三点共线37

三点共线 三点共线 甲提要 1.​ 要证明A，B，C三点在同一直线上，　　　　　 A。　B。　　C。　　　　　　　　　　　 常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角 　　　　②连结AB，AC证明AB，AC重合 　　　　③连结AB，BC，AC证明　AB＋BC＝AC 　　　　④连结并延长AB证明延长线经过点C　 2.​ 证明三点共线常用的定理有： 1​ 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 2​ 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3​ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 4​ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 5​ 两圆相切，切点在连心线上 6​ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上 乙例 例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB， PN⊥CD 求证：M，N，P三点在同一直线上 证明：过点P作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵PM⊥AB，PN⊥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴∠1＝90 ，∠3＝90 　　　∴∠1＋∠3＝180 　　　　　　　　　　　　　 ∴　M，N，P三点在同一直线上 例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上　 已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点 求证：M，O，N三点在同一直线上 证明一：连结MO，NO ∵MO，NO分别是△DAB和△CAB的中位线 ∴MO∥AB，NO∥AB 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ∴　M，O，N三点在同一直线上 证明二：连结MO并延长交BC于N，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵MO是△DAB的中位线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴MO∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 在△CAB中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵AO＝OC，ON，∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴BN，＝N，C，即N，是BC的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵N也是BC的中点，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴点N，和点N重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴　M，O，N三点在同一直线上　　 例3.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90 ，M，N分别是AB和CD的中点，BC，AD的延长线相交于P 求证：M，N，P三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明：∵∠A＋∠B＝90 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∠APB＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 连结PM，PN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 根据直角三角形斜边中线性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Y　　　　A　　　 PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C ∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B　　　　　　　　　　　 ∴PM和PN重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　∴M，N，P三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　X　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 O B 例4.在平面直角坐标系中，点A关于横轴的对称点为B，关于纵轴的对称点是C，求证B和C是关于原点O的对称点　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：连结OA，OB，OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵A，B关于X轴对称，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 同理OC＝OA，∠AOY＝∠COY　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴∠COY＋∠BOX＝90 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴B，O，C　三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵OB＝OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴　B和C是关于原点O的对称点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例5.已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过点B的直线EF分别交⊙O1和⊙O2于E，F。 求证：AE，AF和⊙O1和⊙O2的直径成比例 证明：作⊙O1和⊙O2的直径AM，AN，连结AB，BM，BN ∵AM，AN分别是⊙O1和⊙O2的直径　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴∠ABM＝Rt∠，∠ABN＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴M，B，N在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴∠M＝∠E，∠N＝∠F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴△AMN∽△AEF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丙练习36　 1.​ 已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M，N，P分别是AD，BC，AC的中点　　求证：M，N，P三点在同一直线上 2.​ 已知：△ABC中，BE，CF是中线，延长BE到G，使EG＝BE，延长CF到H，使FH＝CF， 求证：G，A，H三点共线　　　　　　　　　　　　　　　　 3.​ 已知：正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，DE⊥AN于E， 求证：点M在DE的延长线上（同33第5） 4.​ 求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上 5.​ 已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A和∠D的平分线相交于O， 求证：点O在梯形的中位线上 6.​ 已知：△ABC中，∠ABM，∠ACN分别是∠B，∠C的邻补角，从点A作∠B，∠C，∠ABM，∠CAN四个角平分线的垂线段AD，AE，AF，AG，垂足是D，E，F，G 求证：D，E，F，G四点在同一直线上 7.​ 已知：点P在等边△ABC外，PA=PB+PC，以PA为一边作等边△APQ使点Q和点C在PA的同一侧 求证：PQ必过点C 8.​ 已知：△ABC中，AB=AC，直线AP∥BC，点D和点C是关于直线AP的对称点 求证：点D和点B是关于点A的对称点 练习题参考答案 1.​ 连结MP，NP证明都与AB平行 1.​ 连结AG，AH证明都与BC平行 1.​ 连结DM证明DM⊥AN　　 5.　证明MP平行于底边 6.​ 根据中位线性质，垂足连线平行于底边 6.​ 连结CQ，证明∠AQC＝60 6.​ 证明∠DAP＋∠PAC＋∠CAB＝180