = ，得出OE与BC，OF与AD的关系，进而即可求解EF的长． 解答：解：∵AD∥BC，EF∥BC， ∴ = = = ， 又 = = ， = = ， ∴OE= BC= ，OF= AD= ， ∴EF=OE+OF=15． 点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题． 8、已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证： 考点：相似三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：由于AB=CD，所以将 转化为 ，再由平行线的性质可得 = ，进而求解即可． 解答：证明：在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，AB∥CD， ∴ = = ∴ - = - = =1． 点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握． 9、如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN． 考点：相似三角形的判定与性质；梯形． 专题：计算题． 分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN的长． 解答：解：∵MN∥BC，∴在△ABD中， = ，即OM= = ， 同理ON= = ， ∴MN=OM+ON= ． 点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握． 10、P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证： 考点：平行线分线段成比例． 专题：证明题． 分析：（1）由平行线可得△PIF∽△CAB，得出对应线段成比例，即 = = ，同理得出 = = ，即可证明结论； （2）证明与（1）相同． 解答：证明：（1）∵DE∥AB，IH∥AC，FG∥BC， ∴可得△PIF∽△CAB， ∴ = = ， 同理 = = ， + + = + + =1． （2）仿（1）可得 = = ， = = = ， ∴ + + = + + =1． 点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论． 11、如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC：AB． 考点：相似三角形的判定与性质；梯形． 专题：计算题． 分析：由平行线可得对应线段成比例，又有已知EF=FG=CH=HI=HJ，可分别求出线段AB、CD与AE、CJ的关系，进而可求解结论． 解答：解：∵AB∥CD，EF=FG=CH=HI=HJ， ∴ = = ， ∴ = = ， = = ， ∴DJ=4AE，又 = ， 解得AB= AE， 又AE= CJ， ∴AB= CJ，EB=4CJ， = = ， CD=5CJ， ∴AB：CD= ：5=1：2． 点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握． 12、已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1） 三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2． 考点：平行线分线段成比例． 专题：证明题． 分析：（1）第一问可由三角形的面积入手，即△PBC+△PAC+△PAB=△ABC，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解． （2）由（1）中得出 ，则其中至少有一个不大于 ，可设 ≤ ，即3AD≤PD，而AD=AP+PD，进而通过证明即可得出结论． 解答：解：（1）由面积概念得： S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC① 整理等式得： + + =1，② 由面积概念得： = ， = ， ∴ = ， 即 = ③ 同理得： = ④ = ⑤ 把式③、④、⑤、代入式②得： ； （2）由 ，知 ， ， 中至少有一个不大于 ， 不妨设 ≤ 即3AD≤PD． 而AD=AP+PD， ∴AP≥2PD， ∴ ≥2，即 不小于2， 同理可证三式中至少有一个不大于2． 点评：本题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系，能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题．