第三章 无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法3

null§3．3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（原型变换）§3．3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（原型变换） 对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计，如巴特沃兹滤波器,切比雪夫滤波器,考尔滤波器,每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，同时，也已制备了大量归一化的设计#格#和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便，因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下： 原型变换 映射变换 原型变换 也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计模拟原型模拟低通、高通 带通、带阻数字低通、高 通带通、带阻 下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。 一．低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤： 1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率{ωk}。 2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值{Ωk}。 3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s) 变换成 H(z)（数字滤波器传递函数） 例1例1 设采样周期 ,设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。 解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc =2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc 归一化的三阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为： 以 代替其归一化频率，得： null 也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式的系数，之后以 代替归一化频率，即得 。 将 代入，就完成了模拟滤波器的设计，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤波变换后代入。 null 为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根，将上式写成部分分式结构： 对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 有 将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数： , --极点 null并将 代入，得： 合并上式后两项，并将 代入，计算得： null 可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z）的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只与 有关，即只与fc和fs的相对值 有关，而与采样频率fs无直接关系。 例如， 与 的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤波器设计。 最后得： null b. 双线性变换法 （一）首先确定数字域临界频率 （二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率 (三 ) 以 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 并将 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。nullnull 图1 三阶Butterworth 数字滤波器的频响 脉冲响应不变法双线性变换法fs/2nullnull020040060080010001200140016001800200000.10.20.30.40.50.60.70.80.91频率/Hz图3.14 三阶巴特沃兹滤波器的频率响应幅 值null 图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折 叠频率处 形成一个三阶传输零点,这个三阶零点正是模拟滤波器在 处的三阶传输零点通过映射形成的。因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲响应不变法存在混淆,且没有传输零点。 null 二.高通变换 设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，有两种方法： ① 先设计一个相应的高通、带通或带阻模拟滤波器，然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。 模拟原型 模拟高通、带通、带阻 数字高通、带通、带阻 设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计。 即确定 转换为相应的 高通、带通、带阻 模拟滤波器的设计 Ha(s) H(Z) ② 直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。 频率变换 模拟原型 数字低通、高通、带通、带阻null这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。 变换方法的选用： 脉冲响应不变法：对于高通、带阻等都不能直接采用，或只 能在加了保护滤波器后才可使用。因此，使 用直接频率变换（第二种方法），对脉冲响 应不变法要有许多特殊的考虑，它一般应用 于第一种方法中。 双线性变换法：下面的讨论均用此方法，实际使用中多数情况 也是如此。 基于双线性变换法的高通滤波器设计： 在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是S变量的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变换式中的S代之以1/S，就可得到数字高通滤波器. 即 null 由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件，而且 轴仍映射在单位圆上，只是方向颠倒了。 即 如图null 映射到 即 映射到 即 图1 高通变换频率关系 这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将 坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通,如图2。 1.01.00null 图2 高通原型变换 null应当明确： 所谓高通DF，并不是ω高到 ，由于数字频域存在 折叠频 率 ，对于实数响应的数字滤波器， 部分只是 的镜象部分，因此有效的数字域仅是 ，高通也仅指这一段的高端，即到 为止的部分。 高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型 预畸的临界频率时，应采用 ,不必加负 号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。 例例 ： 采样 设计一个三阶切比雪夫高通DF，其通过频率 （但不必考虑 以上的频率分量），通带内损耗不大于1dB。 解：首先确定数字域截止频率 , 则 切比雪夫低通原型的模函数为： 为N阶切比雪夫多项式 null通带损耗 时， N=3时, 系统函数为（可由MATLAB计算获得）： 为方便，将 和 S 用T/2归一化， 则null于是 图3 三阶切比雪夫高通频响null例5（书上 ） 设计一数字高通滤波器，它的通带为400～500Hz，通带许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz的频带内至少为19dB，采样频率为1,000Hz。 确定最小阶数 N。 模拟切比雪夫滤波器设计中阶数的确定公式为 求得最小的N： nullwc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000)); wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000)); [N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,'s'); [B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s'); [num,den]=bilinear(B,A,1000); [h,w]=freqz(num,den); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,500,-80,10]); grid; xlabel('') ylabel('幅度/dB') nullnull三．带通变换 如图1 ,如果数字频域上带通的中心频率为 ，则带通变换的目的是将: （频率映射关系具有周期性, 幅频响应具有原点对称性）。 即将S的原点映射到 ，而将 点映射到 ，满足这一要求的双线性变换为： 模拟低通null 图1 带通原型变换 null 当 时 因此 （带通变换关系 ） null 图中 点正好映射在 上，而 映射在 ， 两端，因此满足带通变换的要求。带通变换的频率关系null稳定性证明： 同时，这一变换也满足稳定性要求，设 由于上式完全是实数，所以是映射在S平面 轴上。 其中分子永远非负的 ， 因此 的正负决定于分母 由此证明了，S左半平面映射在单位圆内，而右半平面映射在单位圆外，这种变换关系是稳定的变换关系，可用它来完成带通的变换，如图1。null设计： 设计带通时，一般只给出上、下边带的截止频率 作为设计要求。 为了应用以上变换，首先要将上下边带参数 换算成中心频率 及模拟低通截止频率 。 为此将 代入变换关系式： 由于 在模拟低通中是一对镜象频率， 代入上面两等式，求出 例例又 同时也就是模拟低通的截止频率 ， 有了这两个参数就可完成全部计算。 ：采样 fs=400kHz，设计一巴特沃兹带通滤波器，其3dB边界频率分别为f2=90kHz,f1=110kHz,在阻带f3=120kHz处最小衰减大于10dB。 解：确定数字频域的上下边带的角频率 求中心频率： null求模拟低通的通带截止频率 与阻带边界频率 ： 从 频率增加了约1.05倍，衰减增加了（10-3）dB，故选用二阶巴特沃兹滤波器可满足指标（查表） 归一化的系统函数： 代入 ， 代入变换公式 null例6 带通滤波器设计nullnull 四．带阻变换 把带通的频率关系倒置就得到带阻变换。 给定null例7 w1=95/500; w2=105/500; [B,A]=butter(1,[w1, w2],'stop'); [h,w]=freqz(B,A); f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([50,150,-30,10]); grid; xlabel('频率/Hz') ylabel('幅度/dB') null§3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换（Z平面变换法）§3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换（Z平面变换法） 上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种DF的方法，这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域上进行。 DF低通原型函数 这种变换是由 所在的Z平面到H（z）所在的Z平面的一个映射变换。 为便于区分变换前后两个不同的Z平面，我们把变换前的 Z平面定义为u平面，并将这一映射关系用一个函数g表示： ① 各种DF的 H（z） null于是，DF的原型变换可表为： 函数 的特性： 1) 是 的有理函数。 2）希望变换以后的传递函数保持稳定性不变，因此要求 u的单位圆内部必须对应于z的单位圆内部。 3） 必须是全通函数。 为使两个函数的频响满足一定的变换要求，Z的单位圆应映射到u的单位圆上，若以 分别表示u平面和Z平面的单位圆，则①式为 且必有 ，其中 是 的相位函数， 即函数在单位圆上的幅度必须恒为1，称为全通函数。 全通函数的基本特性：全通函数的基本特性： 任何全通函数都可以表示为： 其中 为极点，可为实数，也可为共轭复数，但必须在单位圆以内，即 ，以保证变换的稳定性不变，*为取共轭。 的所有零点 都是其极点的共轭倒数 N：全通函数的阶数。 变化时，相位函数 的变化量为 。 不同的N和 对应 各类不同的变换。 null下面具体讨论几种原型变换： ① 低通——低通（LP） LP→LP的变换中， 和 都是低通函数，只是截止频率互不相同（或低通滤波器的带宽不同），因此当 时，相应的 ，如图1(a)，根据全通函数相位 变化量为 的性质，可确定全通函数的阶数N=1，且必须满足以下两条件： g(1) = 1 , g(-1) = -1 满足以上要求的映射函数应为：   ① 其中 是实数，且null 图1(a) LP-LP变换（有对称性） 代入（1）式，可得到上述变换所反映的频率变换关系： 由此得 上式把 ， 。 频率特性: 呈线性关系，其余为非线性。 当 时， ， 带宽变窄， 当 时， ， 带宽变宽， 适当选择 ，可使 变换为 ，如上图所示 。 :低通原型截止频率， : 变换后截止 频率 LP-LP频率变换LP-LP频率变换图 LP-LP频率变换特性 null 确定 ： 把变换关系 带入（2）式 ，有： 得 （2） 式的 频率关系，如图 ② LP-HP a .基本思想：上述 LP 变换中的Z代以–Z , 则 LP => HP 。 nullb. 高通变换或LP-HP变换把如图2（a）， 在上述LP-LP 变换中，将 Z代以–Z , 得 LP - HP变换关系：null 原型低通的截止频率 对应于高通的边界频率 ，欲将 变换到 ，由（2）式， 有： LP - Hp变换 LP - Hp变换 图2 (a) LP Hp变换null③ LP-BP LP-BP变换把带通的中心频率 故 N=2。 由以上分析得变换关系： 或 如图3(a),全通函数取负号。LP-BP变换LP-BP变换图3 (a) LP-BP变换 把变换关系 代入（2）式得 ： 消去 r1，得： 令 确定r1, r2 ：null可证明， 其中 r1,r2代入（2）式，则可确定频率变换关系，如图3（b）。LP-BP频率关系 LP-BP频率关系 null LP——BS 如图4(a), LP——BS变换把带阻的中心频率 的变化范围为 ,故 N=2 又 g(1)=1, 所以，全通函数取正号。 由以上分析得变换关系： （1） 或 （2）LP-BS变换LP-BS变换 图4 (a) LP-BS变换null确定r1, r2 ： 把变换关系 代入（2）式得 ： 其中 ， r1, r2代入（2）式，得图4（b）,此频率变换关系与前面的分析相吻合。LP-B S频率变换关系LP-B S频率变换关系null LP-BS变换的又一种实现方法: 由低通到带阻的变换同样可以通过旋转变换来完成,但变换的次序与模拟低通到数字带阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用3.4.3的方式由低阻到带阻,即 其中 的求取可利用低通到高通公式, 可利用低通到带通公式求,最后可求得 ,如书中表格内表达式。 低通null