江苏常州武进区横山桥高级中学2011高三上期中考试--数学（理）

淘题 横山桥高级中学2010—2011学年度第一学期期中考试 高三年级 数学（2010.11理科） 考生注意： 1．本试卷共2页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两部分。 本试卷满分160分，考试时间120分钟。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的 指定位置。 3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置 作答一律无效。 4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把填写在答题卡相应位置上. 1、若集合 ，集合 ，则集合 ___▲___． 2、 的值为___▲___． 3、存在实数 ，使得 成立，则 的取值范围是___▲___． 4、已知向量 ， ，若 与 垂直，则 ___▲___． 5、△ 中，三内角 、 、 所对边的长分别为 、 、 ，已知 ， 不等式 的解集为 ，则 ___▲___． 6、已知函数 和 的图象的对称中心 完全相同，若 ，则 的取值范围是___▲___ ． 7、若函数 ，点 在曲线 上运动，作 轴，垂足为 ， 则△ （ 为坐标原点）的周长的最小值为___▲___ ． 8、已知 ，则 的值为___▲___． 9、△ 中， a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列， ，△ 的面积为 ，那么 ___▲___． 10、如果函数 在区间 上是“凸函数”，则对于区间 内任意的 ， 有 成立. 已知函数 在 区间 上是“凸函数”，则在△ 中， 的最大值是___▲___． 11、已知 ，且关于 的函数 在 上有极值， 则 与 的夹角范围为___▲___． 12、设函数 ，且 ， 表示不超过实数 的最大整数， 则函数 的值域是___▲___ ． 13、如图放置的边长为 的正三角形 沿 轴滚动.设顶点 的纵坐标与横坐标的函数关系式是 ，记 的最小 正周期为 ； 在其两个相邻零点间的图象与 轴 所围区域的面积记为 ，则 ___▲___． 14、如果关于 的方程 在区间 上有且仅有一个解， 那么实数 的取值范围为___▲___． 二、解答题：本大题共六小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（本题满分14分） 已知向量 ， ，定义函数 . （1）求 的最小正周期 ； （2）若△ 的三边长 成等比数列，且 ，求边 所对角 以及 的大小． 16、（本题满分14分） 在△ 中， ， ． （1）求 ； （2）设 ，当△ 的面积为 时，求 的值． 17、（本题满分14分） 如图，在半径为 、圆心角为 的扇形的弧上任取一点 ，作扇形的内接矩形 ， 使点 在 上，点 在 上，设矩形 的面积为 , （1）​ 按下列要求写出函数的关系式： 1​ 设 ，将 表示成 的函数关系式； 2​ 设 ，将 表示成 的函数关系式； （2）​ 请你选用（1）中的一个函数关系式，求出 的最大值． 18、（本题满分16分） 函数 ， ( )， 集合 ， （1）求集合 ； （2）如果 ，对任意 时， 恒成立，求实数 的范围； （3）如果 ，当“ 对任意 恒成立”与“ 在 内必有解” 同时成立时，求 的最大值． 19、（本题满分16分） 函数 ． （1）试求 的单调区间； （2）当 时，求证：函数 的图像存在唯一零点的充要条件是 ； （3）求证：不等式 对于 恒成立． 20、（本题满分16分） 对任意 ,给定区间 ,设函数 表示实数 与 的给定区间内 整数之差的绝对值． （1）当 时，求出 的解析式；当 时， 写出用绝对值符号表示的 的解析式； （2）求 的值，判断函数 的奇偶性，并证明你的结论； （3）当 时，求方程 的实根．（要求说明理由 ） 二、解答题 15、解：(1)f(x)＝p·q＝ (sin x，cos x)·(cos x，cos x)＝sin xcos x＋cos2x………………2分 ＝sin 2x＋·＝sin 2x＋cos 2x＋ ＝sin(2x＋)＋.………………………………………………………………………………4分 ∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.………………………………………………………………6分 (2)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，………………………………………………………7分 又c2＋ac－a2＝bc. ∴cos A＝＝＝＝.…………………………………………………10分 又∵0